广东省梅州市大埔县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份广东省梅州市大埔县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省梅州市大埔县九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分，每小题只有一个正确的选项）请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑。
1．已知一元二次方程x2﹣2x+1＝0，则它的二次项系数为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
2．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．两组对边分别平行
3．若△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，则＝（　　）
A． B． C． D．
4．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一个根为x＝﹣1，则下列等式成立的是（　　）
A．a+b+c＝0 B．a﹣b+c＝0 C．﹣a﹣b+c＝0 D．﹣a+b+c＝0
5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，连结CD，若CD＝3，则AB＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．若把方程x2﹣6x﹣4＝0的左边配成完全平方的形式，则正确的变形是（　　）
A．（x﹣3）2＝5 B．（x﹣3）2＝13 C．（x﹣3）2＝9 D．（x+3）2＝5
7．已知＝＝＝且b+2d﹣f≠0，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（　　）
A．32个 B．36个 C．40个 D．42个
9．某校办厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1400件，若设这个百分数为x，则可列方程为（　　）
A．200+200（1+x）2＝1400
B．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1400
C．200（1+x）2＝1400
D．200（1+x）+200（1+x）2＝1400
10．某同学用一等边三角形木板制作一些相似的直角三角形．如图，其方法是：过C点作CD1⊥AB于D1，再过D1作D1D2⊥CA于D2，再过D2作D2D3⊥AB于D3…，若△ABC的边长为a，则CD1＝a，D1D2＝a，D2D3＝a，依此规律，则D5D6的长为（　　）

A．a B．a C．a D．a
二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分.
11．把一元二次方程（x+1）2＝2化为一般形式为 　 　．
12．如图，要使△ABC与△ADE相似，则需添加一个适当的条件是 　 　（只添一个即可）．

13．如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为 　 　cm．

14．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝2．若AE＝6，则EC的值为 　 　．

15．如图将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，重叠部分是一个特殊四边形，则这个特殊四边形周长的最小值为　 　．

三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分。
16．解方程：x（x﹣4）＝x﹣4．
17．随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为　 　；
（2）用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
18．若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，求代数式2m2﹣8m+10的值．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19．已知a，b，c是△ABC的三边长，且＝＝≠0，若△ABC的周长为60，求各边的长．
20．某种精品，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利1080元，每件应降价多少元？
21．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，求正方形城池的边长．

五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
22．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B，C分别作BF∥CD，CF∥AB，BF、CF交于点F．
（1）求证：四边形CDBF是菱形；
（2）当AC和BC满足怎样的关系时，四边形CDBF是正方形？并证明你的结论．

23．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t＝6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由．



