2022年中考复习基础必刷40题专题29直角三角形

这是一份2022年中考复习基础必刷40题专题29直角三角形，共37页。

1. 如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120∘．过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFHG的周长为（ ）

A.3+3B.2+23C.2+3D.1+23

2. 将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a//b，则∠1的大小为（ ）

A.45∘B.60∘C.75∘D.105∘

3. 如图，在△ABC中，AB=6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点．∠CDE=18∘，则∠GFE的度数是（ ）

A.50∘B.48∘C.45∘D.36∘

4. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算tan15∘时，如图．在Rt△ACB中，∠C=90∘，∠ABC=30∘，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=15∘，所以tan15∘=ACCD=12+3=2−3(2+3)(2−3)=2−3．类比这种方法，计算tan22.5∘的值为( )

A.2+1B.2−1C.2D.12

5. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=6，OH=4，则菱形ABCD的面积为( )

A.24B.48C.7D.96

6. 如图，Rt△ABC中，∠A=30∘，∠ABC=90∘．将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A′BC′．此时恰好点C在A′C′上，A′B交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（ ）

A.13B.12C.23D.34

7. 如图，∠BOD=45∘，BO=DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF=BD；③DF=2AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是( )

A.4B.3C.2D.1

8. 如图，在△ABC中，AB=BC=3，∠BAC=30∘，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为( )

A.63B.9C.6D.33

9. 如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE是菱形的是（ ）

A.∠BAC=90∘B.∠DAE=90∘C.AB=ACD.AB=AE

10. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90∘，BA=BC，将BC绕点B顺时针旋转θ(0∘<θ<90∘)，得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数( )

A.随着θ的增大而增大B.随着θ的增大而减小
C.不变D.随着θ的增大，先增大后减小

11. 如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA=2，∠P=60∘，则AB=（ ）

A.3B.2C.23D.3

12. 如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90∘，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BD=CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE=45∘．其中正确结论的个数有( )

A.1个B.2个C.3个D.4个

13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD=2，则图中阴影部分面积为( )

A.4−π2B.2−π2C.2−πD.1−π4

14. 把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD（单位：cm）为( )

A.7+32B.7+42C.8+32D.8+42

15. 如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO=BO．以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是( )

A.DC=DTB.AD=2DTC.BD=BOD.2OC=5AC

16. 如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90∘，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为线段OB上的一点，OE:EB=1:3，连接DE并延长交CB的延长线于点F，连接OF交⊙O于点G，若BF=23，则BG的长是( )

A.π3B.π2C.2π3D.3π4

17. 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为( )

A.3B.4C.5D.6

18. 如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（ ）

A.从点P向北偏西45∘走3km到达l
B.公路l的走向是南偏西45∘
C.公路l的走向是北偏东45∘
D.从点P向北走3km后，再向西走3km到达l

19. 如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC=1，则AB的长度为（ ）

A.2B.2+12C.5+12D.43

20. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为BC中点，AC=6，BD=8．则线段OH的长为（ ）

A.125B.52C.3D.5

21. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120∘得到△A′B′C ．已知AC=3,BC=2，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为________．


22. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90,AB=8cm,BC=6cm分别以A,C为圆心，以AC2的长为半径作圆．将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为________cm（结果保留π）


23. 如图，BE是半径为6的⊙D的14圆周，C点是BE上的任意一点， △ABD是等边三角形则四边形ABCD的周长P的取值范围是________


24. 如图，在=△ABC中， ∠C=90∘ ,AC=6,BC=3，点F在边AC上，并且CF=2，点上为边BC上的动点，将△CEF沿直线凹翻折，点C落在点口处，则点P到边AB距离的最小值是________．


25. 如图，在中，过点C作，垂足为E，若，则的度数为________．

26. 如图，有一个含有30∘角的直角三角板，一顶点放在直尺的一条边上，若∠2＝65∘，则∠1的度数是________．

27. 如图，∠ACB＝90∘，D为AB的中点，连接DC并延长到点E，使CE＝CD，过点B作BF // DE交AE的延长线于点F，若BF＝10，则AB的长为________．

28. 如图，将三角形纸片ABC折叠，使点B、C都与点A重合，折痕分别为DE、FG已知∠ACB=15∘ ，AE=EF,DE=3，则BC的长为________．


29. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC=12，AD=8，则DE的长为________．


30. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32∘，则∠C=________​∘．


31. 如图，菱形ABCD的周长是32，点O是对角线AC与BD的交点，点E是边AD的中点，则OE的长为________．


32. 如图，正三角形ABC的边长为2，点A，B在半径为2的圆上，点C在圆内，将正三角形ABC绕点A逆时针旋转，当点C第一次落在圆上时，点C运动的路线长是________．

33. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，腰AB的高CD与腰AC的夹角为30∘，且CD=23，则底边BC的长为________．

