2020-2021学年山东省德州市高一上学期期末数学试题（解析版）

2020-2021学年山东省德州市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出集合B，再根据交集定义即可求出.

【详解】，

.

故选：D.

2．已知命题“，”，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出

【详解】∵“，”，

∴：，

故选：A

【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．

3．已知函数，若，则（    ）

A．-2 B．2 C．-3 D．3

【答案】B

【分析】先求出，再由得到关于的方程，从而可求的值.

【详解】，故，故，

故选：B.

4．已知向量，，.若，则实数（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】C

【分析】利用向量共线定理即可得出．

【详解】解：因为，，

所以，

，

，

解得．

故选：．

5．设，都是不等于1的正数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分和必要条件的定义即可求解.

【详解】由可得，即，可推出，

当，时，不等式成立，但推不出，

根据充分和必要条件的定义可得“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

6．已知不等式的解集是，则的值为（    ）

A．-64 B．-36 C．36 D．64

【答案】D

【分析】先由不等式的解集是求出a、b，再求

【详解】∵不等式的解集是，

∴图像开口向下，即a<0,且的两根为-4和1.

∴，解得：

∴

故选：D

【点睛】不等式的解集是用不等式对应的方程的根表示出来的.

7．已知表示，两个数中较小一个，则函数的零点是（    ）

A．， B．，，，

C．， D．，，，

【答案】B

【分析】分和两种情况令即可求出.

【详解】当，可解得或，

此时，解得，满足，

当时，可解得或，

此时，解得，满足，

综上，的零点是，，，.

故选：B.

8．甲乙两人进行扑克牌得分比赛，甲的三张扑克牌分别记为，，，乙的三张扑克牌分别记为，，.这六张扑克牌的大小顺序为.比赛规则为：每张牌只能出一次，每局比赛双方各出一张牌，共比赛三局，在每局比赛中牌大者得1分，牌小者得0分.若每局比赛之前彼此都不知道对方所出之牌，则六张牌都出完时乙得2分的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意列出所有的可能情况，根据古典概型的概率公式计算可得；

【详解】解：依题意基本事件总数有种；

分别有以下情况：

，，，此时乙得1分；

，，，此时乙得1分；

，，，此时乙得1分；

，，，此时乙得1分；

，，，此时乙得2分；

，，，此时乙得2分；

故六张牌都出完时乙得2分的概率

故选：D

二、多选题

9．下列说法中正确的是（    ）

A．两个非零向量，，若，则

B．若，则有且只有一个实数，使得

C．若，为单位向量，则

D．

【答案】AD

【分析】A中将等式两边平方整理有；B中若时实数取值任意或不存在；C中单位向量模相等，但不一定为相等向量；D中有相反向量的性质有，进而可知各项的正误.

【详解】A：由已知得：，整理可得，故. 正确；

B：由，则，而当时，可为任意实数或不存在. 错误；

C：由，为单位向量，即，而，不一定相等. 错误；

D：根据相反向量，知. 正确.

故选：AD

10．国家为了实现经济“双循环”大战略，对东部和西部地区的多个县市的某一类经济指标进行调查，得出东部，西部两组数据的茎叶图如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．西部的平均数为13.3

B．东部的极差小于西部的极差

C．东部的30%分位数是11.6

D．东部的众数比西部的众数小

【答案】ACD

【分析】根据茎叶图一一计算即可判断；

【详解】解：对于A：即西部的平均数为13.3，故A正确；

对于B：东部的最大值为，最小值为，极差为；西部的最大值为，最小值为，极差为；故B错误；

对于C：东部共13个数据，,即从小到大的第4个数为东部的30%分位数，所以东部的30%分位数是11.6，故C正确；

对于D：东部的众数为，西部的众数为和均大于，故D正确；

故选：ACD

11．若，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性，结合比较法、对数的换底公式进行判断即可.

【详解】因为，，所以.

A：因为，所以，又因为，所以，因此本选项不成立；

B：因为，所以，因为，所以，因此本选项成立；

C：因为，所以，可得，所以，因此本选项成立；

D：，

因为，，所以，

即，因此本选项不成立.

故选：BC

12．我们知道：函数关于对称的充要条件是.某同学针对上述结论进行探究，得到一个真命题：函数关于对称的充要条件是.若函数满足，且当时，，则（    ）

A．

B．当时，

C．函数的零点为3，-1

D．的解集为

【答案】BD

【分析】由函数对称的定义可得关于对称，进而可判断选项是否正确.

【详解】，则关于对称，所以，故A不正确；

设则，，故B正确；

当时，令可得，，所以函数零点为，故C不正确；

，

当时， ，所以

当时，，函数单调递减，可得，所以或，故D正确.

故选：BD

【点睛】关键的点睛：求分段函数的解析式注意定义域，解分段函数不等式也要讨论定义域取值.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.

三、填空题

13．已知，若幂函数在上单调递增，则______.

【答案】2

【分析】根据单调性可得，则可得出所求.

【详解】在上单调递增，，

，，则，

.

故答案为：2.

14．已知，，且，则的最小值为______.

【答案】

【分析】由已知可得，再由展开利用基本不等式可求.

【详解】，，

，，

，

当且仅当时等号成立，即的最小值为.

故答案为：.