参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分，每小题只有一个正确的选项）请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑。
1．已知一元二次方程x2﹣2x+1＝0，则它的二次项系数为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】根据二次项系数的定义解决问题．
解：一元二次方程x2﹣2x+1＝0的二次项系数为1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的一般式．
2．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．两组对边分别平行
【分析】根据菱形、平行四边形的性质一一判断即可．
解：A、正确．对角线互相垂直是菱形具有而平行四边形不具有的性质；
B、错误．两组对角分别相等，是菱形和平行四边形都具有的性质；
C、错误．对角线互相平分，是菱形和平行四边形都具有的性质；
D、错误．两组对边分别平行，是菱形和平行四边形都具有的性质；
故选：A．
【点评】本题考查菱形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的性质，属于中考基础题．
3．若△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据△ABC∽△DEF，可以得到，然后根据BC＝6，EF＝4，即可得到的值．
解：∵△ABC∽△DEF，
∴，
∵BC＝6，EF＝4，
∴＝，
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用相似三角形的性质解答．
4．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一个根为x＝﹣1，则下列等式成立的是（　　）
A．a+b+c＝0 B．a﹣b+c＝0 C．﹣a﹣b+c＝0 D．﹣a+b+c＝0
【分析】把x＝﹣1代入方程即可得到正确答案．
解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0得a﹣b+c＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，连结CD，若CD＝3，则AB＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点．CD＝3，
∴AB＝2CD＝2×3＝6，
故选：B．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
6．若把方程x2﹣6x﹣4＝0的左边配成完全平方的形式，则正确的变形是（　　）
A．（x﹣3）2＝5 B．（x﹣3）2＝13 C．（x﹣3）2＝9 D．（x+3）2＝5
【分析】根据配方法可以将题目中的方程变形，从而可以判断哪个选项是正确的．
解：x2﹣6x﹣4＝0
x2﹣6x＝4
x2﹣6x+9＝13
（x﹣3）2＝13，
故选：B．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解答本题的关键是会用配方法解方程的方法．
7．已知＝＝＝且b+2d﹣f≠0，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用等边性质，进行计算即可解答．
解：∵＝＝＝，
∴＝＝＝，
∴＝，
故选：C．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握等边性质是解题的关键．
8．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（　　）
A．32个 B．36个 C．40个 D．42个
【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数＝黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数＝黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例＝随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”．
解：设盒子里有白球x个，
根据＝得：
＝
解得：x＝32．
经检验得x＝32是方程的解．
答：盒中大约有白球32个．
故选：A．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分式方程要验根．
9．某校办厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1400件，若设这个百分数为x，则可列方程为（　　）
A．200+200（1+x）2＝1400
B．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1400
C．200（1+x）2＝1400
D．200（1+x）+200（1+x）2＝1400
【分析】根据题意：第一年的产量+第二年的产量+第三年的产量＝1400且今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数x．
解：已设这个百分数为x．
200+200（1+x）+200（1+x）2＝1400．
故选：B．
【点评】本题考查对增长率问题的掌握情况，理解题意后以三年的总产量做等量关系可列出方程．
10．某同学用一等边三角形木板制作一些相似的直角三角形．如图，其方法是：过C点作CD1⊥AB于D1，再过D1作D1D2⊥CA于D2，再过D2作D2D3⊥AB于D3…，若△ABC的边长为a，则CD1＝a，D1D2＝a，D2D3＝a，依此规律，则D5D6的长为（　　）

A．a B．a C．a D．a
【分析】把CD1、D1D2、D2D3的分母写成2n的形式，从中找出规律，根据规律解答．
解：CD1＝a＝a，
D1D2＝a＝a，
D2D3＝a＝a，
则D5D6的长为：a＝a，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质、等边三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分.
11．把一元二次方程（x+1）2＝2化为一般形式为 　x2+2x﹣1＝0　．
【分析】根据一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
解：（x+1）2＝2，
x2+2x+1＝2，
x2+2x﹣1＝0，
故答案为：x2+2x﹣1＝0．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．
12．如图，要使△ABC与△ADE相似，则需添加一个适当的条件是 　∠B＝∠ADE　（只添一个即可）．

【分析】根据相似三角形的判定定理即可求解．
解：要使△ABC与△ADE相似，则需添加一个适当的条件是：∠B＝∠ADE（答案不唯一），
故答案为：∠B＝∠ADE（答案不唯一）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
13．如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为 　4　cm．

【分析】四边形OACB的四条边都相等，则这个四边形是菱形．AB和OC是菱形OACB的两条对角线，则菱形的面积＝AB×OC．
解：根据作图方法，可得AC＝BC＝OA，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝BC＝AC，
∴四边形OACB是菱形．
∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，
∴AB×OC＝×2×OC＝4，
解得OC＝4．
故答案为：4．
【点评】本题侧重考查尺规作图，掌握四边相等的四边形是菱形、对角线相互垂直的四边形的面积是其两条对角线乘积的一半是解决此题的关键．
14．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝2．若AE＝6，则EC的值为 　3　．

【分析】由DE∥BC，利用平行线分线段成比例，可得出＝，代入＝2及AE＝6，即可求出EC的值．
解：∵在△ABC中，DE∥BC，
∴＝，即＝，
∴EC＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键．
15．如图将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，重叠部分是一个特殊四边形，则这个特殊四边形周长的最小值为　8　．

【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则重叠部分为菱形．画出图形，设菱形的边长为x，根据勾股定理求出周长即可．
解：如图1，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条纸条宽度相同（对边平行），
∴AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF，
又∵AE＝AF，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；
当两张纸条如，2所示放置时，菱形周长最小，即是正方形时取得最小值为：2×4＝8．
故答案是：8．

