广东省梅州市大埔县2021-2022学年九年级上学期期中考试数学【试卷+答案】

这是一份广东省梅州市大埔县2021-2022学年九年级上学期期中考试数学【试卷+答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）
A．2x2+7＝0B．2x2+2x+1＝0C．5x2++4＝0D．3x2+1＝7x
2．如图，菱形ABCD的对角线BD＝12，AC＝10，则该菱形的面积为（ ）
A．60B．80C．100D．120
3．在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干个，某小组做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放回袋中，不断重复该实验，下表是实验中得到的一组数据，通过该组数据估计摸到白球的概率约是（ ）
A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7
4．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2：3，已知AB＝3cm，BC＝5cm，则矩形EFGH的周长是（ ）
A．16cmB．12cmC．24cmD．36cm
7．一元二次方程x2﹣10x+21＝0的两根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．13B．17C．13或17D．不能确定
8．若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2020﹣a﹣b的值是（ ）
A．2025B．2015C．2021D．2019
9．某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是（ ）
A．6.5（1﹣x）2＝5.265B．6.5（1+x）2＝5.265
C．5.265（1﹣x）2＝6.5D．5.265（1+x）2＝6.5
10．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（ ）
A．8B．9C．10D．8
二、填空题：（共7小题，每小题4分，满分28分）
11．（4分）方程x2＝﹣2x的根是 ．
12．（4分）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，，DE＝4，则EF的长是 ．
13．（4分）已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
14．（4分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（4分）从分别标有A、B、C的3根纸签中随机抽取一根，然后放回，再随机抽取一根，两次抽签的所有可能结果的树形图如下：
那么抽出的两根签中，一根标有A，一根标有C的概率是 ．
16．（4分）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD＝80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且BE＝BO，则∠EOA＝ 度．
17．（4分）如图，∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于E，OD＝4cm，则PE＝ ．
三、解答题（一）：（本大题3小题，每小题3分，共18分）
18．解方程：
（1）x2﹣3x＝0；
（2）x2﹣2x＝4．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O．求证：△COM∽△CBA．
20．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“ ”；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
四、解答题（二）：（本大题3小题，每小题9分，共24分）
21．（9分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若正方形边长为4，AE＝，求菱形BEDF的面积．
22．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3、4、5、x．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表
解答下列问题：
（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率将稳定在它的概率附近．估计出现“和为8”的概率是 ．
（2）如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是，那么x的值可以取7吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取7，请写出一个符合要求的x值．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2﹣x1x2＝4，求m的值．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
25．（10分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）将下列命题填写完整，并使命题成立（图中不再添加其它的点和线）：
①当△ABC满足条件AB＝AC时，四边形AFBD是 形；
②当△ABC满足条件 时，四边形AFBD是正方形．
2021-2022学年广东省梅州市大埔县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分．每小题只有一个正确的选项）
1．下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）
A．2x2+7＝0B．2x2+2x+1＝0C．5x2++4＝0D．3x2+1＝7x
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、2x2+7＝0是一元二次方程，故本选项错误；
B、2x2+2x+1＝0是一元二次方程，故本选项错误；
C、5x2++4＝0是分式方程，故本选项正确；
D、3x2+1＝7x是一元二次方程，故本选项错误．
故选：C．
2．如图，菱形ABCD的对角线BD＝12，AC＝10，则该菱形的面积为（ ）
A．60B．80C．100D．120
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，然后代入数据即可解答本题．
【解答】解：∵菱形ABCD的对角线BD＝12，AC＝10，
∴该菱形的面积为：＝＝60，
故选：A．
3．在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干个，某小组做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放回袋中，不断重复该实验，下表是实验中得到的一组数据，通过该组数据估计摸到白球的概率约是（ ）
A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7
【分析】根据表格中的数据，随着实验次数的增大，频率逐渐稳定在0.6左右，即为摸出白球的概率．
【解答】解：观察表格得：通过多次摸球试验后发现其中摸到白球的频率稳定在0.6左右，
则P白球＝0.6．
故选：C．
4．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于5的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图如图所示：
∵共有20种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有12种结果，
∴两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为P＝＝；
故选：C．
5．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】依据相似三角形的性质和判断定理以及平行线分线段成比例定理进行判断即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，△AEG∽△ACF，△AGD∽△AFB，＝，故B错误．
