辽宁省沈阳市实验中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题（教师版）

辽宁省沈阳市实验中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．O、A、B、C为空间四点，且向量、、不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（    ）

A．、、共线 B．、共线

C．、共线 D．O、A、B、C四点共面

【答案】D

【分析】

根据向量、、不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论.

【详解】

因为O、A、B、C为空间四点，且向量、、不能构成空间的一个基底，

所以、、共面，

所以O、A、B、C四点共面，

故选：D

2．3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据题意，分2步进行分析：①将4名学生站成一排，②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，由分步计数原理计算可得答案.

【详解】

解：根据题意，分2步进行：

①将4名学生站成一排，有种排法；

②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，有种情况；

则有种排法；

故选：D.

【点睛】

本题考查排列的应用，解题方法是插空法，属于基础题．

3．的顶点分别为、、，则边上的高的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据向量垂直的坐标表示运算即可求解.

【详解】

∵、、，

则，，

∵点在直线上，

∴设，

则，

又∵，

则，

解得.

∴，

则，

故选：C.

4．如图所示，设､分别是正方体的棱上两点，且､，其中正确的命题为（    ）

A．异面直线与所成的角为45°

B．异面直线与所成的角为30°

C．直线与平面所成的角为45°

D．直线与平面所成的角为60°

【答案】A

【分析】

将两条异面直线平移至相交，找到异面直线所成的角，求解即可判断选项，，先求出点到平面的距离，然后利用直角三角形中的边角关系求解即可判断选项，．

【详解】

解：因为，

所以是异面直线与所成的角为，

故选项正确，选项错误；

在三棱锥中，设点到平面的距离为，

则有，

所以，

解得，

则直线与平面所成的角的正弦值为，

所以直线与平面所成的角为，

故选项，错误．

故选：．

5．在的展开式中有理项的项数是（    ）

A．9 B．8 C．7 D．6

【答案】A

【分析】

由题意利用二项展开式的通项公式，可得当为偶数，且能被3整除时，展开式为有理项，从而得出结论．

【详解】

解：的展开式的通项公式为，

故当为偶数，且能被3整除时，

即，6，12，18，24，30，36，42，48时，展开式为有理项，

故选：A．

6．已知的三个顶点的坐标分别为、、，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】B

【分析】

求出圆心到直线的距离，比较得出圆心到三边距离的最小值，求出圆心到三顶点的距离，比较得最大值，可得唯一公共点坐标，从而得所求圆方程．

【详解】

依题意，直线的方程为，化为一般式方程：

点到直线的距离，

又，，，

则以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则公共点为或，

故圆的半径为或，则圆的方程为或，

故选：B.

7．已知抛物线上的点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】A

【分析】

由抛物线定义，把转化为抛物线的焦点到直线的距离加1求解即可．

【详解】

解：如图，抛物线的焦点，

由抛物线定义可知，抛物线上的点到的距离，

又到直线的距离为，

的最小值为．

故选：．

8．已知是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该双曲线的离心率是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据题意，连接，构造矩形；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理求得 的关系，进而求出离心率．

【详解】

设左焦点为，  ，连接

则 ， ， ，

因为，且经过原点

所以四边形 为矩形

在Rt△中， ，代入

化简得

所以在Rt△中，，代入

化简得 ，即

所以选B

【点睛】

本题考查了双曲线的综合应用，根据条件理清各边的相互关系，属于中档题．

二、多选题

9．过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】

设出直线的点法向式方程为(、不同时为)，先讨论或均不合题意，即，然后求出横纵截距，由两截距相等得出，代入即得直线方程．

【详解】

设所求直线方程为(、不同时为)，

显然，当或时，所得直线方程不满足题意，故、均不为，

当时，，当时，，

根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则，

令，则，整理，得，

解得，或，则，或，

故所求直线方程为或，

故选：AC.

【点睛】

方法点睛：本题考查直线的截距问题．

在不学直线的点法向式方程的地区，一般直线在坐标轴的两截距相等，可分类讨论，分截距为0和截距不为0两类，截距为0时设直线方程为求解，截距不为0时设直线方程为求解．两截距一个是另一个倍数问题也一样．

10．正方形沿对角线折成直二面角，下列结论正确的有（ ）

A．与所成的角为

B．与所成的角为

C．与面所成角的正弦值为

D．平面与平面的夹角的正切值是

【答案】BD

【分析】

以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出各选项中的直线的方向向量、平面的法向量后可得向量的夹角的余弦值，从而得到相应的空间角的三角函数值.

