2022-2023学年广东省梅州市大埔县九年级（上）期末数学试卷

2022-2023学年广东省梅州市大埔县九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分，每小题只有一个正确的选项）请你将选到的正确答案填在下面的表格里．

1．（3分）的相反数是　　

A． B．2022 C． D．2021

2．（3分）下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

3．（3分）一组数据4，6，，7，10的众数是7，则这组数据的平均数是　　

A．5 B．6.4 C．6.8 D．7

4．（3分）下列各式计算正确的是　　

A． B． 

C． D．

5．（3分）华为手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为　　

A． B． C． D．

6．（3分）方程的解是　　

A． B． C． D．

7．（3分）下列展开图中，不是正方体展开图的是　　

A． B． 

C． D．

8．（3分）如图，，，，则的度数是　　

A． B． C． D．

9．（3分）如图，在边长为3的正方形中，，，则的长是　　

A．1 B． C． D．2

10．（3分）十八世纪伟大的数学家欧拉最先用记号的形式来表示关于的多项式，把等于某数时的多项式的值用来表示．例如时，多项式的值可以记为（1），即（1）．我们定义．若（3），则的值为　　

A． B． C．26 D．32

二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，满分28分．

11．（4分）因式分解：　　．

12．（4分）骰子各面上的点数分别是1，2，…，6．抛掷一枚骰子，点数是偶数的概率是 　   　．

13．（4分）若，，则　　．

14．（4分）将一副三角板如图摆放，则 　　　　，理由是 　　．

15．（4分）已知关于，的方程组的解是，则直线与的交点在第 　　象限．

16．（4分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场从6月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元．轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他6月13日购买的花费比在打折前购买节省 　　元．

17．（4分）如图，点在反比例函数图象上，轴于点，是的中点，连接，，若的面积为2，则　　．

三、解答题（一）：本大题共3个小题，每小题6分．

18．（6分）计算：．

19．（6分）先化简，再求值：，其中．

20．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

四、解答题（二）：本大题共3个小题，每小题8分．

21．（8分）如图，在中．

（1）利用尺规作图，在边上求作一点，使得点到的距离的长）等于的长；

（2）利用尺规作图，作出（1）中的线段．

（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）

22．（8分）如图，点、分别是、的中点，、相交于点，，．

求证：（1）；

（2）．

23．（8分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了党史知识竞赛．某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到统计图表，已知在扇形统计图中段对应扇形圆心角为．

注：表示成绩满足：，下同．

（1）在统计表中，　　，　　，　　；

（2）若该年级参加初赛的学生共有2000人，根据以上统计数据估计该年级成绩在90分及以上的学生人数；

（3）若统计表段的男生比女生少1人，从段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选到1名男生和1名女生的概率．

五、解答题（三）：本大题共2个小题，每小题10分．

24．（10分）如图，为坐标原点，直线轴，垂足为，反比例函数的图象与交于点，的面积为6．

（1）求、的值；

（2）在轴正半轴上取一点，使，求直线的函数表达式．

25．（10分）已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．

（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．求证：AE＝CF；

（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系；

（3）如图3，当点E在正方形ABCD外部时，AE⊥EC，AE⊥AF，DE⊥BE，且D，F，E三点共线，DE与AB交于G点．若DF＝3，AE＝，求CE的长．

2022-2023学年广东省梅州市大埔县九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分，每小题只有一个正确的选项）请你将选到的正确答案填在下面的表格里．

1．（3分）的相反数是　　

A． B．2022 C． D．2021

【分析】直接利用只有符号不同的两个数叫做互为相反数，即可得出答案．

【解答】解：的相反数是：2022．

故选：．

2．（3分）下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．

【解答】解：选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；

选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；

选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；

选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．

故选：．

3．（3分）一组数据4，6，，7，10的众数是7，则这组数据的平均数是　　

A．5 B．6.4 C．6.8 D．7

【分析】根据众数的意义求出，再根据平均数的计算方法进行计算即可．

【解答】解：这组数据4，6，，7，10的众数是7，因此，

这组数据的平均数为，

故选：．

4．（3分）下列各式计算正确的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据乘方的意义，完全平方公式，合并同类二次根式以及幂的乘方与积的乘方逐项进行判断即可．