34. 如图所示，第二象限的角平分线OM与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于点A，已知OA=32，则k=________．

35. 如图，在一场足球比赛中，球员A欲传球给同伴B，对方球员C意图抢断传球，已知球速为16m/s，球员速度为8m/s．当球由A传出的同时，球员C选择与AC垂直的方向出击，恰好在点D处将球成功抢断，则角θ=________（球员反应速度、天气等因素均不予考虑）．

36. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，以AB为直径作⊙O，过点C作直线CD交AB的延长线于点D，使∠BCD=∠A．

(1)求证：CD为⊙O的切线；

(2)若DE平分∠ADC，且分别交AC，BC于点E，F，当CE=2时，求EF的长．

37. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF．
(1)求证：四边形DEFC是矩形；

(2)请用无刻度的直尺在图中作出∠ABC的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．

38. 如图，△PAB与△PCD都是等腰直角三角形，∠APB=∠CPD=90∘，连结AC、BD，求证：△PAC≅△PBD．

39. 在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE.

(1)如图1，求证：AD=CD

(2)如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE,DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．

40. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90∘，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作▱GDEC．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．

（2）若点B是DBC的中点，⊙O的半径为2，求BC的长．
参考答案与试题解析
2022年中考复习基础必刷题40题——专题二十九_直角三角形
一、 选择题 （本题共计 20 小题 ，每题 3 分 ，共计60分 ）
1.
【答案】
A
【考点】
菱形的性质
含30度角的直角三角形
等边三角形的性质与判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：连接AC，BD如图，
∵ 四边形ABCD是菱形，∠BAD=120∘ ，
∴ AB=BC=CD=AD=2
∠BAO=∠DAO=60∘，BD⊥AC，
∴ ∠ABO=∠CBO=30∘，
∴ OA=12AB=1，
∴ OB=3OA=3，
∵ OE⊥AB，OF⊥BC，
∴ ∠BEO=∠BFO=90∘.
在△BEO和△BFO中，
∠BEO=∠BFO,∠EBO=∠FBO,BO=BO,
∴ △BEO≅△BFOAAS，
∴ OE=OF，BE=BF.
∵ ∠EBF=60∘，
∴ △BEF是等边三角形，
∴ EF=BE=3×32=32.
同法可证， △DGH，△OEH，△OFG都是等边三角形，
∴ EF=GH=32，EH=FG=32，
∴ 四边开∠EFGH的周长=3+3.
故选A.
2.
【答案】
C
【考点】
等腰直角三角形
平行线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a//b，
∴ ∠1+45∘+60∘=180∘ （两直线平行，同旁内角互补）
∴ ∠1=75∘，
故选C．
3.
【答案】
B
【考点】
直角三角形的性质
等腰三角形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
B
【考点】
解直角三角形
分母有理化
等腰直角三角形
锐角三角函数的定义
【解析】
在Rt△ACB中，∠C＝90∘，∠ABC＝45∘，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5∘，设AC＝BC＝1，则AB＝BD=2，根据tan22.5∘=ACCD计算即可．
【解答】
解：在Rt△ACB中，∠C=90∘，∠ABC=45∘，延长CB使BD=AB，连结AD，得∠D=22.5∘，
设AC=BC=1，则AB=BD=2，
∴ tan22.5∘=ACCD=11+2=2−1.
故选B.
5.
【答案】
B
【考点】
直角三角形斜边上的中线
菱形的面积
菱形的性质
【解析】
根据菱形的性质得O为BD的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BD的长度，最后由菱形的面积公式求得面积．
【解答】
解：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵ DH⊥AB，
∴ ∠BHD=90∘，
∴ BD=2OH.
∵ OH=4，
∴ BD=8，
∵ OA=6，
∴ AC=12，