∴＝，＝＝，＝，
∴A错误，C正确，D错误．
故选：C．
6．若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2：3，已知AB＝3cm，BC＝5cm，则矩形EFGH的周长是（ ）
A．16cmB．12cmC．24cmD．36cm
【分析】根据题意求出矩形ABCD的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比求出周长之比，计算即可．
【解答】解：∵AB＝3cm，BC＝5cm，
∴矩形ABCD的周长＝2×（3+5）＝16cm，
∵矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2：3，
∴矩形ABCD与矩形EFGH的周长比2：3，
∴矩形EFGH的周长为24cm，
故选：C．
7．一元二次方程x2﹣10x+21＝0的两根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．13B．17C．13或17D．不能确定
【分析】用因式分解法求出方程的两个根分别是3和7，有三角形的三边关系，3为底，7为腰，可以求出三角形的周长．
【解答】解：（x﹣3）（x﹣7）＝0
∴x1＝3，x2＝7．
∵三角形是等腰三角形，必须满足三角形三边的关系，
∴腰长是7，底边是3，
周长为：7+7+3＝17．
故选：B．
8．若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2020﹣a﹣b的值是（ ）
A．2025B．2015C．2021D．2019
【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，可以得到a+b的值，然后将所求式子变形，再将a+b的值代入，即可解答本题．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，
∴a+b+1＝0，
∴a+b＝﹣1，
∴2020﹣a﹣b
＝2020﹣（a+b）
＝2020﹣（﹣1）
＝2020+1
＝2021，
故选：C．
9．某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是（ ）
A．6.5（1﹣x）2＝5.265B．6.5（1+x）2＝5.265
C．5.265（1﹣x）2＝6.5D．5.265（1+x）2＝6.5
【分析】首先根据降低率表示出2019年的用水量，然后表示出2020年的用水量，令其等5.265即可列出方程．
【解答】解：设该市用水总量的年平均降低率是x，
则2019年的用水量为6.5（1﹣x），
2020年的用水量为6.5（1﹣x）2，
故选：A．
10．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是（ ）
A．8B．9C．10D．8
【分析】由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．
【解答】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．
∵四边形ABCD是正方形，
∴B、D关于AC对称，
∴PB＝PD，
∴PB+PE＝PD+PE＝DE．
∵BE＝2，AE＝3BE，
∴AE＝6，AB＝8，
∴AD＝8，
∴DE＝＝10，
故PB+PE的最小值是10．
故选：C．
二、填空题：（共7小题，每小题4分，满分28分）
11．（4分）方程x2＝﹣2x的根是 x1＝0，x2＝﹣2 ．
【分析】方程变形后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：方程变形得：x2+2x＝0，即x（x+2）＝0，
可得x＝0或x+2＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2．
故答案为：x1＝0，x2＝﹣2
12．（4分）如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，，DE＝4，则EF的长是 6 ．
【分析】根据平行线分线段成比例解答即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∴，
∴EF＝6，
故答案为：6．
13．（4分）已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 a＞且a≠0 ．
【分析】由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式是b2﹣4ac＞0即可进行解答
【解答】解：由关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根
得Δ＝b2﹣4ac＝4+4×3a＞0，
解得a＞
则a＞且a≠0
故答案为a＞且a≠0
14．（4分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为 2 ．
【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积＝大矩形面积﹣正方形面积，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴图中阴影部分的面积为：×（2﹣）＝2，
故答案为：2．
15．（4分）从分别标有A、B、C的3根纸签中随机抽取一根，然后放回，再随机抽取一根，两次抽签的所有可能结果的树形图如下：
那么抽出的两根签中，一根标有A，一根标有C的概率是 ．
【分析】依据树状图分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：由树状图得：一共有9种等可能的情况数，其中一根标有A，一根标有C的有2种，
则一根标有A，一根标有C的概率是．
故答案为：．
16．（4分）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD＝80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且BE＝BO，则∠EOA＝ 25 度．
【分析】根据∠BAD和菱形邻角和为180°的性质可以求∠ABC的值，根据菱形对角线即角平分线的性质可以求得∠ABO的值，又由BE＝BO可得∠BEO＝∠BOE，根据∠BOE和菱形对角线互相垂直的性质可以求得∠EOA的大小．
【解答】解：∵∠BAD＝80°，菱形邻角和为180°
∴∠ABC＝100°，
∵菱形对角线即角平分线
∴∠ABO＝50°，
∵BE＝BO
∴∠BEO＝∠BOE＝＝65°，
∵菱形对角线互相垂直
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝90°﹣65°＝25°，
故答案为 25．
17．（4分）如图，∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于E，OD＝4cm，则PE＝ 2cm ．
【分析】过P作PF⊥OB于F，根据角平分线的定义可得∠AOC＝∠BOC＝15°，根据平行线的性质可得∠DPO＝∠AOP，从而可得PD＝OD，再根据30度所对的边是斜边的一半可求得PF的长，最后根据角平分线的性质即可求得PE的长．
【解答】解：过P作PF⊥OB于F，
∵∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝15°，
∵PD∥OA，
∴∠DPO＝∠AOP＝15°，
∴PD＝OD＝4cm，
∵∠AOB＝30°，PD∥OA，
∴∠BDP＝30°，
∴在Rt△PDF中，PF＝PD＝2cm，
∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF，
∴PE＝PF＝2cm．
故答案为：2cm．
三、解答题（一）：（本大题3小题，每小题3分，共18分）
18．解方程：
（1）x2﹣3x＝0；
（2）x2﹣2x＝4．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【解答】解：（1）原方程可变形为：x（x﹣3）＝0，
∴x＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝0，x2＝3；
