初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用说课ppt课件

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解直角三角形已知两边解直角三角形已知一边及一锐角解直角三角形已知一边及一锐角三角函数值解直角三角形
(2)两锐角之间的关系
(1)三边之间的关系
在直角三角形中，我们把两个锐角、三条边称为直角三角形的五个元素.图中∠A，∠B，a，b，c即为直角三角形的五个元素.
一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个元素(其中必须有一个元素是边)，则这样的直角三角形可解.
解直角三角形： 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫做解直角三角形．
 探究：（1）在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？（2）知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？
如图，在Rt△ABC中，∠C为直角， ∠A， ∠B， ∠C所对的边分别为a，b，c，那么除直角∠ C外的 五个元素之间有如下关系：
（1）三边之间的关系a2+b2=c2 (勾股定理）；（2）两锐角之间的关系∠A+ ∠B = 90°；（3）边角之间的关系上述（3）中的A都可以换成B，同时把a，b互换.
口诀记忆法有斜求对乘正弦，有斜求邻乘余弦，无斜求对乘正切.
有斜求对乘正弦”的意思是：在一个直角三角形中，对一个锐角而言，如果已知斜边长，要求该锐角的对边，那么就用斜边长乘该锐角的正弦，其他的意思可类推.
利用这些关系，知道其中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素.
应用勾股定理求斜边，应用角的正切值求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角．一般不用正弦或余弦值求锐角，因为斜边是一个中间量，如果是近似值，会影响结果的精确度．
已知斜边和直角边：先利用勾股定理求出另一直角边，再求一锐角的正弦和余弦值，即可求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC= ，BC= ，解这个直角三角形.解：∵ ∴∠A=60° ， ∠B=90°-∠A=90°- 60°=30°， AB=2AC=2 .
已知直角三角形的两边解直角三角形的方法：先由勾股定理求第三边，再由两边中一直角边所对的角与这两边的关系，求出这个角，最后由两锐角互余求出第三个角．
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：c=30，b=20；
解：∵c＝30，b＝20， ∴ ∵tan A＝ ∴∠A≈48°. ∴∠B＝90°－∠A≈90°－48°＝42°.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2 ，AC＝ ， 则∠A的度数为(　　)A．90° B．60°C．45° D．30°
3. 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求 ∠A的值，最适宜的做法是(　　) A．计算tan A的值求出 B．计算sin A的值求出 C．计算cs A的值求出 D．先根据sin B求出∠B，再利用90°－∠B求出
如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB＝4，AD＝6，则tan B＝(　　)A． B． C. D.
已知一边及一锐角解直角三角形
已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角形时，若已知一直角边a和一锐角A： ① ∠B=90 °- ∠ A；②c= 若已知斜边c和一个锐角A： ① ∠ B=90°- ∠ A；②a=c·sin A ; ③b=c·cs A.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B= 35°，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点最后一位）.解：∠A=90°-∠B=90°- 35°=55°.
你还有其他方法求出c吗？
已知一锐角和一边解直角三角形的方法：(1)在直角三角形中，若已知一个锐角和斜边，则可由两 锐角互余求出另一个锐角，然后利用三角函数(正弦、 余弦)求出两条直角边；(2)若已知一个直角三角形的一个锐角和一条直角边，则 可由两锐角互余求出另一个锐角，然后利用余弦或正
弦求出其斜边，利用正切求出其另一条直角边．
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形： （1） ∠B=72°，c=14； （2） ∠B=30°，a= .
(1)由∠B＝72°，c＝14， 得∠A＝90°－∠B＝90°－72°＝18°， a＝c·sin A＝14×sin18°≈4.33， b＝c·sin B＝14×sin72°≈13.31.
(2)∵∠B＝30°，a＝ ∴∠A＝90°－∠B＝90°－30°＝60°， b＝ c＝
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是(　　)A. B．4 C．8 D．4
3. 在△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，b＝3， 则a等于(　　) A. B. C．6 D.
已知一边及一锐角三角函数值解直角三角形
如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝ ，sin B＝ ， 求BC的长．
【导引】 要求的BC边不在直角三角形中，已知条件中有 ∠B的正弦值，作BC边上的高，将∠B置于直角 三角形中，利用解直角三角形就可解决问题．
如图，过点A作AD⊥BC于点D.∵AB＝1，sin B＝∴AD＝AB·sin B＝∴BD＝∴CD＝
通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，这种“化斜为直”的思想很常见．在作垂线时，要结合已知条件，充分利用已知条件，如本题若过B点作AC的垂线，则∠B的正弦值就无法利用．
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ， BC＝6，则AB＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．10
2 . 如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过点C作CD⊥AB于点D.已知cs∠ACD＝ ，BC＝4，则AC的长为(　　) A．1 B. C．3 D.
解直角三角形在数学中的应用
在直角三角形中有三条边、三个角，它们具备以下关系： （1）三边之间关系：a2+b2=c2 (勾股定理）. （2）锐角之间的关系：∠A+ ∠B = 90°. （3）边角之间的关系：
在△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，求tanA，csA的值．
易错总结：本题中已指出∠B＝90°，所以AC为斜边，而 受习惯的影响，常误以为∠C的对边AB是斜 边．因此，解题时应认真审题，注意所给条 件，分清斜边和直角边，以防出错．