∴ 菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×12×8=48．
故选B.
6.
【答案】
D
【考点】
旋转的性质
三角形的面积
含30度角的直角三角形
锐角三角函数的定义
【解析】
由旋转的性质得出BC＝BC′，∠ACB＝∠A′C′B＝60∘，则△BCC′是等边三角形，∠CBC′＝60∘，得出∠BEA＝90∘，设CE＝a，则BE=3a，AE＝3a，求出AEAC=34，可求出答案．
【解答】
解：∵ ∠A=30∘，∠ABC=90∘，
∴ ∠ACB=60∘，
∵ 将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A′BC′，
∴ BC=BC′，∠ACB=∠A′C′B=60∘，
∴ △BCC′是等边三角形，
∴ ∠CBC′=60∘，
∴ ∠ABA′=60∘，
∴ ∠BEA=90∘，
设CE=a，则BE=3a，AE=3a，
∴ CEAE=13，
∴ AEAC=34，
∴ △ABE与△ABC的面积之比为34．
故选D.
7.
【答案】
A
【考点】
矩形的性质
全等三角形的性质与判定
等腰直角三角形
三角形内角和定理
【解析】
由矩形得EB＝ED＝EA，∠BAD为直角，再由等腰三角形的三线合一性质可判断①的正误；证明△AOF≅△ABD，便可判断②的正误；连接BF，由线段的垂直平分线得BF＝DF，由前面的三角形全等得AF＝AB，进而便可判断③的正误；由直角三角形斜边上的中线定理得AG＝OG，进而求得∠AGE＝45∘，由矩形性质得ED＝EA，进而得∠EAD＝22.5∘，再得∠EAG＝90∘，便可判断④的正误．
【解答】
解：①∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ EB=ED，
∵ BO=DO，
∴ OE平分∠BOD，故①正确；
②∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠OAD=∠BAD=90∘，
∴ ∠ABD+∠ADB=90∘，
∵ OB=OD，BE=DE，
∴ OE⊥BD，
∴ ∠BOE+∠OBE=90∘，
∴ ∠BOE=∠BDA，
∵ ∠BOD=45∘，∠OAD=90∘，
∴ ∠ADO=45∘，
∴ AO=AD，
∴ △AOF≅△ABD(ASA)，
∴ OF=BD，故②正确；
③∵ △AOF≅△ABD，
∴ AF=AB，
连接BF，如图1，
∴ BF=2AF，
∵ BE=DE，OE⊥BD，
∴ DF=BF，
∴ DF=2AF，故③正确；
④根据题意作出图形，如图2，
∵ G是OF的中点，∠OAF=90∘，
∴ AG=OG，
∴ ∠AOG=∠OAG，
∵ ∠AOD=45∘，OE平分∠AOD，
∴ ∠AOG=∠OAG=22.5∘，
∴ ∠FAG=67.5∘，∠ADB=∠AOF=22.5∘，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ EA=ED，
∴ ∠EAD=∠EDA=22.5∘，
∴ ∠EAG=90∘，
∵ ∠AGE=∠AOG+∠OAG=45∘，
∴ ∠AEG=45∘，
∴ AE=AG，
∴ △AEG为等腰直角三角形，故④正确.
故选A.
8.
【答案】
D
【考点】
含30度角的直角三角形
线段的垂直平分线的性质定理的逆定理
等边三角形的性质与判定
三角形的面积
【解析】
连接BD交AC于O，根据已知条件得到BD垂直平分AC，求得BD⊥AC，AO＝CO，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30∘，根据等边三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA＝60∘，求得AD＝CD=3AB＝3，于是得到结论．
【解答】
解：连接BD交AC于O，
∵ AD=CD，AB=BC，
∴ BD垂直平分AC，
∴ BD⊥AC，AO=CO，
∵ AB=BC，
∴ ∠ACB=∠BAC=30∘，
∵ AC=AD=CD，
∴ △ACD是等边三角形，
∴ ∠DAC=∠DCA=60∘，
∴ ∠BAD=∠BCD=90∘，
∠ADB=∠CDB=30∘，
∵ AB=BC=3，
∴ AD=CD=3AB=3，
∴ 四边形ABCD的面积为2×12×3×3=33.
故选D.
9.
【答案】
A
【考点】
菱形的性质
菱形的判定
平行四边形的性质
直角三角形斜边上的中线
【解析】
根据菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】
解：添加∠BAC=90∘时，
∵ AD是△ABC的中线，
∴ AD=12BC=CD，
∴ 四边形ADCE是菱形，选项正确；
添加∠DAE=90∘，
∵ 四边形ADCE是平行四边形
∴ 四边形ADCE是矩形，选项B错误；
添加AB=AC，可得到AD⊥BC，
∴ ∠ADC=90∘，
∴ 四边形ADCE是平行四边形是矩形，选项C错误；
添加AB=AE，
∵ 四边形ADCE是平行四边形，
∴ AE=CD，
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD=CD=AE，
