北师大版九年级下册第二章 二次函数2 二次函数的图像与性质练习

《二次函数的图象和性质》习题2

一、选择题

1．的图象可能是(     )

A． B． C． D．

2．对于抛物线，下列说法正确的是( )

A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标

C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标

3．抛物线，，共有的性质是(       )

A．开口向下 B．对称轴是轴

C．都有最低点 D．y随x的增大而减小

4．抛物线y＝3(x﹣2)2+1的顶点坐标为(　　)

A．(1，2) B．(﹣2，1) C．(2，1) D．(﹣2，1)

5．对于二次函数y＝2(x﹣1)2﹣8，下列说法正确的是(    )

A．图象开口向下

B．当x＞1时，y随x的增大而减小

C．当x＜1时，y随x的增大而减小

D．图象的对称轴是直线x＝﹣1

6．对于函数，下列结论错误的是(    )

A．图象顶点是(2，5) B．图象开口向上

C．图象关于直线对称 D．函数最大值为5

7．已知二次函数y=(x﹣h)2+1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为(　　)

A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3

8．若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是(    )

A． B． C． D．

9．关于二次函数，下列说法正确的是(    )

A．图象的对称轴在轴的右侧

B．图象与轴的交点坐标为

C．图象与轴的交点坐标为和

D．的最小值为－9

10.已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①当时，随增大而增大；②抛物线一定过原点；③ 方程的解为或；④当时，；⑤．其中结论错误的个数有(    )个

A．1 B．2 C．3 D．4

11.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a－b＋c＜0；③2a＝b；④4a＋2b＋c＞0；⑤若点(－2，y1)和(－，y2)在该图象上，则y1＞y2. 其中正确的结论个数是 (     )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

12.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x=2，下列结论：(1)4a+b=0；(2)8a+7b+2c＞0；(3)若点A(﹣3，y1)、点B(﹣，y2)、点C(，y3)在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；(4)若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有()．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

13.如果我们把函数称为二次函数的“镜子函数”，那么对于二次函数：的“镜子函数”：，下列说法：①的图像关于y轴对称；②有最小值，最小值为；③当方程有两个不相等的实数根时，；④直线与的图像有三个交点时，中，正确的有(    )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

14.在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣(m﹣1)x+m(m＞1)沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在(　　)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

15.把抛物线y=﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是(　　)

A．y=﹣2(x﹣1)2+6 B．y=﹣2(x﹣1)2﹣6

C．y=﹣2(x+1)2+6 D．y=﹣2(x+1)2﹣6

16.把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为(    )

A． B．

C． D．

17.二次函数y=﹣2(x﹣1)2+3的图象如何平移就得到y=﹣2x2的图象(　　)

A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位  

 B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位

C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位   

D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位

18.把抛物线y＝x2﹣2x+4向左平移2个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的顶点坐标是(    )

A．(3，﹣3) B．(3，9) C．(﹣1，﹣3) D．(﹣1，9)

二、填空题

1.已知二次函数(是常数，)的与的部分对应值如下表：

下列结论：

①；

②当时，函数最小值为；

③若点，点在二次函数图象上，则；

④方程有两个不相等的实数根．

其中，正确结论的序号是__________________．(把所有正确结论的序号都填上)

2.下列关于函数y＝x2﹣4x+6的四个命题：

①当x＝2时，y有最大值2；

②若函数图象过点(a，m0)和(b，m0+1)，其中a＞0，b＞2，则a＜b；

③m为任意实数，x＝2﹣m时的函数值大于x＝2+m时的函数值；

④若m＞2，且m是整数，当m≤x≤m+1时，y的整数值有(2m﹣2)个．

上述四个命题中，其中真命题是_____．(填写所有真命题的序号)

三、解答题

1.把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线．

(1)直接写出抛物线的函数关系式；

(2)动点能否在拋物线上？请说明理由；

(3)若点都在抛物线上，且，比较的大小，并说明理由．

2.在平而直角坐标系中，已知点，直线经过点．抛物线恰好经过三点中的两点．

判断点是否在直线上．并说明理由；

求的值；

平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值．

3.在平面直角坐标系中，抛物线顶点坐标为，图象交轴正半轴于点．

(1)求二次函数的表达式和点的坐标．

(2)点是抛物线上的点，它在对称轴右侧且在第一象限内．将点向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点重合，若的面积为，求的值．