【解答】解：，因此选项 不符合题意；

．，因此选项不符合题意；

，因此选项符合题意；

．，因此选项不符合题意；

故选：．

5．（3分）华为手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为　　

A． B． C． D．

【分析】由科学记数法知；

【解答】解：；

故选：．

6．（3分）方程的解是　　

A． B． C． D．

【分析】通过分式方程两边乘化为整式方程进而求解．

【解答】解：，

．

去分母，得．

去括号，得．

移项，得．

合并同类项，得．

经检验：当时，．

这个分式方程的解为．

故选：．

7．（3分）下列展开图中，不是正方体展开图的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．

【解答】解：选项、、均能围成正方体；

选项围成几何体时，有两个面重合，故不能围成正方体．

故选：．

8．（3分）如图，，，，则的度数是　　

A． B． C． D．

【分析】直接利用平行线的性质结合等腰三角形的性质得出的度数．

【解答】解：，

，

，

，

的度数是：．

故选：．

9．（3分）如图，在边长为3的正方形中，，，则的长是　　

A．1 B． C． D．2

【分析】由正方形的性质得出，，由证得，即可得出答案．

【解答】解：四边形是正方形，

，，

中，，

，

设，则，

根据勾股定理得：，

即，

解得：（负值舍去），

，

，

，

，

，

，，

，

．

故选：．

10．（3分）十八世纪伟大的数学家欧拉最先用记号的形式来表示关于的多项式，把等于某数时的多项式的值用来表示．例如时，多项式的值可以记为（1），即（1）．我们定义．若（3），则的值为　　

A． B． C．26 D．32

【分析】先根据，得出，代入即可求解．

【解答】解：，

（3），得：，

，

故选：．

二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，满分28分．

11．（4分）因式分解：　　．

【分析】直接提取公因式，进而分解因式得出答案．

【解答】解：原式．

故答案为：．

12．（4分）骰子各面上的点数分别是1，2，…，6．抛掷一枚骰子，点数是偶数的概率是 　　．

【分析】根据概率公式直接求解即可．

【解答】解：∵抛掷一枚骰子，共有6种等可能的结果，偶数有3种，

∴点数是偶数的概率＝．

故答案为：．

13．（4分）若，，则　0　．

【分析】先求出，再求的平方，然后再开方即可求出．

【解答】解：，

，

，

，

，

，

，

，

故答案为0．

14．（4分）将一副三角板如图摆放，则 　　　　，理由是 　　．

【分析】根据“内错角相等，两直线平行”即可得解．

【解答】解：根据题意得出，，，

，

．

故答案为：；；内错角相等，两直线平行．

15．（4分）已知关于，的方程组的解是，则直线与的交点在第 　二　象限．

【分析】将代入，求出交点坐标，即可确定象限．

【解答】解：将代入，

得，

交点坐标为，

交点在第二象限．

故答案为：二．

16．（4分）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场从6月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元．轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他6月13日购买的花费比在打折前购买节省 　145　元．

【分析】设打折前每盒肉粽的价格为元，每盒白粽的价格为元，根据“打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出肉粽和白粽的单价，再利用节省的钱数打折前购买的总费用打折后购买的总费用，即可求出节省的钱数．

【解答】解：设打折前每盒肉粽的价格为元，每盒白粽的价格为元，

依题意得：，

解得：，

．

故答案为：145．

17．（4分）如图，点在反比例函数图象上，轴于点，是的中点，连接，，若的面积为2，则　8　．

【分析】由是的中点推出，则，所以，因此．

【解答】解：是的中点，的面积为2，

的面积为4，

轴，

，

，

．

故答案为：8．

三、解答题（一）：本大题共3个小题，每小题6分．

18．（6分）计算：．

【分析】根据特殊角的三角函数值，去绝对值，零次幂等知识，运用实数的运算进行计算即可．

【解答】解：

19．（6分）先化简，再求值：，其中．

【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】解：

，

当时，原式．

20．（6分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

则不等式组的解集为，

将不等式组的解集表示在数轴上如下：

四、解答题（二）：本大题共3个小题，每小题8分．

21．（8分）如图，在中．

（1）利用尺规作图，在边上求作一点，使得点到的距离的长）等于的长；

（2）利用尺规作图，作出（1）中的线段．

（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）

【分析】（1）由点到的距离的长）等于的长知点在平分线上，再根据角平分线的尺规作图即可得；

（2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得．

【解答】解：（1）如图，点即为所求；

（2）如图，线段即为所求．

22．（8分）如图，点、分别是、的中点，、相交于点，，．

求证：（1）；

（2）．

【分析】（1）直接利用即可判定，根据全等三角形的性质即可得解；

（2）由题意得，，根据即可判定．

【解答】证明：（1）在和中，

，

，

；

（2）点、分别是、的中点，

，，

．

，，

在和中，

，

．

23．（8分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了党史知识竞赛．某年级随机选出一个班的初赛成绩进行统计，得到统计图表，已知在扇形统计图中段对应扇形圆心角为．