∴ AB=BD，故不能选项D不能判定四边形ADCE是菱形；
故选A．
10.
【答案】
C
【考点】
三角形的外角性质
旋转的性质
等腰直角三角形
等腰三角形的性质
【解析】
由旋转的性质可得BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内接和定理可求∠BPC+∠BPA＝135∘＝∠CPA，由外角的性质可求∠PAH＝135∘−90∘＝45∘，即可求解．
【解答】
解：∵ 将BC绕点B顺时针旋转θ(0∘<θ<90∘)，得到BP，
∴ BC=BP=BA，
∴ ∠BCP=∠BPC，∠BPA=∠BAP，
∵ ∠CBP+∠BCP+∠BPC=180∘，
∠ABP+∠BAP+∠BPA=180∘，
∠ABP+∠CBP=90∘，
∴ ∠BPC+∠BPA=135∘=∠CPA，
∵ ∠CPA=∠AHC+∠PAH=135∘，
∴ ∠PAH=135∘−90∘=45∘，
∴ ∠PAH的度数是定值.
故选C.
11.
【答案】
B
【考点】
切线的性质
切线长定理
含30度角的直角三角形
【解析】
先根据切线长定理得到∠APO＝∠BPO＝∠APB＝30∘，再利用垂径定理得OP⊥AB且AD＝BD，然后根据含30度的直角三角形三边的关系计算AD的长．
【解答】
解：连接OP交AB于D，
∵ PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，∠APB=60∘，
∴ ∠APO=∠BPO=12∠APB=30∘，OP⊥AB且AD=BD，
∴ AD=12AP．
∴ AB=2AD=AP=2．
故选B.
12.
【答案】
C
【考点】
全等三角形的性质与判定
等腰直角三角形
角平分线的性质
【解析】
如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N．证明△BAD≅△CAE，利用全等三角形的性质一一判断即可．
【解答】
解：如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N．
∵ ∠BAC=∠DAE=90∘，
∴ ∠BAD=∠CAE，
∵ AB=AC，AD=AE，
∴ △BAD≅△CAE(SAS)，
∴ EC=BD，∠BDA=∠AEC，故①正确；
∵ ∠DOF=∠AOE，
∴ ∠DFO=∠EAO=90∘，
∴ BD⊥EC，故②正确；
∵ △BAD≅△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，
∴ AM=AN，
∴ FA平分∠EFB，
∴ ∠AFE=45∘，故④正确；
若③成立，则∠AEF=∠ABD=∠ADB，推出AB=AD，不一定正确，故③错误.
故选C.
13.
【答案】
B
【考点】
扇形面积的计算
切线的性质
等腰直角三角形
【解析】
连接OD，OH⊥AC于H，如图，根据切线的性质得到OD⊥BC，则四边形ODCH为矩形，所以OH＝CD=2，则OA=2OH＝2，接着计算出∠BOD＝45∘，BD＝OD＝2，然后利用扇形的面积公式，利用图中阴影部分面积＝S△OBD−S扇形DOE进行计算．
【解答】
解：连结OD，过O作OH⊥AC于H，如图，
∵ ∠C=90∘，AC=BC，
∴ ∠B=∠CAB=45∘.
∵ ⊙O与BC相切于点D，
∴ OD⊥BC，
∴ 四边形ODCH为矩形，
∴ OH=CD=2.
在Rt△OAH中，∠OAH=45∘，
∴ OA=2OH=2.
在Rt△OBD中，
∵ ∠B=45∘，
∴ ∠BOD=45∘，BD=OD=2.
∴ 图中阴影部分面积=S△OBD−S扇形DOE
=12×2×2−45×π×2180
＝2−12π．
故选B.
14.
【答案】
D
【考点】
矩形的性质
等腰直角三角形
翻折变换（折叠问题）
【解析】
如图，过点M作MH⊥A′R于H，过点N作NJ⊥A′W于J．想办法求出AR，RM，MN，NW，WD即可解决问题．
【解答】
解：如图，过点M作MH⊥A′R于H，过点N作NJ⊥A′W于J．
由题意△EMN是等腰直角三角形，
∵ EM=EN=2，
∴ MN=22.
∵ 四边形EMHK是矩形，
∴ EK=A′K=MH=1，KH=EM=2.
∵ △RMH是等腰直角三角形，
∴ RH=MH=1，RM=2，
同理可证NW=2.
由题意AR=RA′=A′W=WD=4，
∴ AD=AR+RM+MN+NW+DW
=4+2+22+2+4
=8+42.
故选D.
15.
【答案】
D
【考点】
全等三角形的性质与判定
切线的性质
等腰直角三角形
【解析】
如图，连接OD．想办法证明选项A，B，C正确即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接OD．
∵ OT是半径，OT⊥AB，
∴ DT是⊙O的切线.
∵ DC是⊙O的切线，
∴ DC=DT，故选项A正确；
∵ OA=OB，∠AOB=90∘，
∴ ∠A=∠B=45∘.
∵ DC是切线，
∴ CD⊥OC，
∴ ∠ACD=90∘，
∴ ∠A=∠ADC=45∘，
∴ AC=CD=DT，
∴ AD=2CD=2DT，故选项B正确；
∵ OD=OD，OC=OT，DC=DT，
∴ △DOC≅△DOT(SSS)，
∴ ∠DOC=∠DOT.
∵ OA=OB，OT⊥AB，∠AOB=90∘，