15．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时乙得分的概率为0.6，各球的结果相互独立.在某局打成后，甲先发球，乙以获胜的概率为______.

【答案】0.15

【分析】依题意还需进行四场比赛，其中前两场乙输一场、最后两场乙赢，根据相互独立事件的概率公式计算可得；

【详解】解：依题意还需进行四场比赛，其中前两场乙输一场、最后两场乙赢，

其中发球方分别是甲、乙、甲、乙；

所以乙以获胜的概率

故答案为：

16．已知函数，若方程有三个不同的根分别设为，，，且，则的取值范围为______.

【答案】

【分析】根据已知条件画出函数图像，结合图像求解即可.

【详解】

画出函数的图像，

由方程有三个不同的根分别设为，，，且，

可得，，所在的位置如图所示，

则，关于轴对称，

所以，

，

，

则，

所以，

则的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：利用数形结合法解决根的个数问题是解决本题的关键.

四、解答题

17．求值：

（1）；

（2）.

【答案】（1）3；（2）107.

【分析】（1）利用对数的运算以及换底公式求解即可；（2）利用指数的运算法则求解即可.

【详解】（1）

.

（2）

.

18．如图所示，在中，，，，分别为线段，上一点，且，，和相交于点.

（1）用向量，表示；

（2）假设，用向量，表示并求出的值.

【答案】（1）；（2），.

【分析】（1）把放在中，利用向量加法的三角形法则即可；

（2）把，作为基底，表示出 ，利用求出 .

【详解】解：由题意得，，所以，

（1）因为，，

所以

.

（2）由（1）知，而

而

因为与不共线，由平面向量基本定理得

解得

所以，即为所求.

【点睛】在几何图形中进行向量运算:

(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；

(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.

19．已知函数的图象与的图象关于轴对称，且的图象过点.

（1）若成立，求的取值范围；

（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】利用已知条件得到的值，进而得到的解析式，再利用函数的图象关于轴对称，可得的解析式；（1）先利用对数函数的单调性，列出不等式组求解即可；（2）对于任意恒成立等价于，令，，利用二次函数求解即可.

【详解】，

，，

；

由已知得，

即.

（1）在上单调递减，

，

解得，

的取值范围为.

（2），

对于任意恒成立等价于，

，

，

令，，

则，

，

当，

即，

即时，

.

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．

20．某市为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了1000名高一学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表.

（1）求，的值，并在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图（用阴影涂黑）；

（2）根据频率分布直方图估计该组数据的平均数及中位数（中位数精确到0.01）；

（3）现从第4，5组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中任意抽取2人进行调研《红楼梦》的阅读情况，求抽取的2人中至少有一人是5组的概率.

【答案】（1），；图象见解析；（2），中位数11.67；（3）.

【分析】（1）根据频率分布直方表，列出方程组，即可求得的值，进而得到频率分布直方图；

（2）利用平均数和中位数的计算公式，即可求得该组数据的平均数和中位数；

（3）设第4组为，，，，第5组为，，利用列举法，求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.

【详解】（1）根据频率分布直方表，可得，

解得，，

频率分布直方图，如图所示：

（2）该组数据的平均数：，

由题图可知，中位数应在10至15之间，设中位数为，

则，解得，故中位数的估计值为11.67.

（3）从第4，5组抽取的人数分别为4，2，第4组的4人，

设为，，，，第5组的2人，设为，，

则从该6人中选出2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15种，

其中都是第4组的基本事件有，，，，，，共6种，

所以至少有一名学生是5组的概率.

21．据专家研究高一学生上课注意力集中情况，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分.专家认为，当注意力指数大于或等于80时定义为听课效果最佳.

（1）试求的函数关系式；

（2）若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节，问在那一个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节？请说明理由.

【答案】（1）；（2）在和这两个时间段，理由见解析.

【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，将点代入

求出另一段的解析式，即可求解；

（2）分段解不等式，求出的范围，在的范围建议老师多提问，增加学生活动环节即可.

【详解】（1）时，设，

将代入得解得

所以时，；

时，将代入得

解得：，

所以时，；

所以，

（2）时，得，

时，得，

所以在和这两个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用待定系数法设出二次函数的顶点式方程，求出二次函数的解析式.

22．已知函数（其中，且）的图象关于原点对称.

（1）求，的值；

（2）当时，

①判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；

②关于的方程在区间上有两个不同的解，求实数的取值范围.

【答案】（1）或；（2）①在区间上单调递增；②.

【分析】（1）由图象关于原点对称知：，结合函数解析式可得，即可求参数.

（2）由已知得，①为，的构成的复合函数，由它们在上均单调递增，即知的单调性；②由①整理方程得在区间上有两个不同的解，令，有，结合基本不等式求其最值，进而确定的取值范围.

【详解】（1）由题意知：，整理得，即，对于定义域内任意都成立，

∴，解得或.

（2）由知：，故

①，由，在上均单调递增，

∴在区间上的单调递增.

②由①知，可得，即在区间上有两个不同的解，令，

∴当且仅当时等号成立，而在上递减，在上递增，且时.

∴.

【点睛】关键点点睛：

（1）利用函数的对称性，结合解析式列方程求参数值；

（2）根据对数型复合函数的构成判断单调性，应用参变分离、换元思想，将方程转化为在上存在不同的对应相同的值，求参数范围.