4.已知二次函数．

(1)图像经过原点，求的值；

(2)图像的对称轴为轴，求的值；

(3)图像的顶点在轴上，求的值．

5.已知，抛物线y=ax²-2amx+am2+2m-5与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1<x2)两点，顶点为P．   

(1)当a=1，m=2时，求线段AB的长度；   

(2)当a=2，若点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等，求该抛物线的解析式；   

6.如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点．

求此抛物线的解析式；

直接写出点和点的坐标；

若点在第一象限内的抛物线上，且，求点坐标．

答案

一、选择题

1．D．2．A．3．B．4．C．5．C．6．D．7．B．8．D．9．D．

10.B.11.B.12.C．13.B.14.D.15.C.16.C．17.C．18.C．

二、填空题

1.①③④

2.②④

三、解答题

1.(1)抛物线，

∴抛物线的顶点坐标为(-1，2)，

根据题意，抛物线的顶点坐标为(-1+4，2-5)，即(3，-3)，

∴抛物线的函数关系式为：；            

(2)动点P不在抛物线上．                        

理由如下：

∵抛物线的顶点为，开口向上，

∴抛物线的最低点的纵坐标为．           

∵，

∴动点P不在抛物线上；                     

(3)．

理由如下：

由(1)知抛物线的对称轴是，且开口向上，

∴在对称轴左侧y随x的增大而减小．                           

∵点都在抛物线上，且，

∴．

2.(1)点在直线上，理由如下：

将A(1，2)代入得，

解得m=1，

∴直线解析式为，

将B(2，3)代入，式子成立，

∴点在直线上；

(2)∵抛物线与直线AB都经过(0，1)点，且B，C两点的横坐标相同，

∴抛物线只能经过A，C两点，

将A，C两点坐标代入得，

解得：a=-1，b=2；

(3)设平移后所得抛物线的对应表达式为y=-(x-h)2+k，

∵顶点在直线上，

∴k=h+1，

令x=0，得到平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1，

∵-h2+h+1=-(h-)2+，

∴当h=时，此抛物线与轴交点的纵坐标取得最大值．

3.(1)设二次函数表达式为，由题意得；

把代入，得

∴二次函数表达式为：

∵对称轴是直线，

所以

(2)设

∵

又∵

∴

∵

∴

∴

把代入得：

解得：，(舍去)

∴的值为1

4.解：(1)因为图像经过原点

所以，；

(2)因为对称轴为y轴，

所以，

解得：；

(3)因为顶点在x轴上，

所以

．

5.解：(1)当a=1，m=2时，y＝x2﹣4x+3，

当y=0时，x2﹣4x+3=0，，

∴AB=3-1=2；

(2)当a=2时，y=2x2﹣4mx+2m2+2m﹣5=，

∵顶点为P，∴P(m，2m-5)，

∴点P在直线 y=2x-5上，

∵点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等，

∴当点P在第一象限时，m=2m-5，解得m=5，该抛物线的解析式为：；

当点P在第四象限时，m=-(2m-5)，解得m=，

该抛物线的解析式为：；

(3)当a=时，抛物线的解析式为y=(x-m)2+2m﹣5， 

分三种情况考虑：

①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有(2m﹣2﹣m)2+2m﹣5＝2，

整理，得：m2﹣14m+39＝0，

解得：m1＝7﹣(舍去)，m2＝7+(舍去)；

②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5＝2，

解得：m＝；

③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有(2m﹣5﹣m)2+2m﹣5＝2，

整理，得：m2﹣20m+60＝0，

解得：m3＝10-2(舍去)，m4＝10+2．

综上所述：m的值为或10+2．

6.由点和点得，

解得：，

∴抛物线的解析式为；

令，则，

∴，

∵，

∴；

设，

，，

∵，∴，

∴，∴，

解得：(不合题意，舍去)，，

∴．