2021学年5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）同步测试题

课时作业35　函数的零点与方程的解

时间：45分钟

——基础巩固类——

1．函数y＝－x的零点是(　D　)

A．1   B．－1

C．(1,0)，(－1,0)   D．1，－1

解析：由y＝0，即－x＝0，解得x＝1或x＝－1.所以函数的零点为1，－1.故选D.

2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表

由表可知函数f(x)存在零点的区间有(　D　)

A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个

解析：∵f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，f(6)f(7)<0，∴共有4个零点．

3．方程0.9x－x＝0的实数解的个数是(　B　)

A．0个  B．1个  C．2个  D．3个

解析：设f(x)＝0.9x－x，则f(x)为减函数，值域为R，故有1个．

4．函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是(　B　)

A．a>0  B．a≤0  C．a≥0  D．a<0

解析：函数y＝x2＋a存在零点，则x2＝－a有解，所以a≤0.

5．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则该函数的零点个数是(　B　)

A．1  B．2

C．0  D．无法确定

解析：因为ac<0，所以Δ＝b2－4ac>0，所以该函数有两个零点，故选B.

6．已知函数f(x)＝ex－x2＋8x，则在下列区间中f(x)必有零点的是(　B　)

A．(－2，－1)   B．(－1,0)

C．(0,1)   D．(1,2)

解析：根据零点存在性定理，看所给区间的端点值是否异号．

因为f(－2)＝e－2－(－2)2＋8×(－2)<0，f(－1)＝e－1－(－1)2＋8×(－1)<0，f(0)＝1，所以f(－1)f(0)<0，那么函数f(x)的零点必在区间(－1,0)上．故选B.

7．函数f(x)＝lnx－x2＋2x＋5的零点个数为2.

解析：令lnx－x2＋2x＋5＝0得lnx＝x2－2x－5，画图(图略)可得函数y＝lnx与函数y＝x2－2x－5的图象有2个交点，即函数f(x)的零点个数为2.

8．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为(－1,0)．

解析：∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，∴∴

∴－1<b<0.

9．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是[0,1)．

解析：函数f(x)的简图如下图，函数g(x)＝f(x)－m有三个零点等价于f(x)＝m有三个零点，即函数y＝f(x)与函数y＝m的图象有三个交点．显然，由图象知，当直线y＝m在x轴和直线l：y＝1之间时符合题意，故0≤m<1.

10．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？

解：因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－<0，

f(0)＝20－02＝1>0，

而函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．

11．若函数f(x)＝ax2－x－1的负零点有且仅有一个，求实数a的取值范围．

解：当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0，得x＝－1，符合题意；当a>0时，此函数图象开口向上，

又f(0)＝－1<0，结合二次函数图象知符合题意；

当a<0时，此函数图象开口向下，又f(0)＝－1<0，

从而有即a＝－.

综上可知，实数a的取值范围为∪[0，＋∞)．

——能力提升类——

12．设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3，若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则(　D　)

A．0<g(a)<f(b)  B．f(b)<g(a)<0

C．f(b)<0<g(a)  D．g(a)<0<f(b)

解析：由于函数f(x)＝ex＋x－2在R上单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，且f(a)＝0，所以a∈(0,1)，同理可知b∈(1,2)．由于函数g(x)，f(x)均在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)<g(1)＝－2<0，f(b)>f(1)＝e－1>0，于是有g(a)<0<f(b)，故选D.

13．设函数f(x)＝若f(x)－b＝0有三个不等实数根，则b的取值范围是(　D　)

A．(0,10]   B.

C．(1，＋∞)   D．(1,10]

解析：作出函数f(x)＝

的图象如图：

f(x)－b＝0有三个不等实数根，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有三个不同的交点，由图可知，b的取值范围是(1,10]．

14．若方程xlg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)内，则k＝－2或1.

解析：由题意知，x≠0，则原方程即为lg(x＋2)＝，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝lg(x＋2)与y＝的图象，如图所示．由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)内，一个在区间(1,2)内，所以k＝－2或k＝1.故填－2或1.

15．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围．

(1)零点均大于1；

(2)一个零点大于1，一个零点小于1；

(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．

解：(1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得

解得2≤a<.

(2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)＝5－2a<0，解得a>.

(3)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得　解得<a<.