∴ ∠AOT=∠BOT=45∘，
∴ ∠DOT=∠DOC=22.5∘，
∴ ∠BOD=∠ODB=67.5∘，
∴ BO=BD，故选项C正确；
∵ 2OC=2OT
=2AT
=2AD+2DT
=2(2+1)AC，
故选项D错误.
故选D．
16.
【答案】
C
【考点】
弧长的计算
等腰直角三角形
相似三角形的性质与判定
【解析】
连接OD、BD，通过证得△ABD是等腰直角三角形得出OD⊥AB，进而证得OD // FC，即可得到△DOE∽△FBE，得出BFOD=BEOE，进一步得到∠BOF＝60∘，OB＝2，然后根据弧长公式求得即可．
【解答】
解：连接OD、BD，
∵ 在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90∘，
∴ ∠A=∠C=45∘，
∵ AB是直径，
∴ ∠ADB=90∘，
∵ OA=OB，
∴ OD⊥AB，
∴ ∠AOD=90∘，
∴ ∠AOD=∠ABC，
∴ OD // FC，
∴ △DOE∽△FBE，
∴ BFOD=BEOE，
∵ OB=OD，OE:EB=1:3，
∴ BFOB=3，
∴ ∠BOF=60∘，
∵ BF=23，
∴ OB=2，
∴ BG的长=60π×2180=23π.
故选C.
17.
【答案】
B
【考点】
直角三角形斜边上的中线
三角形中位线定理
菱形的性质
【解析】
由菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD＝8，AC⊥BD，则∠AOB＝90∘，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【解答】
解：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，
∴ ∠AOB=90∘，
∵ 菱形ABCD的周长为32，
∴ AB=8，
∵ E为AB边中点，
∴ OE=12AB=4．
故选B.
18.
【答案】
A
【考点】
方向角
等腰直角三角形
三角形中位线定理
【解析】
先作出图形，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质即可求解．
【解答】
解：从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；
从P出发向北走6km也到达l．
由此可得两次行走路线与公路l形成了一个等腰直角三角形．
所以公路l的走向可以是南偏西45∘，也可以是北偏东45∘，选项B，C说法正确；
根据等腰直角三角形的性质，可知点P到公路l的距离为32km，
所以从点P向北偏西45∘走32km到达l，选项A说法错误；
从点P向北走3km后，根据三角形中位线定理，可知再向西走3km到达l，选项D说法正确．
故选A．
19.
【答案】
A
【考点】
翻折变换（折叠问题）
等腰直角三角形
矩形的性质
【解析】
先判断出∠ADE＝45∘，进而判断出AE＝AD，利用勾股定理即可得出结论．
【解答】
解：由折叠补全图形如图所示，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ADA′=∠B=∠C=∠A=90∘，AD=BC=1，CD=AB，
由第一次折叠得：∠DA′E=∠A=90∘，∠ADE=12∠ADC=45∘，
∴ ∠AED=∠ADE=45∘，
∴ AE=AD=1，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得，DE=2AD=2，
由第二次折叠知，CD=DE=2，
∴ AB=2．
故选A.
20.
【答案】
B
【考点】
菱形的性质
直角三角形斜边上的中线
勾股定理
【解析】
先根据菱形的性质得到AC⊥BD，OB=OD=12BD=4，OC=OA=12AC=3，再利用勾股定理计算出BC，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到OH的长．
【解答】
解：∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ AC⊥BD，OB=OD=12BD=4，
OC=OA=12AC=3，
在Rt△BOC中，BC=32+42=5，
∵ H为BC中点，
∴ OH=12BC=52.
故选B.
二、 填空题 （本题共计 15 小题 ，每题 3 分 ，共计45分 ）
21.
【答案】
5π3
【考点】
扇形面积的计算
旋转的性质
含30度角的直角三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图：由旋转可得：
∠ACA′=∠BCB′=120∘，又AC=3,BC=2，
S扇形ACA′=120π×AC2360=3π，
S扇形BCB′=120π×BC2360=4π3，
则线段AB扫过的图形的面积为3π−4π3=5π3，
故答案为：5π3．
22.
【答案】
【考点】
作图—基本作图
含30度角的直角三角形
角平分线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ Rt△ABC中，∠ABC=90∘，AB=8，BC=6，
