2022-2023学年辽宁省沈阳市第一二〇中学高一上学期期末数学试题（解析版）

沈阳市第120中学2022-2023学年度上学期

期末限时作业

科目：数学

满分：150分时间：120钟分钟命题人：佟智海樊丽审题人：孙爽

一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合，，则（）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】分别解不等式得集合A，B，再求并集即可.

【详解】因为，，

所以，

故选：B.

2. 以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的70%分位数是（）

A86 B. 87 C. 88 D. 89

【答案】C

【解析】

【分析】根据百分位数的定义直接得出.

【详解】因为，所以这15人的70%分位数为第11位数：88.

故选：C.

3. 已知向量，，则“”是“”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的模、充分、必要条件的知识确定正确选项.

【详解】时，不一定是相等或相反向量，

时，，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

4. 函数，则的大致图象是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】判断奇偶性，再利用函数值的正负排除三个错误选项，得正确结论．

【详解】，为偶函数，排除BC，

又时，，时，，排除A，

故选：D．

5. 若实数，，满足，其中，则下列结论正确的是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先判断的范围，以及由条件可知，，，再分别代入选项，根据单调性和特殊值比较大小.

【详解】因为，其中，

所以，，，且，，

所以，，即，故A错误；

，，即，故B错误；

，，因为，所以，

即，即，故C错误；

，，即，故D正确.

故选：D.

6. 我国古代的《易经》中有两类最基本的符号：“─”和“——”，若将“─”记作二进制中的“1”，“——”记作二进制中的“0”．如符号“”对应二进制数，化为十进制数计算如下：．若从这两类符号中各取两个符号按照上面的方式任意叠放，则得到的二进制数所对应的十进制数小于6的概率为()

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，列出由两个1和两个0构成的二进制数，判断它们与6的大小关系即可求解﹒

【详解】根据题意，从这两类符号中各取两个符号按照上面的方式任意叠放，即是由两个1和两个0构成二进制数，所有情况如下：

，

，

，

，

，

，

得到的二进制数所对应的十进制数小于6的概率为﹒

故选：B﹒

7. 已知，满足，，其中是自然对数的底数，则的值为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】把已知等式取对数，得到两个关系，抽象成一个方程的解，再根据方程的解的唯一性，得到，关系，进而求出结论.

【详解】因为，，

所以，，

即，，

所以，均为方程的根，

由于函数在定义域内单调递增，且，

所以方程的根唯一，

所以.

故选：B.

8. 已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实数的取值范围为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由可得或，数形结合可方程只有解，则直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围.

【详解】由可得或，

当时，；当时，.

作出函数、、的图象如下图所示：

由图可知，直线与曲线有个交点，即方程只有解，

所以，方程有解，即直线与曲线有个交点，则.

故选：A.

二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知点，，，则以，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】将平行四边行转化为向量相等，通过向量的坐标表示可得结果.

【详解】设点的坐标为，

由于平行四边形的四个顶点为，

所以可能有以下三种情形：

当时，即，解得，即的坐标为；

当时，即，解得，即的坐标为；

当，即，解得，即的坐标为；

故选：ABC.

10. 某机构要调查某小区居民生活垃圾的投放情况(该小区居民的生活垃圾以厨余垃圾､可回收物､其他垃圾为主)，随机抽取了该小区“厨余垃圾”箱､“可回收物”箱､“其他垃圾”箱这三类垃圾箱，总计1000千克的生活垃圾，数据(单位：千克)统计如下：

根据样本数据估计该小区居民生活垃圾的投放情况，下列结论正确的是（）

A. 厨余垃圾投放正确的概率为.

B. 居民生活垃圾投放错误的概率为.

C. 该小区这三类垃圾中，其他垃圾投放正确概率最低.

D. 厨余垃圾在“厨余垃圾”箱､“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量的方差是20000.

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据数据，结合古典概型公式和方差公式依次分析各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，由题可知厨余垃圾的总投放质量为600千克，其中投放到“厨余垃圾”箱的有400千克，故厨余垃圾投放正确的概率为，故A选项正确；

对于B选项，由表中数据可知，居民垃圾投放错误的有千克，故居民生活垃圾投放错误的概率为，故B选项错误；

对于C选项，由表中数据可知，可回收物的总投放质量为300千克，其中正确投放的有240千克，故可回收物投放正确的概率为，其他垃圾的总投放质量为100千克，其中正确投放的有60千克，故其他垃圾投放正确的概率为，再结合A选项厨余垃圾投放正确的概率为，故，即其他垃圾投放正确的概率最低，故C选项正确；

对于D选项，由题知厨余垃圾在在“厨余垃圾”箱､“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的平均投放量为200千克，根据方差的计算公式得，故D选项正确.

故选：ACD

【点睛】本题考查古典概型计算概率，方差的计算，解题的关键是读懂表中的数据，根据题意依次计算分析，要耐心，且认真的挖掘数据，分析处理数据，考查数据处理能力，是中档题.

