辽宁省沈阳市东北育才学校2020-2021学年高二下学期期末数学试题（教师版含解析）

2020-2021学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二(下)期末数学试卷

一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分)．

1. 若随机变量，则数学期望(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用二项分布的期望公式可求得的值.

【详解】，由二项分布的期望公式可得.

故选：C.

【点睛】本题考查二项分布期望的计算，考查计算能力，属于基础题.

2. 函数的图像在点处的切线的倾斜角为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由直线的斜率等于倾斜角的正切值求解．

【详解】由，得，

∴，

设的图像在点处的切线的倾斜角为()，

∴，即．

故选：B．

3. 若等差数列的公差为，前项和为，记，则(    )

A. 数列是公差也为的等差数列

B. 数列是公差为的等差数列

C. 数列是公差为的等差数列

D. 数列是公差为的等差数列

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知写出等差数列的通项公式与求和公式，从而可得，，的表达式，进而由等差数列的函数特性即可对选项进行逐一判断．

【详解】根据题意，，，

故是关于的一次函数，

∴数列是公差为的等差数列，故A、B错误；

由是关于的一次函数，得数列是公差为的等差数列， C正确；

又是关于的一次函数，则数列是公差为的等差数列，故D错误．

故选：C．

4. 如图是相关变量，的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程，相关系数为．则(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据散点图知变量、具有负线性相关关系，且点是离群值；

剔除离群值后，线性相关性强些，是负相关，由此得出正确的结论．

【详解】根据相关变量、的散点图知，变量、具有负线性相关关系，且点是离群值；

方案一中，没剔除离群值，线性相关性弱些，成负相关；

方案二中，剔除离群值，线性相关性强些，也是负相关；

所以相关系数．

故选：D

5. 若函数存在唯一的极值点，且此极值小于0，则实数的取值范围为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】，x＞0，

∴f′(x)=a(x﹣1)ex+﹣1=(x﹣1)(aex)，

由f'(x)=0得到x=1或aex(*)

由于f(x)仅有一个极值点，

关于x的方程(*)必无解，

①当a=0时，(*)无解，符合题意，

②当a≠0时，由(*)得，a=，∴a

由于这两种情况都有，当0＜x＜1时，f'(x)>0，于是f(x)为增函数，

当x＞1时，f'(x)＞0，于是f(x)为减函数，

∴x=1为f(x)的极值点，

∵f(1)=﹣ae-1<0，

∴,又a

综上可得a的取值范围是．

故选D．

点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

6. 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为(    )

A. 0.08 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.2

【答案】A

【解析】

【分析】利用条件概率公式即可求解.

【详解】以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，

B表示取得的X光片为次品，

P=，P=，P=，

P=，P=，P=；

则由全概率公式，

所求概率为P=P+P+P

=×+×+×=0.08.

故选：A

7. 我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何．”翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇，这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为200尺，则至少需要多少天时间才能打穿？(    )

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

【答案】C

【解析】

【分析】设需要天时间才能打穿，结合题设列不等式并整理得，令，利用函数零点存在性定理及函数单调性即可求出结果．

【详解】设需要天时间才能打穿，则，化简并整理得，

令，则；，又在单调递增，

∴在内存在一个零点，

∴至少需要8天时间才能打通．

故选：C．

8. 已知实数，，满足且，则，，的大小关系为(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先由得出，排除两个选项，然后引入函数，利用导数得单调性，引入函数设，由导数得单调性，然后比较的大小得出结论．

【详解】解：∵实数，，满足，，

∴，，则排除B，C选项，

令，

所以，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，即，

∴，

∴，设，，在上单调递减，则，

∴，排除D选项.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查实数的大小比较，解题方法利用指数函数、对数函数的性质，构造新函数，由导数研究单调性，结合中间值，比较大小．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 在一个袋中装有大小相同的4黑球，6个白球，现从中任取3个小球，设取出的3个小球中白球的个数为，则下列结论正确的是(    )

A. 随机变量服从超几何分布

B. 随机变量服从二项分布

C.

D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据已知条件，结合超几何分布的概率公式，以及期望公式，即可求解．

【详解】由题设描述知：随机变量服从超几何分布，故A正确，B错误，

，故C正确，

，故D正确.

故选：ACD．

10. 已知数列的前n项和为，下列说法正确的是(    )

A. 若，则是等差数列

B. 若，则是等比数列

C. 若是等差数列，则

D. 若是等比数列，则，，成等比数列

【答案】BC

【解析】

【分析】根据()；即可判断选项A、B；根据等差数列的性质易判断选项C；易举反例进行判断选项D．

【详解】当时，；()，

不满足上式，所以数列不是等差数列，选项A错误；

当时，,，

且满足上式，所以此时数列是等比数列，选项B正确；

根据等差数列的性质可知：；故选项C正确；

当时，是等比数列，而，，，不能构成等比数列，选项D错误．

故选：BC．

11. 设随机变量的分布列如下：

则下列正确是(    )

A. 当为等差数列时，

B. 数列通项公式可以为

C 当数列满足时，

D. 当数列满足时，

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据分布列的性质知，结合数列的性质对选项一一分析即可.

