辽宁省沈阳市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

2022年沈阳市高中一年级教学质量监测

数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

2. 对于任意实数，，则“”是“”（    ）

A 充分不必要条件 B. 不要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

3. 若样本，，，…平均数为10，方差为20，则样本，，，…，的平均数和方差分别为（    ）

A. 平均数为20，方差为35 B. 平均数为20，方差为40

C. 平均数为15，方差为75 D. 平均数为15，方差为80

【答案】D

4. 《九章算术》第七卷“盈不足”：主要讲盈亏问题的一种双假设算法，提出了盈不足，盈适足和不足适足、两盈和两不足这三种类型的盈亏问题，以及若干可通过两次假设化为盈不足问题的一般解法.这种解法传到西方后，产生了极大的影响，在当时处于世界领先地位高中数学教材中就引用了这样一道题“今有人共买羊，人出五，不足四十五：人出七，不足三.问人数、羊价各几何？“译文如下：“今有人合伙买羊，每人出5钱，差45钱；每人出7钱，差3钱问合伙人数、羊价各是多少？（    ）

A 21、105 B. 21、150 C. 24、165 D. 24、171

【答案】B

5. 设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

6. 若函数是定义在上的偶函数，则（    ）

A.  B. 0 C. 1 D. 3

【答案】D

7. 函数的图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

8. 已知函数，则函数的零点个数为（    ）

A. 3 B. 4 C. 2 D. 1

【答案】A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 先后抛掷质地均匀的硬币两次，下列说法正确的有（    ）

A. 样本空间中一共含有4个样本点

B. 事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次背面向上”是互斥事件

C. 事件“至少一次正面向上”与事件“两次背面向上”是对立事件

D. 事件“一次正面向上一次背面向上”发生的概率是

【答案】ACD

10. 最近，EDG电子竞技俱乐部首次夺得英雄联盟全球总决赛冠军的消息在网络上轰动一时，这是对电子竞技体育主流价值的一种认可，也是一场集体的自我证明，电竞并不等同于打游戏，其需要很强的责任心和自律精神，我国体育总局已经将电子竞技项目列为正式体育竞赛项目现某公司推出一款全新电子竞技游戏，下面雷达图给出该游戏中3个人物的5种特征分析.则下列说法正确的是：（    ）

A. 小轲生命值低，但是法力、防衡力、移动速度都很出色，适合快速进攻

B. 小娜的各项特征均衡，组队进攻时，可以弥补小轲的弱点

C. 小班的生命值比小轲大，所以游戏中一定比小轲活得久

D. 如果进行一对一对抗赛，小班比小娜的胜率大

【答案】AB

11. 如图所示，已知P，Q，R分别是三边的AB，BC，CA的四等分，如果，，以下向量表示正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

12. 已知直线分别与函数和的图象交于点，，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 求值:____________．

【答案】3

14. 设，，若，则的最小值为______.

【答案】

15. 命题“，关于x的方程不成立”的否定是真命题，则实数的取值范围是______.

【答案】

16. 若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作.设函数，则函数的最大值是______.

【答案】##0.5

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知向量，，.

（1）求与共线的单位向量；

（2）求满足的实数m，n的值；

（3）若，求实数k的值.

【答案】（1）或   

（2）   

（3）

18. 关于x的不等式的解集为A，不等式的解集为B.

（1）求集合A，B；

（2）若，求实数a的取值范围.

【答案】（1），或；   

（2）或.

19. 为深入贯彻党的十九大和十九届五中全会精神，切实提升学校育人水平，2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《“双减”意见》、要求各地区各部门结合实际认真贯彻落实某校欲了解高一学生的睡眠情况，现从600名同学中抽取一个容量为50的样本，进行问卷调查下表是根据抽样调查情况得到的高一学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布直方图.

（1）按照中学生健康教育标准要求，高中生应保证日睡眠时间达到8小时，若被调查的学生中，共有18人达标，求频率分布直方图中实数a，b的值；

（2）已知日睡眠时间在区间的5名学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选2人进行面谈，求选中的2人恰好为一男一女的概率；

（3）若睡眠时间在的学生可通过自己的努力保证日睡眠时间达标，睡眠时间在的学生需要通过老师谈话劝说达到要求，为使不低于80%的学生睡眠时间达标，这600名学生中有多少学生需要老师做工作才能使睡眠时间达标？

【答案】（1）   

（2）   

（3）36

20. 已知幂函数，且在区间上单调递减.

（1）求的解析式及定义域；

（2）设函数，求证：在上单调递减.

【答案】（1），定义域为.   

（2）证明见解析

21. 某项关于高中生上课注意力集中情况的调查研究表明，注意力指数p与听课时间t（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的连续不间断曲线.当时，曲线是函数的图象的一部分，当时，曲线是一次函数图象的一部分，当时，曲线是函数（且）图象的一部分，当时，.根据专家研究，当注意力指数不小于83时，听课效果最佳.

（1）试求的函数关系式；

（2）一道数学难题，讲解需要25分钟，问老师能否经过合理安排使得学生在听课效果最佳时完成？如果可以，上课多长时间开始讲解合适（取整数分钟）？如果不可以，说明理由.

【答案】（1）   

（2）老师能经过合理安排使得学生在听课效果最佳时完成，在上课10分钟开始讲解合适

22. 已知函数是偶函数，函数是奇函数.

（1）求a，b的值；

（2）①；②.在上面的两个不等式中选择一个，使得所选不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1），；   

（2）选①：，选②：