2020-2021学年辽宁省沈阳市高一上学期期末数学试题（解析版）

2020-2021学年辽宁省沈阳市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据补集定义求出，再根据交集定义即可求出.

【详解】，，，

，.

故选：A.

2．某单位共有名职工，其中不到岁的有人，岁的有人，岁及以上的有人，现用分层抽样的方法，从中抽出名职工了解他们的健康情况．如果已知岁的职工抽取了人，则岁及以上的职工抽取的人数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】计算抽样比例，求出不到35岁的应抽取人数，再求50岁及以上的应抽取人数.

【详解】计算抽样比例为，

所以不到35岁的应抽取(人，

所以50岁及以上的应抽取(人.

故选：.

3．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】解不等式，用集合的包含关系判断.

【详解】解：由，解得，

记集合A=(-∞，1)，B=(-∞，0)

∵B⊆A

∴“”是“”的必要不充分条件．

故选：B．

【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：

(1)若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

(2)若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

(3)若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

(4)若是的既不充分又不必要条件，对应集合与对应集合互不包含．

4．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建个光子的量子计算原型机“九章”．据介绍，将这台量子原型机命名为“九章”，是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》．在该书的《方程》一章中有如下一题：“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗．上取中，中取下，下取上，各一秉，而实满斗．问上中下禾实一秉各几何？”其译文如下：“今有上等稻禾束，中等稻禾束，下等稻禾束，各等稻禾总数都不足斗．如果将束上等稻禾加上束中等稻禾，或者将束中等稻禾加上束下等稻禾，或者将束下等稻禾加上束上等稻禾，则刚好都满斗．问每束上、中、下等的稻禾各多少斗？”现请你求出题中的束上等稻禾是多少斗？（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设出未知数，根据题意列出方程即可解出.

【详解】设束上等稻禾是斗，束中等稻禾是斗，束下等稻禾是斗，

则由题可得，解得，

所以束上等稻禾是斗.

故选：D.

5．在中，，，若点满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题可得，进一步化简可得.

【详解】，，

.

故选：C.

6．设，，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可判断.

【详解】，，

，，

.

故选：D.

7．已知实数，，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题可得，则由展开利用基本不等式可求.

【详解】，，且，则，

，

当且仅当时，等号成立，

故的最小值为.

故选：C.

8．已知函数（其中为自然对数的底数，…），若实数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】化简得到，得到，进而得到，即可求解.

【详解】由题意，函数，可得，

可得，即，

因为，所以.

故选：B.

9．下列命题中错误的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】A

【分析】根据不等式的性质即可依次判断每个选项的正误.

【详解】对A，若，若，则，故A错误，符合题意；

对B，若，由，可得，故B正确，不符合题意；

对C，若，，则，则，故C正确，不符合题意；

对D，若，，则，则，即，则，故D正确，不符合题意.

故选：A.

二、多选题

10．在某次高中学科竞赛中，名考生的参赛成绩统计如图所示，分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（ ）

A．考生成绩在的人数最多

B．考生成绩在对应的频率为

C．不及格的考生人数为

D．考生成绩的平均分约为

【答案】AD

【分析】根据频率分布直方图，以及频率，平均分的公式即得．

【详解】由成绩统计图可知，考生成绩在内的小矩形最高，所以频率最大，对应人数最多，故A正确；

考生成绩在对应的频率为 ，故B错误；

不及格的考生人数为 人，故C错误；

考生成绩的平均分为：

故D正确．

故选：AD

11．已知函数有两个零点，分别为，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】将问题先化为有两个根，问题即转化为与的有两个不同交点的问题，画出图象即可求解.

【详解】函数有两个零点，即有两个根，

问题即转化为与的有两个不同交点．

做出函数的图象如图所示，

由题意两交点横坐标分别为，，

①若有两个交点，则，D对；

②当时，令，得，故，A对；

③易知，整理得：，C对；

④由③得，所以，B错.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：将零点问题转化为两函数图象交点问题，通过图象得到满足的关系是解题的关键.

12．若关于的方程的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】显然时，原方程只有一个实根1；当时，将原方程转化为整式方程，只需要方程①有一个非零且不等于-1的实根即可，结合判别式即可判断．

【详解】易知，当时，方程只有一个根1，满足题意；

当时，原方程可化为，即①方程只有一个非零实数根即可．

对于方程①，显然，即只有一个非零且不等于-1的实根，

所以，解得．

另将代入方程①得，此时另一根为2，结合题意，当时，原方程只有一个根2．

故选：BCD

【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于把分式方程的根的问题转化为整式方程的根的问题，再转化为二次方程的根的问题求解.

三、填空题

13．计算的结果是_____________．

【答案】.

【分析】根据对数的运算公式，即可求解.

【详解】根据对数的运算公式，可得.

故答案为：.

14．设为三个随机事件，若与互斥，与对立，且，，则_____________．

【答案】

【分析】由与对立可求出，再由与互斥，可得求解.

【详解】与对立，，

与互斥，.

故答案为：.

15．已知函数则不等式的解集是_____________．

【答案】

【分析】分和0的大小关系分别代入对应的解析式即可求解结论.

【详解】∵函数，

∴当，即时，，故；

当，即时，，故；

∴不等式的解集是：.

故答案为：.