【详解】解析：由题目可知；

对于选项A，若为等差数列，则，

所以，因此选项A正确；

对于选项B，，

，因此选项B不正确；

对于选项C，由，则，

所以，因此选项C正确；

对于选项D，方法一：，则，所以满足题意

当时，，则

，所以满足题意

当时，

则当时，，因此选项D正确

方法二：令，则

即，，于是有

，解得，于是有

因此选项D正确

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：根据分布列，得到，运用等差，等比数列的性质对选项进行分析；当数列出现型如，可以通过裂项求和；

12. 已知函数，则下列命题正确的是(    )

A. 在上是增函数

B. 的值域是

C. 方程有三个实数解

D. 对于，()满足，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用导数可判断出函数的单调性和最值，由函数的值域可得方程根的个数，利用以及基本不等式可得．

【详解】，

当时，，在上单调递增；

当时，；当时，，则在上单调递增，在上单调递减；

综上可得在上是增函数，故A正确；

，，故B不正确；

方程，可得或，，方程共有三个实数解，故C正确；

满足，即，

则，

化简得

，

当且仅当时取等号

令，则，解得，故，故D正确

故选：ACD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知随机变量服从正态分布，若，则______．

【答案】

【解析】

【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求得结果.

【详解】，，

又，，.

故答案为：.

14. 定义在上的函数满足，的导函数为，则______．

【答案】

【解析】

【分析】利用复合函数的求导公式对进行求导，代入即可得到答案．

【详解】定义在上的函数满足，，

则.

故答案为：.

15. 数列的前项和为，且，则数列的最小值为______．

【答案】．

【解析】

【分析】首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用换元法和二次函数的性质的应用求出结果．

【详解】解：数列的前项和为，且，

当时，解得；当时，，

由于首项符合通项，所以．

所以，

设，()，

所以，

当，即时，，

即数列的最小值为．

故答案为：．

16. 设函数，若存在唯一的整数．使得，则实数的取值范围______．

【答案】．

【解析】

【分析】由题意可得，设，讨论，，判断函数的单调性，以及函数的图象和直线的斜率的变化，可得所求范围．

【详解】由，可得，即为，

设，

当时，，单调递增，存在无数个整数，使得，不符合题意；

当时，由于，所以，

，，当时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以的极大值也是最大值为，且时，，时，，

所以作出函数和的大致图象，如图，

过点的直线介于，之间时满足条件，

直线过点时，的值为2，直线过点时，的值为，

由图可知，的取值范围是．故答案为：．

【点睛】本题的解题的关键是利用函数和的大致图象，数形结合处理函数不等式问题.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，且，，是等比数列的前3项．

(1)求，；

(3)设，求的前项和为．

【答案】(1)，，；(2).

【解析】

【分析】(1)根据题意,设等差数列的公差为，根据已知条件列出首项与公差的方程组，求与，写出等差数列的通项公式，进而求等比数列的通项公式；

(2)先根据第(1)题的结果计算出数列的通项公式，再运用错位相减法计算出前项和为．

【详解】(1)由题意，设等差数列的公差为，则，故，即，①

∵，，是等比数列的前3项，

∴，即，整理，得，又，

∴，即，②

联立①②，即，解得，

∴，．

设等比数列的公比为，则，又，

∴，．

(2)由(1)，可得，则，

∴，

两式相减，可得，

∴．

18. 2021年春晚首次采用“云”传播，“云”互动形式，实现隔空连线心意相通，全球华人心连心“云团圆”，共享新春氛围，“云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式．某市随机抽取200人对“云课堂”倡议的了解情况进行了问卷调查，记表示了解，表示不了解，统计结果如下表所示：

(表一)

(表二)

(1)请根据所提供的数据，完成上面的列联表(表二)，并判断是否有99％的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系;

(2)用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取4人，记“4名男性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为，“4名女性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为．试求出与，并比较与的大小．

附：临界值参考表的参考公式

，其中)

【答案】(1)表格见解析，有；(2)，，.

【解析】

【分析】(1)依据题中数据直接填写，然后根据公式计算即可.

(2)先计算男性了解“云课堂”倡议的概率，女性了解“云课堂”倡议的概率，然后可得，进行比较即可.