【详解】

取的中点O，连接，则，

∵正方形沿对角线折成直二面角，故平面平面，

而平面平面，平面，故平面.

∴以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，∴，，，，.

∵，

因为，故，

∴异面直线与所成的角为60°，故A错误；

∵，∴，故B正确；

设平面的法向量为，

则取，得，

∴，

设与面所成角为，

则，故C错误；

易知平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，

则取

得，∴，设两个平面的夹角为（为锐角），则，故，故.

∴平面与平面的夹角的正切值是，故D正确.

故选：BD.

【点睛】

本题考查空间角的计算，一般根据几何体的特征合理建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量、平面的法向量的夹角来计算空间角的大小，本题属于中档题.

11．在的展开式中，下列说法正确的有（    ）

A．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128

B．展开式中所有项的系数和为

C．展开式中二项式系数的最大项为第五项

D．展开式中含项的系数为

【答案】ACD

【分析】

在的展开式中，利用奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和，等于，可得A正确；求所有项的系数之和的方法是令，可得B错误，二项式系数最大的为，为第5项，可得C正确；利用二项展开的通项公式找到项，可得D正确.

【详解】

在的展开式中，

所有奇数项的二项式系数和为，故选项A正确；

令，得所有项的系数和为，故选项B错误；

展开式中二项式系数最大的为，它是展开式中的第项，故选项C正确；

展开式中含项的为，系数为，故选项D正确.

综上可知，答案为：ACD.

故选：ACD.

12．设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A， B两点，则下述结论正确的是（    ）

A．AF+BF为定值 B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]

C．当时，△ABF为直角三角形 D．当m=1时，△ABF 的面积为

【答案】AD

【分析】

根据椭圆的定义可求的值，结合三角形的边长关系可判断周长的取值范围，计算可判断不是直角三角形，计算，利用面积公式可求的面积.

【详解】

设椭圆的左焦点为，则

∴为定值，A正确；

的周长为，因为为定值6，

∴的范围是，

∴的周长的范围是，B错误；

将与椭圆方程联立，可解得，，

又∵，∴，

∴不是直角三角形，C不正确；

将与椭圆方程联立，解得，，

∴，D正确．

故选：AD

三、填空题

13．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．

【答案】6

【分析】

如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．

点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．

14．如图所示，在长方体中，为的中点.用，，表示，则______.

【答案】

【分析】

如图，连接，利用空间向量的线性运算求解.

【详解】

如图，连接.

由题得.

故答案为：

15．某地区高考改革，实行“”模式，即“”指语文、数学、外语三门必考科目，“”指在物理、历史两门科目中必选一门，“”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有_______.（用数字作答）

【答案】

【分析】

本题可分为在物理、历史两门科目中只选一门以及在物理、历史两门科目中选两门两种情况进行计算，然后相加，即可得出结果.

【详解】

若在物理、历史两门科目中只选一门，则有种；

若在物理、历史两门科目中选两门，则有种，

则共有种，

故答案为：.

【点睛】

本题考查通过排列组合解决有多少种不同的组合方式的问题，考查学生从题目中提取信息的能力，考查推理能力，考查分类讨论思想，是简单题.

16．已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为______.

【答案】

【分析】

求出双曲线的渐近线方程，可得直线与直线的距离，根据圆与双曲线的右支没有公共点，可得，求解可得双曲线的离心率的取值范围．

【详解】

解：双曲线的一条渐近线方程为，即，

，是直线上任意一点，

则直线与直线的距离，

圆与双曲线的右支没有公共点，

，即，得，

又，的取值范围为，，

故答案为：，．

四、解答题

17．已知中，且.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）由二项展开式的通项公式直接建立方程，解出m；

（2）利用赋值法：令和-1得到方程组，联立即可解得.

【详解】

的二项展开式的通项公式为：，

（1）因为，，依题意得：，

所以，得.

（2）

令得：.①

令得：.②

由①-②得：，

即.

所以

18．如图，在三棱柱中，底面，，，，.

（1）求直线与面所成角的正弦值；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）根据线面垂直关系，建立如图空间直角坐标系，直接利用直线的方向向量求线线角即可得解；

（2）利用空间直角坐标系，求得两面的法向量，利用向量夹角公式，即可得解.

【详解】

（1）∵底面，∴，，

∵，∴，

于是以为原点，，，和所在直线分别为､和轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

∴，，，

设平面的法向量为，则，即，

令，则，，∴，

设直线与面所成的角为，则

.

故直线与面所成角的正弦值为.

（2）由（1）可知，，，

设平面的法向量为，则，即，

令，则，，，

∴.

