2021-2022学年辽宁省沈阳市第二十中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年辽宁省沈阳市第二十中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】化简集合，结合交集运算可求.

【详解】，，所以.

故选：C

2．已知向量是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】判断两个向量是否共线即可确定两个向量是否能作为一组基底.

【详解】对于A，假设共线，则存在，使得，

因为不共线，所以没有任何一个能使该等式成立，

即假设不成立，也即不共线，则能作为基底；

对于B，假设共线，则存在，使得，

即无解，所以没有任何一个能使该等式成立，

即假设不成立，也即不共线，则能作为基底；

对于C，因为，所以两向量共线，

不能作为一组基底，C错误；

对于D，假设共线，则存在，

使得，

即无解，所以没有任何一个能使该等式成立，

即假设不成立，也即不共线，则能作为基底，

故选:C.

3．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案.

【详解】由已知或，

根据全称命题的否定是特称命题得

命题“”的否定是“”

故选：B.

4．函数的定义域为，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】A

【分析】当时，直接验证，当时，利用二次函数的性质列不等式求解.

【详解】当时，，符合；

当时，若函数的定义域为，

则，解得，

综合得实数a的取值范围是，

故选：A.

5．当且时，函数与的图象可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】讨论或，首先判断的图像，再判断的图像即可得出结果.

【详解】当时，的图像在时下降，在时上升，的图像的图像在时下降，在时上升，A选项符合；

当时，的图像在时上升，在时下降，的图像的图像在时上升，在时下降，以上图像都不符合.

故选：A

6．已知，，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题可得，再利用基本不等式即得.

【详解】∵，，，

∴，

∴，当且仅当，即，时“”成立．

故选：A．

7．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据题中所给的平均数的条件，重新列式求新数据的平均数，根据方差公式写出两组数据的方差，并比较大小.

【详解】由题意，可得，

设收集的48个准确数据分别记为，

则

，

，所以．

故选:A．

【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，是基础题．

8．设，，则

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．

详解：.

,即

又

即

故选B.

点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．

二、多选题

9．下列函数为奇函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】利用奇偶性的定义，逐一判断是否相等，同时注意判断函数的定义域是否对称，从而可得答案.

【详解】对于， 定义域为R，，是奇函数；

对于，定义域关于原点对称，若，若

，综上可得函数是奇函数；

对于，定义域为R,，是奇函数；

对于，定义域为，定义域不关于原点对称，不是奇函数.

故选：ABC.

10．豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0-10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字.国庆爱国影片《长津湖》豆瓣得分是7.4分，截至2021年10月24日，共计有437181人参与评分，豆瓣评分表如下.根据猫眼实时数据，该片的票房为53.1亿元，按照平均票价50元来计算，大约有1亿人次观看了此片，假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（    ）

A．m的值是32% B．随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星

C．随机抽取一个观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56 D．若从已作评价的观众中随机抽出3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件

【答案】ACD

【分析】根据豆瓣评分表，逐项判断.

【详解】因为参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，

所以，故A正确；

评价为五星的占比为24%，但随机抽取100名观众，不一定有24人评价五星，故B错误；

由图象知：随机抽取一个观众，其评价是三星或五星的概率约为，故正确；

D. 从已作评价的观众中随机抽出3人，抽到评价为五星的人数为0，1，2，3，

所以事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件，故正确；

故选：ACD

11．中，为上一点且满足，若为线段上一点，且（，为正实数），则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．的最大值为 D．的最小值为3

【答案】AD

【分析】由题设结合三点共线可得，再应用基本不等式求、的最值，利用向量加减、数乘的几何意义求的线性关系.

【详解】

由题设，可得，又三点共线，

∴，即，B错误；

由，为正实数，，则，当且仅当时等号成立，故C错误；

，当且仅当时等号成立，故D正确；

，又，

∴，故A正确.

故选：AD.

12．已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（    ）

A．的图象关于对称

B．

C．在上的最大值是10

D．不等式的解集为

【答案】ACD

【分析】依题意令，求出，再令，即可得到，从而判断A；令得到，再令，，即可判断B；再利用定义法证明函数的单调性即可判断C；依题意原不等式等价于，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可；

【详解】解：因为，则有，令，则，则，令则，即，故的图象关于对称，即A正确；

令，则，

令代x，则，即，即，故B错误；

设且，则，由，令，，则，即，由时，，得，则，所以，所以，即在上单调递减，又，所以，，又，所以，故在上的最大值为，故C正确；

由，即，即，即，又因为，即，所以，即，即，即，解得，即原不等式的解集为，故D正确；

故选：ACD

三、填空题

13．已知幂函数是偶函数，则________．

【答案】

【分析】根据题意，结合幂函数的定义，以及偶函数的判断方法，即可求解.

【详解】根据题意，因为为幂函数，所以，解得或．

当时，是偶函数；

当时，既不是奇函数也不是偶函数．

综上，．

故答案为：.

14．________．

【答案】

【分析】利用指数冥和对数的运算性质计算即可.

【详解】

故答案为：.

15．设函数，其中，若只存在两个整数x，使得，则a的取值范围是_________．

【答案】

【分析】因为 即：，即 的图像只有两个整数点位于 的下方，画图分析即可求出参数的取值范围.

【详解】因为 即： ，

即 的图像只有两个整数点位于 的下方，

只有两个整数x，使得，当 时： ，

此时，令，解得，

此时有两个整数满足

即或，

结合图像可得的取值范围是，

故答案为：.

16．已知函数，若当方程有四个不等实根､､､，（）时，不等式恒成立，则实数的最小值为___________.