∴ AC=82+62=10cm，△ABC的面积是：12AB⋅BC=12×8×6=24cm2．
∴ S阴影部分=12×6×8−90π×52360=24−25π4cm2故阴影部分的面积是：24−254πcm2．
故答案是：24−254πcm2．
23.
【答案】
18【考点】
含30度角的直角三角形
等边三角形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ △ABD是等边三角形
∴ AB+AD+CD=18，得P>18
∵ BC的最大值为当点C与E重合的时刻，BE=62
∴ P≤18+62
∴ p的取值范围是18故答案为：1824.
【答案】
1.2
【考点】
轴对称——最短路线问题
含30度角的直角三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，
延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，
∵ ∠C=90∘，AC=6，BC=8，
∴ AB=AC2+BC2=10，
∵ ∠A=∠A，∠AMF=∠C=90∘，
∴ △AFM∼△ABC，
∴ AFAB=FMBC，即410=FM8，
解得，FM=3.2，
由折叠的性质可知，FP=FC=2，
∴ PM=1.2．
故答案为：1.2．
25.
【答案】
50∘
【考点】
直角三角形的性质
余角和补角
【解析】
由平行四边形的性质得出∠B=∠EAD=40∘，由角的互余关系得出∠BCE=90∘−∠B即可．
【解答】
解：…四边形ABCD是平行四边形，
．ADIIBC，
∠B=∠EAD=40∘
CE⊥AB
故答案为：50∘
26.
【答案】
25∘
【考点】
平行线的性质
含30度角的直角三角形
【解析】
延长EF交BC于点G，根据题意及直角三角形的性质可直接进行求解．
【解答】
解：如图，延长EF交BC于点G，
直尺，
．ADIBC，
∴ 2=2=65∘
又30∘角的直角三角板，
∠1=90∘−65∘=25∘
故答案为：25∘
27.
【答案】
8
【考点】
三角形中位线定理
平行线的性质
直角三角形斜边上的中线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
：点D是AB的中点，BFIIDE，…DE是△ABF的中位线．EF=10，∴ DE=12BF=5CE=14CD,∴54CD=5，解得CD=4△ABC是
直角三角形，∴ AB=2CD=8
故答案为8．
28.
【答案】
4+23
【考点】
直角三角形斜边上的中线
勾股定理
等腰三角形的判定与性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，∴ BE=AE,AF=FC,∠FAC=∠C=15∘，
∴ ∠AFE=30∘ ，又AE=EF，
∴ ∠EAF=∠AFE=30∘，
∴ ∠AEB=60∘，
∴ △ABE是等边三角形，∠AED=∠BED=30∘，
∴ ∠BAE=60∘，
∴ DE=3，
∴ AE=BE=AB=DEcs30∘=2，
∴ BF=BE+EF=4,∠BAF=60∘+30∘=90∘，
∴ FC=AF=BF2−AB2=23，
∴ BC=BF+FC=4+23．
故答案为： 4+23．
29.
【答案】
5
【考点】
等腰三角形的性质
勾股定理
直角三角形斜边上的中线
【解析】
利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
【解答】
解：∵ AB=AC，AD平分∠BAC，
∴ AD⊥BC，BD=CD=6，
∴ ∠ADB=90∘，
∴ AB=AD2+BD2=82+62=10.
∵ AE=EB，
∴ DE=12AB=5.
故答案为：5.
30.
【答案】
58
【考点】
含30度角的直角三角形
坐标与图形性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：连接OB，
∵ OA=OB，
∴ △AOB是等腰三角形，
∴ ∠OAB=∠OBA，
∠OAB=32∘，
∠OAB=∠OAB=32∘，
∴ ∠AOB=116∘，
∴ ∠C=58∘.
故答案为：58．
31.
【答案】
4
【考点】
直角三角形斜边上的中线
三角形中位线定理
菱形的性质
【解析】
先根据菱形的性质得到AD＝8，AC⊥BD，然后根据三角形直角三角形斜边上的中线性质求解．（也可以利用三角形中位线定理）；
【解答】
∵ 四边形ABCD为菱形周长＝32，
∴ AD＝8，AC⊥BD，
∴ ∠AOD＝90∘
∵ E为AD的中点，
∴ OE=12AD＝4．
32.
【答案】
π3
【考点】
弧长的计算
等腰直角三角形
垂径定理
【解析】
作辅助线，首先求出∠DAC的大小，进而求出旋转的角度，利用弧长公式问题即可解决．
【解答】
解：如图，分别连接OA、OB、OD；
∵ OA=OB=2，AB=2，
∴ △OAB是等腰直角三角形，
∴ ∠OAB=45∘；
同理可证：∠OAD=45∘，
∴ ∠DAB=90∘；
∵ ∠CAB=60∘，
∴ ∠DAC=90∘−60∘=30∘，
∴ 当点C第一次落在圆上时，点C运动的路线长为：30π×2180=π3．
故答案为：π3．
33.
【答案】
4或43
【考点】
等腰三角形的判定与性质
