2020-2021学年辽宁省锦州市高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2020-2021学年辽宁省锦州市高一上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据交集运算直接得到答案.

【详解】因为，所以.

故选：A.

2．已知命题，则为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据全称命题的否定为特称命题，否量词，否结论即可得解.

【详解】根据全称命题的否定为特称命题，否量词，否结论即可，

所以命题，则为.

故选：C.

3．用“反证法”证明不等式首先应该（    ）

A．假设 B．假设

C．假设 D．假设

【答案】B

【分析】直接进行命题的否定即可.

【详解】根据反证法可知，将命题进行否定即可，

所以首项应该假设.

故选：B.

4．人们通常以分贝(符号是)为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为的声音对应的等级为，则有，一架小型飞机降落时，声音约为，轻声说话时，声音约为，则小型飞机降落时的声音强度是轻声说话时声音强度的（    ）倍

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意分别求出小型飞机降落时的声音强度和轻声说话时的声音强度，作比得答案.

【详解】由题意，可知

当声音等级为100dB时，有10×＝100，

即＝10，则＝1010，

此时对应的强度x＝1010×10﹣12＝10﹣2，

当声音的等级为30dB时，有10×＝30，

即＝3，则＝103，

此时对应的强度x＝103×10﹣12＝10﹣9，

∵，

∴小型飞机降落时的声音强度是轻声说话时声音强度的107倍.

故选：C.

5．三个数的大小顺序是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性以及借用常数0和1进行比较，可得结果.

【详解】∵，，，

∴.

故选：A.

6．设是定义在上的偶函数，当时，，则的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据偶函数得等价于，再由函数单增得，从而得解.

【详解】当时，，可得，

是定义在上的偶函数，

所以等价于，

显然当时，为增函数，

所以，解得.

故选：D.

7．在平行四边形中，点满足，且是边中点，若交于点．且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知找到相似三角形,得到,利用向量运算求出答案.

【详解】如图，平行四边形中，，，

因为

所以.

故选：B.

8．已知函数，函数，若有四个不同的零点，且满足，则的取值范围是（    ）

A． B．． C． D．

【答案】D

【分析】作出函数的图象，由有四个不同的解，，，且，可得，，且，，从而，再结合，可求出的范围.

【详解】由题意，当时，；当时，；当时，.

作出函数的图象，如下图所示，

易知与直线有三个交点，分别为，，，

因为有四个不同的解，，，且，

所以，且，，

又，，

所以，即，则.

所以，且，

构造函数，且，

可知在上单调递减，且，，

所以，即.

所以的取值范围为.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查根据方程的解的个数，求表达式的范围，解题关键是作出函数的图象，求出四个解之间的关系.本题中将方程转化为2个函数，作出2个函数的图象，利用二次函数、对数函数的性质，可得到，，即可将所求表达式转化为，由的范围，可求出答案.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.

二、多选题

9．年锦州市举办了“脱颖杯”青年教师教学比赛，某学科聘请名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再求平均分为选手的最终得分．现评委为某选手的具体评分如茎叶图所示，则以下选项正确的有（ ）

A．七名评委评分的极差为13 B．七名评委评分的众数为

C．七名评委评分的分位数为 D．该选手最终得分为分

【答案】ABC

【分析】将数据由小到大排列，然后分别计算即可判断.

【详解】根据茎叶图，这名选手的得分分别为79，86，87，90，91，91，92.

可知极差为，A正确；

91分出现的最多，因此众数为91，B正确；

因为数据个数为7，且已从小到大排列，又，所以该组数据的分位数为，C正确；

由于要去掉一个最高分和一个最低分，因此这名选手的成绩为

，D错误.

故选：ABC.

10．如果实数，则下列不等式中成立的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项.

【详解】令，则，所以A错误，

令，则，所以D选项错误.

由，其中，所以，所以成立，B正确.

由，其中，所以，所以成立，C正确.