注：表示成绩满足：，下同．

（1）在统计表中，　5　，　　，　　；

（2）若该年级参加初赛的学生共有2000人，根据以上统计数据估计该年级成绩在90分及以上的学生人数；

（3）若统计表段的男生比女生少1人，从段中任选2人参加复赛，用列举法求恰好选到1名男生和1名女生的概率．

【分析】（1）根据扇形统计图中段对应扇形圆心角为，段人数为10人，可求出总人数，即可求出，，的值；

（2）用样本中的频率来估计总体中的频率即可；

（3）通过列举所选情况可知：共10种结果，并且它们出现的可能性相等，其中包含1名男生1名女生的结果有6种，然后根据概率公式即可得出答案．

【解答】解：（1）总人数为：（人，

，（人，

（人，

故答案为：5，0.4，15；

（2）由题意得：成绩在之间的人数为5，

随机选出的这个班级总人数为50，

设该年级成绩在之间的人数为，

则，

解得：，

该年级成绩在90分及以上的学生人数大约有200人；

（3）由（1）（2）可知：段有男生2人，女生3人，

记2名男生分别为男1，男2；记3名女生分别为女1，女2，女3，

选出2名学生的结果有：

男1男2，男1女1，男1女2，男1女3，男2女1，

男2女2，男2女3，女1女2，女1女3，女2女3，

共10种结果，并且它们出现的可能性相等，

其中包含1名男生1名女生的结果有6种，

，

选到1名男生和1名女生的概率为．

五、解答题（三）：本大题共2个小题，每小题10分．

24．（10分）如图，为坐标原点，直线轴，垂足为，反比例函数的图象与交于点，的面积为6．

（1）求、的值；

（2）在轴正半轴上取一点，使，求直线的函数表达式．

【分析】（1）根据三角形的面积可得的值，由的坐标可得；

（2）根据勾股定理可得点的坐标，由、坐标可得解析式．

【解答】解：（1）由题意可得：，

，即，

，

．

（2）轴，

，

．

设直线为，

，

解得：，．

．

25．（10分）已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．

（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线．求证：AE＝CF；

（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系；

（3）如图3，当点E在正方形ABCD外部时，AE⊥EC，AE⊥AF，DE⊥BE，且D，F，E三点共线，DE与AB交于G点．若DF＝3，AE＝，求CE的长．

【分析】（1）证明△DAE≅△DCF（ASA），可得结论；

（2）猜想：AE＝CF，证明△DAE≅△DCF（ASA），推出DE＝DF．AE＝CF即可；

（3）连接AC，取AC的中点O，连接OE，OD．证A、E、C、D四点共圆，得∠AED＝∠ACD＝45°，则∠AED＝∠DEC＝45°，再由（2）可知，．然后证，即可解决问题．

【解答】（1）证明：如图一中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴DA＝DC，∠A＝∠ADC＝∠DCB＝∠DCF＝90°，

∵DE⊥DF，

∴∠EDF＝∠ADC＝90°，

∴∠ADE＝∠CDF，

在△DAE和△DCF中，，

∴△DAE≌△DCF（ASA），

∴AE＝CF．

（2）解：猜想：EA+EC＝DE．

理由：如图2中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴DA＝DC，∠ADC＝90°，

∵DE⊥DF，AE⊥EF，

∴∠AEF＝∠EDF＝90°，

∴∠ADC＝∠EDF，

∴∠ADE＝∠CDF，

∵∠ADC+∠AEC＝180°，

∴∠DAE+∠DCE＝180°，

∵∠DCF+∠DCE＝180°，

∴∠DAE＝∠DCF，

∴△DAE≌△DCF（AAS），

∴AE＝CF，DE＝DF，

∴EF＝DE，

∵AE+EC＝EC+CF＝EF，

∴EA+EC＝DE．

（3）解：如图3中，连接AC，取AC的中点O，连接OE，OD．

∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EC，

∴∠AEC＝∠ADC＝90°，

∵OA＝OC，

∴OD＝OA＝OC＝OE，

∴A，E，C，D四点共圆，

∴∠AED＝∠ACD＝45°，

∴∠AED＝∠DEC＝45°，

由（2）可知，AE+EC＝DE，

∵AE⊥AF，

∴∠EAF＝90°，

∴∠AEF＝∠AFE＝45°，

∴AE＝AF＝，

∴EF＝AE＝2，

∵DF＝3，

∴DE＝5，

∴+EC＝5，

∴EC＝4．