含30度角的直角三角形
勾股定理
【解析】
分类讨论：当等腰三角形ABC为锐角三角形，由CD⊥AB，∠ACD=30∘，得∠A=60∘，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DC=3AD，AC=2AD，则易得AC=4，根据等腰三角形的性质由∠A=60∘得△ABC为等边三角形，即可得到BC=4；当等腰三角形ABC为钝角三角形，由CD⊥AB，∠ACD=30∘，得∠DAC=60∘，而AB=AC，则∠B=30∘，在Rt△BCD中根据含30度的直角三角形三边的关系即可得到BC的长．
【解答】
解：当等腰三角形ABC为锐角三角形，如图1，
∵ CD⊥AB，∠ACD=30∘，
∴ ∠A=60∘，
∴ DC=3AD，AC=2AD，
而CD=23，
∴ AD=2，
∴ AC=4，
又∵ AB=AC，而∠A=60∘，
∴ △ABC为等边三角形，
∴ BC=4；
当等腰三角形ABC为钝角三角形，如图2，
∵ CD⊥AB，∠ACD=30∘，
∴ ∠DAC=60∘，
∵ AC=AB，
∴ ∠B=30∘，
在Rt△BCD中，∠B=30∘，CD−23，
∴ BC=2CD=43．
∴ BC为4或43．
故答案为：4或43．
34.
【答案】
−9
【考点】
反比例函数图象上点的坐标特征
等腰直角三角形
【解析】
易得点A的横纵坐标的值相等，利用勾股定理可得点A的坐标，把点A的横纵坐标代入可求得反比例函数的比例系数．
【解答】
解：设点A的坐标为(x, y)．
∵ 第二象限的角平分线OM与反比例函数的图象相交于点A，
∴ x=−y，
∴ x2+y2=(32)2，
∴ x=±3，
∵ A在第二象限，
∴ x=−3，
∴ y=3，
∴ A(−3, 3)；
设所求的函数解析式为y=函数解析式为y=kx，A(−3, 3)在反比例函数图象上，
∴ k=−3×3=−9，
故答案为：−9
35.
【答案】
30∘
【考点】
含30度角的直角三角形
【解析】
设球员从C到D运动的时间为t，则CD=8t，AD=16t，根据在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半即可得到∠A的度数．
【解答】
解：设球员从C到D运动的时间为t，
则CD=8t，AD=16t，
在Rt△ADC中，AD=2CD，
∴ ∠A=30∘．
故答案为：30∘．
三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 10 分 ，共计50分 ）
36.
【答案】
(1)证明：如图，连接OC，
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90∘，即∠A+∠ABC=90∘，
又∵ OC=OB，
∴ ∠ABC=∠OCB，
∵ ∠BCD=∠A，
∴ ∠BCD+∠OCB=90∘，即∠OCD=90∘，
∵ OC是圆O的半径，
∴ CD是⊙O的切线.
(2)解：∵ DE平分∠ADC，
∴ ∠CDE=∠ADE，
又∵ ∠BCD=∠A，
∴ ∠A+∠ADE=∠BCD+∠CDF，即∠CEF=∠CFE，
∵ ∠ACB=90∘，CE=2，
∴ CE=CF=2，
∴ EF=CE2+CF2=22．
【考点】
切线的判定
勾股定理
等腰直角三角形
角平分线的定义
【解析】
（1）如图，连接OC，欲证明CD是⊙O的切线，只需求得∠OCD＝90∘；
（2）由角平分线及三角形外角性质可得∠A+∠ADE＝∠BCD+∠CDF，即∠CEF＝∠CFE，根据勾股定理可求得EF的长．
【解答】
(1)证明：如图，连接OC，
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90∘，即∠A+∠ABC=90∘，
又∵ OC=OB，
∴ ∠ABC=∠OCB，
∵ ∠BCD=∠A，
∴ ∠BCD+∠OCB=90∘，即∠OCD=90∘，
∵ OC是圆O的半径，
∴ CD是⊙O的切线.
(2)解：∵ DE平分∠ADC，
∴ ∠CDE=∠ADE，
又∵ ∠BCD=∠A，
∴ ∠A+∠ADE=∠BCD+∠CDF，即∠CEF=∠CFE，
∵ ∠ACB=90∘，CE=2，
∴ CE=CF=2，
∴ EF=CE2+CF2=22．
37.
【答案】
(1)证明：∵ D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，
∴ DE // FC，EF // CD，
∴ 四边形DEFC是平行四边形.
∵ ∠DCF=90∘，
∴ 四边形DEFC是矩形．
(2)解：连接EC，DF交于点O，作射线BO，射线BO即为所求．
【考点】
作图—复杂作图
矩形的判定与性质
直角三角形斜边上的中线
三角形中位线定理
【解析】
（1）首先证明四边形DEFC是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．
（2）连接EC，DF交于点O，作射线BO即可．
【解答】
(1)证明：∵ D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，
∴ DE // FC，EF // CD，
∴ 四边形DEFC是平行四边形.
∵ ∠DCF=90∘，