【详解】(1)

．

对照临界值表知，有99％的把握认为对“云课堂”倡议了解情况与性别有关系．

(2)用样本估计总体，将频率视为概率，根据列联表得出，

男性了解“云课堂”倡议的概率为，

女性了解“云课堂”倡议的概率为：，

故，，

显然．

19. 设数列满足，．

(1)计算，，猜想的通项公式并加以证明；

(2)令，，证明：．

【答案】(1)，，，证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)由已知直接求解，，猜想的通项公式为，；利用数学归纳法的步骤证明即可；

(2)求得，放大后利用裂项相消法求和，即可证明结论．

【详解】(1)由，，

得，，

猜想的通项公式为．

下面利用数学归纳法证明：

当时，成立；

假设当(，)时成立，即，

则当时，．

∴当时结论成立．

综上所述，对于任意，有；

(2)证明：，

则．

20. 天问一号火星探测器于2021年2月10日成功被火星捕获，实现了中国在深空探测领域的技术跨越.为提升探测器健康运转的管理水平，西安卫星测控中心组织青年科技人员进行探测器遥控技能知识竞赛，已知某青年科技人员甲是否做对每个题目相互独立，做对，，三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.

规则如下：按照，，的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.

(1)求甲获得的奖金的分布列及均值；

(2)如果改变做题的顺序，获得奖金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得奖金的均值最大？(不需要具体计算过程，只需给出判断)

【答案】(1)分布列见解析，；(2)按照题目，，的顺序做题，得到奖金的期望值最大.

【解析】

【分析】(1)由题意，的可能取值为0，1000，3000，6000，计算每个取值的概率，写出分布列，最后计算均值即可；

(2)根据均值的性质以及概率的性质进行判断即可.

【详解】(1)解：分别用，，表示做对题目，，的事件，则，，相互独立.

由题意，的可能取值为0，1000，3000，6000.

；；

；

.

所以甲获得的奖金的分布列为：

.

(2)改变做题的顺序，获得奖金的均值互不相同.

决策的原则是选择期望值大的做题顺序，这称为期望值原则.做对的概率大表示题目比较容易，做对的概率小表示题目比较难.

猜想：按照由易到难的顺序做题，即按照题目，，的顺序做题，得到奖金的期望值最大.

21. 已知函数，.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)令，若，函数有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】(1) 函数的单调递减区间为，单调递增区间为 (2)

【解析】

【分析】(1)当时， ，求出，可得函数的单调区间；

(2)依题意得，，然后求导，得，然后，分情况讨论即可求出实数的取值范围

【详解】(1)函数的定义域为

当时，

令得，解得，

令得，解得，

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为

(2)，

由得

①当时，，函数在上单调递增，

所以，即，函数在上没有零点.

②当时，时，，时，

所以函数在上单调递减，在上单调递增

因为，

所以函数在有两个零点只需

解得

综上所述，实数的取值范围为

【点睛】本题考查利用导数求单调性和单调区间的问题，解题的关键在于分情况讨论时注意数形结合，属于难题

22. 已知函数(其中e是自然对数的底数，a，)在点处的切线方程是.

(1)求函数的单调区间.

(2)设函数，若在上恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)单调递减区间，单调递增区间为；(2).

【解析】

【分析】(1)求出.由题意求出，，即可求出，，代入，即可求出的单调区间；

(2)由(1)知.解法1：要使在上恒成立，只需即可，利用导数求；解法2：要使在上恒成立，等价于在上恒成立.令，则只需即可，利用导数求；解法3：要使在上恒成立，等价于在上恒成立. 先证明，可得当时，有，可得，即求实数m的取值范围.

详解】(1)对函数求导得，

由条件可知，，解得，，

所以.

.令得，

于是，当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

故函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

(2)由(1)知.

解法1：要使在上恒成立，只需即可.

因为，，

所以在上单调递增.

因为当时，，当时，，

所以，在上存在唯一的零点，满足，

所以，

且在上单调递减，在上单调递增，

于是

由得，此时必有，，

两边同时取自然对数，则有，即.

构造函数()，则，

所以函数在上单调递增，又，所以，即.

故，于是实数m的取值范围是.

解法2：要使在上恒成立，等价于在上恒成立.

令()，则只需即可.

，令()，则，

所以在上单调递增，又，，

所以有唯一的零点，且，在上单调递减，在上单调递增.

因为，两边同时取自然对数，则有，

即.

构造函数()，则，

所以函数在上单调递增，又，

所以，即.

所以.

于是实数m的取值范围是

解法3：要使在上恒成立，

等价于在上恒成立.

先证明，令()，则，于是，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，故(当且仅当时取等号)

所以，当时，有，所以，即，当且仅当时取等号，于是实数m的取值范围是.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和不等式恒成立问题，属于难题.