由题可知，二面角为锐二面角，

故二面角的余弦值为.

【点睛】

本题主要考查在空间直角坐标中利用向量求线线角和二面角的大小，计算量较大，属于中档题.本题的关键点有：

（1）在用向量求线线角时，注意线线角的范围；

（2）在用求面的法向量时，注意利用赋值法求法向量，并使数据相对简单.

19．已知直线l过点P(2，3)且与定直线l0：y=2x在第一象限内交于点A，与x轴正半轴交于点B，记 的面积为S( 为坐标原点)，点B(a，0).

（1）求实数a的取值范围；

（2）求当S取得最小值时，直线l的方程.

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）求出直线与直线平行时，直线的斜率，由斜率公式以及题设条件确定实数的取值范围；（2）首先求直线的斜率不存在时的面积，当直线的斜率存在时，设出直线方程，求出直线斜率的范围，联立直线与的方程，求出点的坐标，由三角形面积公式，结合判别式法，求出的最小值，及此时直线方程.

【详解】

（1）当直线与直线平行时，不能构成，此时，解得：，所以，又因为点在轴正半轴上，且直线与定直线再第一象限内交于点，所以.

（2）当直线的斜率不存在时，即,，此时,

当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，由于直线的斜率存在，所以，且，

又，或，

由，得，即，

则，

即，

当时，，

整理得，得，即的最小值为3，

此时，解得：，

则直线的方程为

即

【点睛】

本题主要考查直线与直线的位置关系，求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于中档题型.

20．如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）在直线上是否存在一点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，或.

【分析】

（1）取的中点，连接，，先证四边形为平行四边形，可得，再由线面平行的判定定理，得证；

（2）取的中点，连接，证得后，以为原点建立空间直角坐标系，设，求得平面的法向量，由，列得关于的方程，解之即可．

【详解】

（1）证明：取的中点，连接，，

为的中点，，，

四边形为平行四边形，

，

又平面，平面，

平面．

（2）解：取的中点，连接，则，，

四边形为平行四边形，

又，四边形为矩形，即，

平面，，，

故以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，0，，，1，，，1，，，，，

设，则，，，

，，，，1，，，1，，

设平面的法向量为，，，则，即，

令，则，，，1，，

与平面所成角的余弦值为，

，，

化简得，，

解得或，

直线上存在点满足题意，且或．

21．已知动点到定点的距离比到轴距离大，

（1）求动点的轨迹方程；

（2）过作互相垂直的直线与交轨迹于､两点及､两点，A，分别是弦､的中点，当时，求直线与的方程.

【答案】（1）；（2）方程是和或和.

【分析】

（1）设出M的坐标，然后根据已知建立方程化简即可求解；

（2）由题意分别设出直线l，m的方程，联立直线l与抛物线的方程，求出点A的坐标，同理求出B的坐标，然后求出|AB|，令其为1，化简即可求解．

【详解】

解（1）法1：设点，则有

化简得，则点的轨迹方程是.

方法2：已知点到定点的距离比到轴距离大，

由于点到轴的距离为

故当时直线上的点适合条件；

当时，到的距离等于到直线的距离，故轨迹方程为抛物线

综上：点的轨迹方程是.

（2）设，，：代入得

，，，

∴

同理∴

则，

∴，，则直线与的方程是和或和.

【点睛】

易错点睛：求解点到点的距离与点到直线的距离是都得带上绝对值，否则容易出错，所以本题中需要出现两种情况讨论.

22．已知曲线：的短轴长为，曲线：，的一个焦点在的准线上.

（1）求曲线的方程；

（2）设曲线的左焦点为，右焦点为，若过点的直线与曲线的轴左侧部分(包含与轴的交点)交于，两点，直线与曲线交于，两点，直线与曲线交于，两点，试求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）由待定系数法求出曲线的方程；

（2）设直线：，由题意知，用设而不求法表示出直线、的斜率，进而表示出弦长为关于t的函数，求出范围即可.

【详解】

（1）由题知，抛物线的准线为，则椭圆的一个焦点为，∴.

又∵短轴长为，∴，∴，

∴椭圆的方程为.

（2）由（1）知，.

设直线：，过点时，；过时，；

由题意知.

联立方程，消去得.

设，，则

设直线的斜率为，直线的斜率为，

，

∴，

.

设直线：，联立方程，

消去得.

设，，则，

同理.∴

.∵，∴，

∴.

【点睛】

（1）待定系数法、代入法可以求二次曲线的标准方程；

（2） “设而不求法”一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.