∴ 四边形DEFC是矩形．
(2)解：连接EC，DF交于点O，作射线BO，射线BO即为所求．
38.
【答案】
证明：∵ △PAB与△PCD都是等腰直角三角形，
∴ PA=PB，PC=PD．
∵ ∠APB=∠CPD=90∘，
∴ ∠APB−∠BPC=∠CPD−∠BPC，
即∠APC=∠BPD．
在△PAC和△PBD中
PA=PB∠APC=∠BPDPC=PD，
∴ △PAC≅△PBD．
【考点】
全等三角形的判定
等腰直角三角形
【解析】
求出PA=PB，PC=PD，∠APC=∠BPD，根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】
证明：∵ △PAB与△PCD都是等腰直角三角形，
∴ PA=PB，PC=PD．
∵ ∠APB=∠CPD=90∘，
∴ ∠APB−∠BPC=∠CPD−∠BPC，
即∠APC=∠BPD．
在△PAC和△PBD中
PA=PB∠APC=∠BPDPC=PD，
∴ △PAC≅△PBD．
39.
【答案】
证明：(1)AC⊥BD
∴ ∠AED=∠DEC=∠BEC=90∘，
∴ ∠BCE+∠EBG=90∘．
∵ BF⊥CD，∠BFD=90∘
∴ ∠BDF+∠EBG=90∘，
∴ ∠BGE=∠BDF．
∵ ∠BGE=∠ADE，
∴ ∠ADE=∠BDF．
∵ DE=DE，
∴ △ADE≅△CDE(ASA)
∴ AD=CD．
(2)解：设DE=a，
则AE=2DE=2a，EG=DE=a,
∴ S△ADE=12AE·DE=12·2a·a=a2，
∵ BH是△ABE的中线，
∴ AH=HE=a，
∵ AD=CD，A⊥BD，
∴ CE=AE=2a，
则S△ADC=12AE·DE=12·(2a+2a)=2a2=2S△ADE，
在△ADE和△BGE中，
∵ {∠AED=∠BEGDE=GE∠ADE=∠BGE
∴ △ADE≅△BGE(ASA)
∴ BE=AE=2a
∴ S△ABE=12AE⋅BE=12⋅2a⋅2a=2a2，S△BCE=12CE⋅BE=12⋅2a⋅2a=2a2S△BHG=12HG⋅BE=12⋅(a+a)⋅2a=2a2
综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．
【考点】
含30度角的直角三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：(1)AC⊥BD
∴ ∠AED=∠DEC=∠BEC=90∘，
∴ ∠BCE+∠EBG=90∘．
∵ BF⊥CD，∠BFD=90∘
∴ ∠BDF+∠EBG=90∘，
∴ ∠BGE=∠BDF．
∵ ∠BGE=∠ADE，
∴ ∠ADE=∠BDF．
∵ DE=DE，
∴ △ADE≅△CDE(ASA)
∴ AD=CD．
(2)解：设DE=a，
则AE=2DE=2a，EG=DE=a,
∴ S△ADE=12AE·DE=12·2a·a=a2，
∵ BH是△ABE的中线，
∴ AH=HE=a，
∵ AD=CD，A⊥BD，
∴ CE=AE=2a，
则S△ADC=12AE·DE=12·(2a+2a)=2a2=2S△ADE，
在△ADE和△BGE中，
∵ {∠AED=∠BEGDE=GE∠ADE=∠BGE
∴ △ADE≅△BGE(ASA)
∴ BE=AE=2a
∴ S△ABE=12AE⋅BE=12⋅2a⋅2a=2a2，S△BCE=12CE⋅BE=12⋅2a⋅2a=2a2S△BHG=12HG⋅BE=12⋅(a+a)⋅2a=2a2
综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．
40.
【答案】
DE是⊙O的切线；
理由：连接OD，
∵ ∠ACB＝90∘，CA＝CB，
∴ ∠ABC＝45∘，
∴ ∠COD＝2∠ABC＝90∘，
∵ 四边形GDEC是平行四边形，
∴ DE // CG，
∴ ∠EDO+∠COD＝180∘，
∴ ∠EDO＝90∘，
∴ OD⊥DE，
∴ DE是⊙O的切线；
连接OB，
∵ 点B是DBC的中点，
∴ BC=BD，
∴ ∠BOC＝∠BOD，
∵ ∠BOC+∠BOD+∠COD＝360∘，
∴ BC的长=135⋅π×2180=32π．
【考点】
等腰直角三角形
平行四边形的性质
直线与圆的位置关系
弧长的计算
【解析】
（1）连接OD，求得∠ABC＝45∘，根据圆周角定理得到∠COD＝2∠ABC＝90∘，根据平行四边形的性质得到DE // CG，得到∠EDO+∠COD＝180∘，推出OD⊥DE，于是得到结论；
（2）连接OB，由点B是DBC的中点，得到BC=BD，求得∠BOC＝∠BOD，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】
DE是⊙O的切线；
理由：连接OD，
∵ ∠ACB＝90∘，CA＝CB，
∴ ∠ABC＝45∘，
∴ ∠COD＝2∠ABC＝90∘，
∵ 四边形GDEC是平行四边形，
∴ DE // CG，
∴ ∠EDO+∠COD＝180∘，
∴ ∠EDO＝90∘，
∴ OD⊥DE，
∴ DE是⊙O的切线；
连接OB，
∵ 点B是DBC的中点，
∴ BC=BD，
∴ ∠BOC＝∠BOD，
∵ ∠BOC+∠BOD+∠COD＝360∘，
∴ BC的长=135⋅π×2180=32π．