【答案】

【分析】根据分段函数性质画出的图象，结合题设，应用数形结合及对数函数的性质可得，，，，再应用参变分离有恒成立，构造，利用换元法结合基本不等式求最值，即可求的最小值.

【详解】当时，，

∴，如下图示：

∴､､､对应A、B、C、D的横坐标，

由，故，则，，

∴，，，

由分离参数得：，

设，

令，则，，则，再令（）

则，

∴（当且仅当时取“=”），

∴，即，

∴，即实数的最小值为.

故答案为：.

四、解答题

17．设全集是，集合．

(1)若，求实数a的取值范围；

(2)条件，条件，若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分和讨论，特别是时，直接根据集合间的包含关系列不等式组求解；

（2）根据q是p的充分不必要条件得到，直接根据集合间的包含关系列不等式组求解.

【详解】（1）若,

当时，，解得，

当时，，解得，

综合得

（2）条件，条件，若q是p的充分不必要条件，

则，且等号不能同时成立，

解得

18．已知向量，求：

(1)若，且，求的坐标；

(2)若﹐求；

(3)若，求k的值．

【答案】(1)或

(2)

(3)

【分析】（1）设，根据和列方程组求解即可；

（2）将向量坐标代入，再根据向量相等列方程组求解即可；

（3）求出，再根据向量平行的坐标公式计算即可.

【详解】（1）设，

由，且，得

，解得或

或

（2），

，解得

（3）由已知，

又，

，

解得

19．设函数，函数．

(1)求函数的值域；

(2)若对于任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对进行讨论，结合基本不等式求出值域即可；

（2）结合（1）中的结论，根据题意对参数进行讨论，转化为集合包含关系，列出不等式解出即可.

【详解】（1）当时，函数，

当时，函数，

当且仅当时，取等号，即

当时，函数，

当且仅当时，取等号，即

综上所述：函数的值域为.

（2）记， ，

由（1），

当时，，

满足对于任意的，总存在，使得，

当时，，在上单调递增，

则，

若对于任意的，总存在，使得恒成立，

则，

所以，

当时，，在上单调递减，

则，

若对于任意的，总存在，使得恒成立，

则，

所以，

综上所述实数a的取值范围：.

20．近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“3＋3模式初露端倪，其中，语、数、英三门为必考科目，剩下三门为选考科目（物理、化学、生物、政治、历史、地理）．选考科目采用赋分”，即原始分不直接使用，而是按照学生在本科目考试的排名来划分等级，并以此打分得到最后的得分，假定某省规定：选考科目按考生原始分数从高到低排列，按照占总体15%，35%，35%，13%和2%划定A、B、C、D、E五个等级，并分别赋分为90分、80分、70分、60分和50分．该省某高中高一（1）班（共40人）进行了一次模拟考试选考科目全考，单科全班排名，（已知这次模拟考试中历史成绩满分100分）的频率分布直方图和地理成绩的成绩单如下所示，李雷同学这次考试地理70多分．

(1)采用赋分制前，求该班同学历史成绩的平均数与中位数（中位数结果精确到0.01）；

(2)采用赋分制后，若李雷同学地理成绩的最终得分为80分，那么他地理成绩的原始分的所有可能值是多少?

(3)若韩梅同学必选历史，从地理、政治、物理、化学、生物五科中等可能地任选两科，则她选考科目中包含地理的概率是多少?

【答案】(1)平均数76.5，中位数为77.14.

(2)可能的原始分数为76,77,78.

(3)

【分析】（1）根据频率分布直方图计算平均数，先找出中位数所在的组，设出来，列出方程解出即可；

（2）计算成绩应该在名和名之间，即到之间，得到分数；

（3）列举所有情况，统计满足条件的个数，得到概率；

【详解】（1）由频率分布直方图知，采用赋分制前，该班同学历史成绩的平均数为：

（分），

由，

所以该班同学历史成绩的中位数在70与80，设为，

则，

（2）采用赋分制后，李雷同学地理成绩的最终得分为80分，

，，

故成绩在名和名（包含7、20名）之间，即到之间，

又因为其地理70多分，

故可能的原始分数为76,77,78.

（3）记地理、政治、物理、化学、生物分别为，

共有10种情况，

满足条件的有4种，故所求概率为：.

21．已知函数，在区间上有最大值2和最小值，设．

(1)求a，b的值；

(2)若有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)讨论二次函数在给定区间的单调性和最值，即可列出方程组求解；

(2)根据（1）求得，从而方程可化为，换元法，讨论二次函数的根的分布情况，列出不等式求解.

【详解】（1）由题，且对称轴，所以函数在单调递增，

所以即，

即，所以.

（2）由（1）得，，

方程转化为，

即，

设，则方程化为，，

因为原方程有三个不同的实数根，

由的图象如下：

由图象可知，有两个正根，且，

设，

从而有解得，或此时无解，

综上，.

22．已知定义域为的函数为奇函数．

(1)求m的值；

(2)当时，若恒成立，求正实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接利用计算即可；

（2）先观察出函数的单调性，再利用函数单调性和奇偶性将不等式变形为，利用二次函数的性质求出的最小值，进而可得正实数a的取值范围

【详解】（1）因为函数为定义域在上的奇函数，

则，

即恒成立，

恒成立，即，

得；

（2）当，即时，，

当时，明显为单调增函数，故为增函数，

则当，为增函数，

又因为函数为连续函数，

故函数在上为增函数，

由恒成立得

恒成立，

恒成立

令，

则，

当，即时，，

，

所以正实数a的取值范围