11. 已知，，，，，则下列结论正确的是（）

A. 为常数 B. 的最小值为4

C. 的最小值为2 D. 的最大值为1

【答案】AC

【解析】

【分析】根据向量平行的坐标表示可得，再应用基本不等式“1”的代换求最值，即可判断各项的正误.

【详解】由题设，，又，，故，A正确；

当且仅当时等号成立，B错误，C正确；

由上知：，即，D错误.

故选：AC

12. 已知函数，，下列判断中，正确的有（）

A. 存在，函数有4个零点

B. 存在常数，使为奇函数

C. 若在区间上最大值为，则的取值范围为或

D. 存在常数，使在上单调递减

【答案】BC

【解析】

【分析】把表示为分段函数，分类讨论作出函数图像，数形结合研究函数的奇偶性、单调区间、最值等性质.

【详解】函数函数图像如图所示：

由图像可知，函数的图像与直线不可能有4个交点，所以不存在使函数有4个零点，A选项错误；

当时，，函数定义域为R，，此时为奇函数，B选项正确；

当或时，在区间上单调递增，最大值为；

当时，，在区间上单调递增，在区间上单调递减，最大值为，不合题意；

当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，若最大值为，则有，即，由，所以，解得；

综上，在区间上最大值为，则的取值范围为或，C选项正确；

若在上单调递减，则有，不等式组无解，故不存在常数使在上单调递减，D选项错误；

故选：BC

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知是1，2，3，，5，6，7这7个数据的中位数，且1，2，，这四个数据的平均数为1，则的最小值为______.

【答案】##

【解析】

【分析】根据x是1，2，3，x，5，6，7这七个数据的中位数，得到x的取值范围，根据1，2，x2，﹣y这四个数据的平均数为1，得到x，y之间的关系，把要求的代数式换元变化为一个自变量的形式，得到一个递增的代数式，把x的最小值代入得到结果．

【详解】∵x是1，2，3，x，5，6，7这七个数据的中位数，∴，

∵1，2，x2，﹣y这四个数据的平均数为1，

∴，∴

∵中，在时，递增，也是一个递增函数，

∴函数是一个增函数，

∴的最小值为，

故答案为：.

14. 已知函数（，且）在区间上单调递增，则的取值范围______.

【答案】

【解析】

【分析】分、两种情况讨论即可.

【详解】函数是由

和复合而成，

当时单调递增，

若函数（，且）在区间上单调递增，

则在上单调递增，且在上恒成立，

的对称轴为

所以解得：，

当时单调递减，

若函数（，且）在区间上单调递增，

则在上单调递减，且在区间上恒成立，

的对称轴为

所以解得：，

综上所述：a的取值范围是，

故答案为：

15. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：

137  960  197  925  271  815  952  683  829  436  730  257

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为______.

【答案】##0.25

【解析】

【分析】根据在这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有3组，即可得出结论.

【详解】这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有：

137、271、436共3组，

故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：，

故答案为：.

16. 已知函数，.若不等式的解集是区间的子集，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】把不等式转化为，利用分段函数的性质，结论二次函数图象可得实数的取值范围

【详解】因为函数，．

由不等式，分离参数，可得：，

设函数，

画出的图象，如图所示：

计算，，

要使的解集是区间的子集，则必有，

所以实数的取值范围是，

故答案为：.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 设集合，集合．

（1）若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围；

（2）若中只有一个整数，求实数m的取值范围．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】(1)根据给定条件可得，再借助集合包含关系分类求解作答.

(2)求出，再求出非空集合B与的交集表示式，然后分析推理得解.

小问1详解】

集合，，由“”是“”的必要条件，得，

当时，，解得，满足，则，

当时，，解得，因此有，

所以实数m的取值范围为.

【小问2详解】

依题意，，由中只有一个整数知，

从而得中仅有一个整数，因此有，即，

所以实数m的取值范围为．

18. 制成奶嘴的主要材质是橡胶，在加工过程中，可能会残留一些未挥发完全的溶剂，以及橡胶本身含有的化合物等.因为奶嘴直接接触食物和婴儿口腔，使用过程中，挥发性物质的溶出会污染奶质，甚至通过消化道被宝宝身体吸收，长期潜伏积累，对免疫力尚未健全的婴幼儿会危害甚大，因此我国对奶嘴和安抚奶嘴的挥发性物质做了规定，要求其含量不得超过0.5%.某婴儿用品的生产商为了测量某新产品的挥发性物质含量，从试生产的产品中随机抽取100个，得到如下频率分布直方图：注：以频率作为概率，该婴儿用品的生产商规定挥发性物质含量<18‰为合格产品.