【点评】本题考查了菱形的判定与性质．注意：“邻边相等的平行四边形是菱形”，而非“邻边相等的四边形是菱形”．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分。
16．解方程：x（x﹣4）＝x﹣4．
【分析】先变形得到x（x﹣4）﹣（x﹣4）＝0，然后用因式分解法解方程．
解：x（x﹣4）﹣（x﹣4）＝0，
（x﹣4）（x﹣1）＝0，
x﹣4＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝4，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
17．随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为　　；
（2）用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数，然后根据概率公式计算．
解：（1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率＝；
故答案为：；
（2）画树状图为：

共有16种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4，
所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
18．若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，求代数式2m2﹣8m+10的值．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝0可得出m2﹣4m＝0，将其代入（2m2﹣8m+10）中即可求出结论．
解：∵关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4m＝0，
∴2m2﹣8m+10＝2（m2﹣4m）+10＝0+10＝10．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19．已知a，b，c是△ABC的三边长，且＝＝≠0，若△ABC的周长为60，求各边的长．
【分析】根据等式的性质，可用x表示a，b，c，根据△ABC的周长为60列出关于x的方程，解方程可得答案．
解：设＝＝＝x，
∴a＝5x，b＝4x，c＝6x．
∵a+b+c＝60，
∴5x+4x+6x＝60，
解得x＝4，
∴a＝5x＝15，b＝4x＝16，c＝6x＝24．
即△ABC三边的长分别为20，16，24．
【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出a＝5x，b＝4x，c＝6x是解题关键．
20．某种精品，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利1080元，每件应降价多少元？
【分析】如果设每件降价x元，那么降价后每件盈利（20﹣x）元，每天销售的数量为（40+10x）件，根据每天要盈利1080元，即可列出方程．
解：设每件降价x元，那么降价后每件盈利（20﹣x）元，每天销售的数量为（40+10x）件；
可列方程为：（20﹣x）（40+10x）＝1080．
解得：x1＝2，x2＝14．
答：每件应降价2元或14元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要弄清题意，利用销售问题中的基本数量关系解决问题．
21．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，求正方形城池的边长．

【分析】根据题意，可知Rt△ABE∽Rt△CED，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形城池的边长．
解：设正方形城池的边长为x步，
由题意可得，Rt△ABE∽Rt△CED，
∴，
即，
解得，x1＝300，x2＝﹣300（不合题意，舍去），
答：正方形城池的边长为300步．
【点评】本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意．利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
22．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B，C分别作BF∥CD，CF∥AB，BF、CF交于点F．
（1）求证：四边形CDBF是菱形；
（2）当AC和BC满足怎样的关系时，四边形CDBF是正方形？并证明你的结论．

【分析】（1）由BF∥CD，CF∥AB，可得四边形CDBF是平行四边形，由直角三角形斜边上的中线的性质可得CD＝BD，即可得到平行四边形CDBF是菱形；
（2）由等腰三角形的性质得到CD⊥AB，即可得到菱形四边形CDBF是正方形．
【解答】（1）证明：∵BF∥CD，CF∥AB，
∴四边形CDBF是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴CD＝AD＝BD，
∴四边形CDBF是菱形；
（2）解：当AC＝BC时，四边形CDBF是正方形．
证明：∵AC＝BC，点D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
由（1）知，四边形CDBF是菱形，
∴四边形CDBF是正方形．
【点评】本题主要考查了正方形的判定，直角三角形斜边中线的性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握菱形和正方形的判定方法是解决问题的关键．
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t＝6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由．

【分析】（1）由矩形性质得出BC＝AD＝16，AB＝CD＝8，由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝16﹣t，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，得出方程，解方程即可；
（2）t＝6时，BQ＝6，DP＝6，得出CQ＝10，AP＝16﹣6＝10，AP＝CQ，AP∥CQ，则四边形AQCP为平行四边形，由勾股定理求出AQ＝10，得出AQ＝CQ，即可得出结论．
解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，
∴BC＝AD＝16，AB＝CD＝8，
由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝16﹣t，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝16﹣t，
解得：t＝8，
∴当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；
（2）四边形AQCP为菱形；理由如下：
∵t＝6，
∴BQ＝6，DP＝6，
∴CQ＝16﹣6＝10，AP＝16﹣6＝10，
∴AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形，
在Rt△ABQ中，AQ＝＝＝10，
∴AQ＝CQ，
∴平行四边形AQCP为菱形，
即当t＝6时，四边形AQCP为菱形．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理是解题关键．