16．给定函数y＝f(x)，设集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f(x)具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是_____．

【答案】①③

【分析】A即为函数的定义域，B即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．

【详解】对①，A＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，B＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；

对②，A＝R，B＝ (0，+∞)，当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；

对③，A＝ (0，+∞)，B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；

故答案为：①③．

【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．

四、解答题

17．设为平面直角坐标系中的四点，且，，．

（1）若，求点的坐标及；

（2）设向量，，若与平行，求实数的值．

【答案】（1），；（2）

【分析】（1）设，写出的坐标，利用列式求解点的坐标，再写出的坐标；（2）用坐标表示出与，再根据平行条件的坐标公式列式求解.

【详解】（1）设，因为，，，所以，得，则；

（2）由题意，，，所以，，因为与平行，所以，解得.

18．已知全集，集合，．

（1）当时，求；

（2）如果，求实数的取值范围．

【答案】（1）或；（2）（-∞，2）.

【分析】先解出集合A

（1）时，求出B,再求和；

（2）把转化为，分和进行讨论.

【详解】

（1）当时，，

∴

∴或.

（2）∵，∴.

当时，有，解得：；

当时，因为，只需，

解得：；

综上：,

故实数的取值范围（-∞，2）.

【点睛】（1）集合的交并补运算：①离散型的数集用韦恩图；② 连续型的数集用数轴；

（2）由求参数的范围容易漏掉的情况．

19．中学阶段是学生身体发育重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长（单位：小时)，从这两个班中各随机抽取名同学进行调查，将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据，如下表所示．如果学生一周熬夜学习的总时长超过小时，则称为“过度熬夜”．

（1）分别计算出甲、乙两班样本的平均值；

（2）为了解学生过度熬夜的原因，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取个数据，求抽到的数据来自于同一个班级的概率；

（3）从甲班的样本数据中有放回地抽取个数据，求恰有个数据为“过度熬夜”的概率．

【答案】（1），；（2）；（3）

【分析】（1）利用平均数公式代入求解；（2）由题意得甲班和乙班各有“过度熬夜”的人数为，计算得基本事件总数和个数据来自于同一个班级的基本事件的个数，然后利用古典概型的公式代入计算取个数据来自于同一个班级的概率；（3）甲班共有个数据，其中“过度熬夜”的数据有个，计算得基本事件总数和恰有个数据为“过度熬夜”的基本事件的个数，利用古典概型的公式代入计算恰有个数据为“过度熬夜”的概率.

【详解】（1）甲的平均值：；乙的平均值：；

（2）由题意，甲班和乙班各有“过度熬夜”的人数为，抽取个数据，基本事件的总数为个，抽到来自同一个班级的基本事件的个数为，则抽取个数据来自于同一个班级的概率为；

（3）甲班共有个数据，其中“过度熬夜”的数据有个，从甲班的样本数据中有放回地抽取个数据，基本事件的总数为个，恰有个数据为“过度熬夜”包含的基本事件的个数为个，则恰有个数据为“过度熬夜”的概率为.

20．已知函数()．

（1）求在区间上的最小值；

（2）设函数，用定义证明：在上是减函数．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）由已知得函数的对称轴，开口向上，分别讨论，，三种情况求得最小值；

（2）利用函数单调性的定义可得证．

【详解】（1）因为的对称轴，开口向上，当，即时，；

当，即时，；

当，即时，，所以

；

（2），设，则，，

所以，

所以，

所以在上是减函数．

【点睛】方法点睛：利用定义判断函数单调性的步骤：

1、在区间D上，任取，令；

2、作差；

3、对的结果进行变形处理；

4、确定符号的正负；

5、得出结论．

21．近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内(以天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系近似满足(为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间(单位：天)的部分数据如下表所示：

已知第天的日销售收入为元．

（1）求的值；

（2）给出以下四个函数模型：

①；②；③；④．

请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；

（3）设该工艺品的日销售收入为(单位：元)，求的最小值．

【答案】（1）； （2）； （3）.

【分析】（1）根据第10天的日销售收入，得到，即可求解；

（2）由数据知先增后减，选择②，由对称性求得实数的值，再利用进而列出方程组，求得的值，从而求得函数的解析式；

（3）根据（2）求得的解析式，然后利用基本不等式和函数的单调性分别求得各段的最小值，比较得到结论.

【详解】（1）因为第10天的日销售收入为505元，

所以，即，解得.

（2）由表格中的数据知，当时间变换时，先增后减，

函数模型：①；③；④都是单调函数，

所以选择模型②：，

由，可得，解得，

由，解得，

所以日销售量与时间的变化的关系式为.

（3）由（2）知，

所以，

即，

当时，

由基本不等式，可得，

当且仅当时，即时等号成立，

当时，为减函数，

所以函数的最小值为，

综上可得，当时，函数取得最小值.

【点睛】求解所给函数模型解决实际问题的关注点：

1、认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；

2、根据已知利用待定系数法，列出方程，确定函数模型中的待定系数；

3、结合函数的基本形式，利用函数模型求解实际问题，

22．已知函数是偶函数（其中为自然对数的底数，…）．

（1）求的值；

（2）若方程在区间上有实数根，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由偶函数的定义可得恒成立，即可求出值；

（2）由题意可分离参数得出有解，求出的值域即可.

【详解】（1）是偶函数，

恒成立，

，解得；

（2）由（1）知，

由得，

令，

当时，，则，

故时，方程在区间上有实数根，

故的取值范围为.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解