故选：BC

11．已知函数的定义域是，且在区间上是增函数，在区间上是减函数，则以下说法一定正确的是（    ）

A． B．

C．在定义域上有最大值，最大值是 D．与的大小不确定

【答案】AD

【分析】根据单调性可判断A,因为题中没有对称性，所以可判断BD，再由函数是否连续不确定，可判断C.

【详解】对于A，由函数在区间上是减函数，可得，正确；

对于B，题中条件没有说明函数关于对称，所以和未必相等，不正确；

对于C，根据题意不确定在是否连续，所以不能确定最大值是，不正确；

对于D，和不在同一个单调区间，且函数没有提及对称性，所以与的大小不确定，正确.

故选：AD.

12．函数，则下列关于函数的说法正确的是（    ）

A．函数在区间上是减函数 B．值域为

C．图像关于原点对称 D．有反函数

【答案】BCD

【分析】先求函数的定义域，再分析内存函数的单调性及值域，从而就可以判断其奇偶性，值域等.

【详解】要使函数有意义，则，即，令，可知其在是单调递增，所以，从而可知选项A错误，选项B正确.

又，所以选顶C正确，

根据复合函数的单调性可知是单调递增函数，故选项D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．不等式的解集为__________．

【答案】

【分析】设,利用数形结合求出答案.

【详解】根据不等式，

设

当时，

当时，
 

根据图像数形结合可得的解集为，

故答案为：.

【点睛】不等式的题型，有时可以利用数形结合的思想来解决问题.

14．年华人数学家张益康证明了李生素数猜想的一个弱化形式，李生素猜想是希尔伯特在二十世纪初提出的个数学问题之一．可以这样描述，存在无穷多个素数，使得是素数，称素数对为孪生素数．如果在不超过的素数中，随机选收两个不同的数，则选取的两个数能够组成孪生素数的概率是__________．

【答案】

【分析】根据题意，列举出所有不超过20的素数，得出能组成孪生素数的个数，进而可求出对应的概率.

【详解】不超过20的素数有：2,3,5,7,11,13,17,19共8个，

根据素数对称为孪生素数得到，不超过20的素数能组成的孪生素数对为，，，， 共4对，

所以，能够组成孪生素数的概率是.

故答案为：.

15．已知，，满足，存在实数m，对于任意x，y，使得恒成立，则的最大值为____________.

【答案】2

【分析】首先根据题意得到，从而得到，即，再根据恒成立，即可得到的最大值.

【详解】因为，，

所以，

所以.

即，

，解得.

因为恒成立，所以，即.

所以的最大值为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查基本不等式，同时考查了不等式的恒成立问题，属于中档题.

四、双空题

16．已知函数，则__________．____________

【答案】       

【分析】令，可得，令，得，从而得解.

【详解】因为函数，

令，得，

令，得，

所以.

故答案为：；.

五、解答题

17．已知集合

（1）当时，求

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）直接解二次不等式可得，由对数函数的定义可得集合，再求解即可；

（2）根据题意得有是的真子集，列不等式求解即可.

【详解】因为，由，得

所以

所以

因为

所以

所以

若是的充分不必要条件，则有是的真子集，

又

所以

18．平面内三个向量

（1）求

（2）求满足的实数

（3）若，求实数

【答案】（1）；（2）；（3）．

【分析】（1）利用向量加法的坐标运算得到，再求模长即可；

（2）先写的坐标，再根据使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；

（3）利用向量平行的关系，坐标运算列关系求出参数即可.

【详解】因为

所以

由，得

所以

解得

因为

所以

解得

19．与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛．要求每支代表队人，在必答题环节规定每人回答一个问题，答对得分，答错得分、在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队三个人回答问题正确的概率分别为，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响，

（1）求甲队至少得分的概率；

（2）求甲队总得分为分且乙队总得分为分的概率．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）利用事件的对立事件得0分计算即可；

（2）记“甲队得分为分”为事件，记“乙队得分为分”为事件，事件即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，事件即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，由题意得事件与事件相互独立，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．