（2）x2﹣2x+1＝4+1，
（x﹣1）2＝5，
∴x﹣1＝，
∴．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O．求证：△COM∽△CBA．
【分析】根据A与C关于直线MN对称得到AC⊥MN，进一步得到∠COM＝90°，从而得到在矩形ABCD中∠COM＝∠B，最后证得△COM∽△CBA．
【解答】证明：∵沿直线MN对折，使A、C重合．
∴A与C关于直线MN对称，
∴AC⊥MN，
∴∠COM＝90°．
在矩形ABCD中，∠B＝90°，
∴∠COM＝∠B，
又∵∠ACB＝∠ACB，
∴△COM∽△CBA．
20．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 200 人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 81° ；
（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“ 微信 ”；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得；
（2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）＝200人，
则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×＝81°，
故答案为：200、81°；
（2）微信人数为200×30%＝60人，银行卡人数为200×15%＝30人，
补全图形如下：
由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，
故答案为：微信；
（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为＝．
四、解答题（二）：（本大题3小题，每小题9分，共24分）
21．（9分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若正方形边长为4，AE＝，求菱形BEDF的面积．
【分析】（1）连接BD交AC于点O，则可证得OE＝OF，OD＝OB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，可证得四边形BEDF为菱形；
（2）由正方形的边长可求得BD、AC的长，则可求得EF的长，利用菱形的面积公式可求得其面积．
【解答】（1）证明：
如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形；
（2）解：
∵正方形边长为4，
∴BD＝AC＝4，
∵AE＝CF＝，
∴EF＝AC﹣2＝2，
∴S菱形BEDF＝BD•EF＝×4×2＝8．
22．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3、4、5、x．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表
解答下列问题：
（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率将稳定在它的概率附近．估计出现“和为8”的概率是 0.33 ．
（2）如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是，那么x的值可以取7吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取7，请写出一个符合要求的x值．
【分析】（1）根据实验次数越大越接近实际概率求出出现“和为8”的概率即可；
（2）根据小球分别标有数字3、4、5、x，用列表法或画树状图法说明当x＝7时，得出数字之和为9的概率，即可得出答案．
【解答】解：（1）利用图表得出：
实验次数越大越接近实际概率，所以出现“和为8”的概率是0.33．
（2）当x＝7时，
则两个小球上数字之和为9的概率是：＝，
故x的值不可以取7，
∵出现和为9的概率是三分之一，即有4种可能，
∴3+x＝9 或 5+x＝9 或 4+x＝9
解得 x＝4，x＝5，x＝6，
故x的值可以为4或5或6．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2﹣x1x2＝4，求m的值．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论；
（2）利用根与系数的关系求得x1+x2＝m+2，x1x2＝2m，代入x1+x2﹣x1x2＝4，解方程即可求解．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：根据题意得：x1+x2＝m+2，x1x2＝2m，
∵x1+x2﹣x1x2＝4，
∴m+2﹣2m＝4．
解得m＝﹣2．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【分析】（1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解；
（2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可．
【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
128+128（1+x）+128（1+x）2＝608
化简得：4x2+12x﹣7＝0
∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，
∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
（2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，
∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3＝128×＝432＜500
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
25．（10分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）将下列命题填写完整，并使命题成立（图中不再添加其它的点和线）：
①当△ABC满足条件AB＝AC时，四边形AFBD是 矩 形；
②当△ABC满足条件 AB＝AC，∠BAC＝90° 时，四边形AFBD是正方形．
【分析】（1）要证明四边形AFBD是平行四边形一组对边平行且相等；
（2）①矩形的对角线相等，②正方形对角线相等且垂直．
【解答】解：（1）∵E是AD中点∴AE＝DE，
∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，
∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF≌△DEC∴AF＝DC，
∵D是BC中点，∴BD＝DC，∴AF＝BD，
又∵AF∥BC，即AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形；
（2）①矩形，
②AB＝AC，∠BAC＝90°．
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的概率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
摸球总次数
10
20
30
60
90
120
180
240
330
450
“和为8”出现的频数
2
10
13
24
30
37
58
82
110
150
“和为8”出现的频率
0.20
0.50
0.43
0.40
0.33
0.31
0.32
0.34
0.33
0.33
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的概率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
摸球总次数
10
20
30
60
90
120
180
240
330
450
“和为8”出现的频数
2
10
13
24
30
37
58
82
110
150
“和为8”出现的频率
0.20
0.50
0.43
0.40
0.33
0.31
0.32
0.34
0.33
0.33