（1）根据频率分布直方图，求这100个奶嘴的挥发性物质含量的中位数；

（2）为了解产品不合格的原因，用分层抽样的方法从与中抽取6个进行分析，然后从这6个中抽取2个进一步实验，求在与中各有一个的概率；

（3）若这100个奶嘴的挥发性物质含量的平均值大于16，则需进行技术改进，试问该新产品是否需要技术改进？

【答案】（1）；（2）；（3）该产品需要进行技术改进.

【解析】

【分析】（1）根据频率直方图中求中位数的方法可求得答案；

（2）先根据分层抽样求得在与中所抽取的个数，运用列举法列出事件的所有情况，由古典概率公式可求得答案.

（3）求得其平均值可得结论.

【详解】解：（1）挥发性物质含量位于的频率为，

挥发性物质含量位于的频率为，

所以这100个奶嘴的挥发性物质含量的中位数位于区间，

设中位数为，则，解得；

（2）组奶嘴的个数为，

组的奶嘴的个数为，

所以从组中抽取个，从组中抽取个，

记组中抽取的5个分别为a，b，c，d，e，组中抽取的一个为f，

则从6个中抽取2个的所有情况如下：

，，，，，，，，，，，，，，

共15种情况，

其中在与中各有1个的有，，，，共5种情况，

所以所求的概率；

（3）因为

，

故该产品需要进行技术改进.

19. 在中，设，若，与交于点，

（1）用表示；

（2）在线段，上分别取，使过点，设，求的最小值.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）利用三点共线的结论以及平面向量基本定理可求出结果；

（2）利用三点共线的结论得到，再根据基本不等式可求出结果.

【小问1详解】

因为三点共线，所以可设，

因为三点共线，所以可设，

根据平面向量基本定理可得，解得，

所以.

【小问2详解】

因为，且三点共线，

所以，依题意知，

所以，

当且仅当，时，取得等号，

所以最小值为.

20. 设函数，（且）是定义域为的奇函数，且．

（1）求，的值；

（2）求函数在上的值域；

（3）设，若在上的最小值为，求的值；

【答案】（1），；（2）；（3）．

【解析】

【分析】（1）因为函数是奇函数且在原点有定义，所以通过可求得，再由可得；

（2）由（1）知，根据函数的单调性求出函数的值域即可；

（3）因为，通过换元法令得到新函数，，问题就等价转化成在上的最小值为，从而根据二次函数的对称轴与区间的位置关系确定最值，最后求出.

【详解】解：（1）函数，（且）是定义域为的奇函数，

，即，，

．，，

，，

（2）是增函数，

时，，即值域为；

（3），

设，，，

，，

若在上的最小值为，

，的最小值为，

或

即，或（舍去），

故；

【点睛】求函数最值和值域的常用方法：

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；

(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；

(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．

21. 自2020年1月以来，新冠肺炎疫情仍在世界许多国家肆虐，并且出现了传播能力强，传染速度更快的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．2022年8月，奥密克戎BA．5．1．3变异毒株再次入侵海南，为了更清楚了解该变异毒株，某科研机构对该变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：

若该变异毒株的数量y（单位：万个）与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择．

（1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

（2）求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于十亿个．（参考数据：，）

【答案】（1）函数更合适，解析式为

（2）14

【解析】

【分析】（1）将，和，分别代入两种模型求解解析式，再根据的值，即可判断；

（2）设至少需要个单位时间，则，再结合对数函数的公式，即可求解．

【小问1详解】

若选，将，和，代入可得，

，解得，

故，

将代入，，不符合题意，

若选，将，和，代入可得，

，解得，故，

将代入

可得，符合题意，

综上所述，选择函数更合适，解析式为.

【小问2详解】

设至少需要个单位时间，

则，即，

两边同时取对数可得，，

则，

∵，∴的最小值为14，

故至少经过14个单位时间该病毒的数量不少于十亿个．

22. 已知幂函数在上为增函数，，.

（1）求的值，并确定的解析式；

（2）对于任意，都存在，使得，，若，求实数的值；

（3）若对于一切成成立，求实数的取值范围.

【答案】（1），

（2）

（3）

【解析】

【分析】（1）根据幂函数定义求解；

（2）求出与的最大值，由它们相等可得；

（3）不等式分离参数转化为求新函数的最值．

【小问1详解】

由幂函数的定义可知：即，

解得：，或，

∵在上为增函数，

∴，解得，

综上：，

∴；

【小问2详解】

，

据题意知，当时，，，

∵在区间上单调递增，

∴，即，

又∵，

∴函数的对称轴为，

∴函数在区间上单调递减，

∴，即，

由，得，

∴；

【小问3详解】

当时，等价于

即，

∵，∴，

令，，下面求的最大值：

∵，∴，

∴的最大值为-5，

故的取值范围是.

【点睛】方法点睛：函数不等式恒成立问题，常常利用分离参数法转化分离参数，构造新函数，然后求出新函数的最值，从而得参数范围．