【详解】记事件：甲队第人答对，其中

记事件：乙队第人答对，其中

记事件甲队至少得一分

则其对立事件为：甲队得分，即三人都回答错误

因为每人回答正确与否相互之间没有影响，所以

所以

记“甲队得分为分”为事件，记“乙队得分为分”为事件

事件即甲队三人中有人答对，人答错

则

事件即乙队人中只有人答对，其余人答错，则

由题意得事件与事件相互独立，

甲队总得分为分且乙队总得分为分的概率：

20．某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于至之间，将数据按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示．

（1）求频率分布直方图中的值

（2）若从高一学生中随机抽取一人，估计这名学生数学竞赛成绩不低于分的概率：

（3）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计高一年级学生本次数学竞赛的平均分

【答案】（1）；（2）；（3）．

【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形和为1计算可得解；

（2）计算最后两个矩形的面积即可；

（3）由各个小矩形的面积乘以矩形中点的横坐标可得解.

【详解】由题意可知

解得

抽取的样本中，成绩不低于分的学生所占的比例是

所以若从高一学生中随机抽取一人，估计这名学生数学竞赛成绩不低于分的概率为

因为

因此估计高一年级学生本次数学竞赛的平均分为

21．为响应市政府提出的以新旧动能转换为主题的发展战略，某公司花费万元成本购买了一套新设备用于扩大生产，预计使用该设备每年收入为万元，第一年该设备的各种消耗成本为万元，且从第二年开始每年比上一年消耗成本增加万元.（总利润总收入总成本）

（1）求该设备使用年的总利润；

（2）求该设备使用年的总利润（万元）与使用年数的函数关系式：

（3）这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？并求出年平均利润的最大值．

【答案】（1）万元；（2）；（3）这套设备使用年可使年平均利润最大，最大利润为万元．

【分析】（1）利用“总利润总收入总成本”可求得结果；

（2）利用“总利润总收入总成本”可得出关于的函数关系式；

（3）求，利用基本不等式可求得的最大值，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论.

【详解】（1）设备使用年的总利润为万元；

（2）由题意知，年总收入为万元，

年消耗成本总费用为万元，

总利润，即；

（3）年平均利润为，则

，所以，当且仅当，即时取等号，

，

所以这套设备使用年可使年平均利润最大，最大利润为万元．

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

22．已知函数

（1）判断并用定义证明函数在上的单调性：

（2）定义若函数的定义域为，值域为，则称为的倍指数跟随区间，特别地，若，则简称为的“指数跟随区间”

①是否存在，使得为的“指数跟随区间"，请说明理由；

②若存在，使得为的“倍指数跟随区间”求实数的取值范围：

（3）函数，分别计算在区间上的平均变化率，并比较它们的大小．

【答案】（1）在上是增函数；证明见解析；（2）①不存在；答案见解析；②；（3）函数在上的平均变化率；函数在上的平均变化率；．

【分析】（1）直接根据单调性的定义，取值作差判断即可；

（2）①根据题意可得是方程的两个不等的正根，进而换元，可得，根据判别式可判断；

②根据题意得是方程的两个不等正根，进而换元，可得方程有两个大于的不等实根，再根据二次方程根分布列式求解即可；

（3）根据和可计算平均变化率，再作差比较大小即可.

【详解】，即在上是增函数

证明：设

则

由，可得

即

可得

所以

则在为增函数

若存在时，使得为的“指数跟随区间”，

即函数在上的值域是，由在为增函数

可得

即

所以

则是方程的两个不等的正根

设，可得

因为此方程无实根，

所以不存在

使得为的“指数跟随区间”．

若实数时，，函数在倍指数跟随区间，

即函数在上的值域是

则，又在为增函数

可得

即

所以

则是方程的两个不等正根，

设，可得

即关于的方程有两个大于的不等实根

所以有

即

所以

函数在上的平均变化率

函数在上

设，因为

所以

所以比较与的大小即比较与的大小

因为

所以

所以函数在上的平均变化率大于函数在上的平均变化率.

【点睛】方法点睛：研究二次方程根分布的问题，一般两个方法：一个是利用图像，另一个是参变分离。其中利用二次图像研究方程根时要注意：开口、判别式、对称轴和区间端点等条件.