湖南省麻阳苗族自治县富州中学2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试题（word版 含答案）

2021年下学期富州中学八年级数学

期 中 考 试 卷

考试时间：120分钟；总分：150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

选择题（请将答案填在表格中）

一、单选题(共40分)

1．(本题4分)下列各式中，是分式的是（　　）

A． B． C． D．

2．(本题4分)若分式的值为零，则的值等于（    ）

A．﹣1 B．0 C．2 D．1

3．(本题4分)成人每天维生素D的摄入量约为0.00000046克，将数据0.00000046用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

4．(本题4分)下列运算结果正确的是（  ）

A． B．

C． D．

5．计算的结果是（    ）

A． B． C．1 D．

6．(本题4分)若关于x的方程＝3a有增根，则a的值为（    ）

A．﹣1 B． C． D．1

7．(本题4分)甲乙两地相距60km，一艘轮船从甲地顺流到乙地，又从乙地立即逆流到甲地，共用8小时，已知水流速度为5km/h，若设此轮船在静水中的速度为x km/h，可列方程为（    ）

A． B． C． D．

8．(本题4分)若△ABC的三边a，b，c，满足，则△ABC是（     ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

9．(本题4分)如图，若AB=AC，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（   ）

A． B． BD=CE  C． D．∠AEB=∠ADC

10．(本题4分)如图，在等边中，AD、CE是的两条中线，，P是AD上一个动点，则最小值的是（    ）

A．2.5 B．5 C．7.5 D．10

第II卷（非选择题）

二、填空题(共24分)

11．(本题4分) 已知等腰三角形的两边长为3和6，则它的周长为_____．

12．(本题4分) ，，的最简公分母为 ______ ．

13．(本题4分) 已知a=（）-1、b=（-2）0、c=（-3）2、d=-22，请用“＜”将a、b、c、d连接起来_____．

14．(本题4分) 若，则＝______．

15．(本题4分) 如图，已知△ABD≌△ACE，∠A＝53°，∠B＝22°，则∠BEC＝_____°．

16．(本题4分)如图，在ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝CD，若BC＝8，AD＝6，则图中阴影部分的面积为 ___________ ．

三、解答题(共86分)

17．(本题8分)（1）计算：（﹣）﹣2﹣（π﹣3）0+|﹣| × 33；   

 （2）解方程 ﹣＝1．

18．(本题8分)先化简，再求值：，其中a为﹣1，0，1，2，3中的一个合适的数字．

19．(本题10分)为防控“新型冠状病”，某药店分别用1600元、6000元购进两批防护口罩，第二批防护口罩的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元，请问药店第一批防护口罩购进了多少只？

（1）填空

①同学甲：设________，则方程为________；

②同学乙：设________，则方程为________．

（2）请选择其中一名同学的设法，写出完整的解答过程．

20．(本题10分)已知，、、为的三边长，、满足，且为方程的解，请判断的形状．

21．(本题12分)已知：如图ABC中，AB=AC=6，BC=4，∠A=38°，AB的垂直平分线MN交AC于D，交AB于M，连接BD，

求：（1）∠DBC的度数．

（2）△BDC的周长．

22．(本题12分)如图，阳阳为了测量高楼，在旗杆与楼之间选定一点，，量得点到楼底距离与旗杆高度相等，等于米，量得旗杆与楼之间距离米．若，，求楼高．

23．(本题12分)完成下列各题．

（1）不改变分式的值，把下列分子和分母的最高次的系数都化为正数________．

（2）不改变分式的值，把下列分子和分母的中各项系数都化为整数________．

（3）若分式的值是整数，求整数的值．

（4）已知，求的值．

24．(本题14分)如图1所示，已知中，，直线m经过点C，过A、B两点分别作直线m的垂线，垂足分别为E、F．

（1）如图1，当直线m在A、B两点同侧时，求证：；

（2）若直线m绕点C旋转到图2所示的位置时（），其余条件不变，猜想与，有什么数量关系？并证明你的猜想；

（3）若直线m绕点C旋转到图3所示的位置时（）其余条件不变，问与，的关系如何？直接写出猜想结论，不需证明．

参考答案

1．C

【分析】

判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．

【详解】

A. ,不是分式，是整式；   

B. ，分母没字母，不是分式，是整式；

C. ，是分式；   

D. ，是整式，不是分式.

故选：C

【点睛】

本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．

2．D

【分析】

根据分式值为零的条件列出，且值需保证，即可得到答案．

【详解】

解：要使分式的值为零，必须 ， ，

解得， ，

故选：D．

【点睛】

本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．

3．B

【分析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】

解：0.00000046=4.6×10-7．

故选：B．

【点睛】

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

4．B

【分析】

根据幂的乘方，负指数幂，同底数幂的除法运算法则，分式的性质进行计算判断即可．

【详解】

A. ，故本选项错误；

B. ，故本选项正确；

C. ，故本选项错误；

D. ，故本选项错误．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查幂的混合运算，分式的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．

5．A

【分析】

先根据同分母分式的加减法则计算，然后再约分即可；

【详解】

解：

故选：A

【点睛】

本题考查了同分母分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键

6．D

【分析】

首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣3＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出a的值即可．

【详解】

解：去分母，得：x﹣3a＝3a（x﹣3），

由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，

把x＝3代入整式方程，可得：a＝1．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

7．D

【分析】

本题关键描述语是：“共用去8小时”．等量关系为：顺流60千米用的时间+逆流60千米用的时间=5，根据等量关系列出方程即可．

【详解】

解：由题意，得：，

故选：D．

【点睛】

本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度．

8．C

【分析】

根据非负数的性质可得关于a、b、c的等式，继而可得a、b、c三边的数量关系，进而可判断出△ABC的形状．

【详解】

解：∵，

∴a-b=0且a2+b2-c2=0，

∴a=b且a2+b2=c2，

∴△ABC是等腰直角三角形，

故选C．

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的判定以及非负数的性质，熟练掌握非负数的性质以及勾股定理的逆定理等知识是解题的关键．

9．C

【分析】

根据ASA即可判断A；根据SAS即可判断B；根据SSA两三角形不一定全等即可判断C；根据AAS即可判断D．

【详解】

解：A、根据ASA（∠A=∠A，∠C=∠B，AB=AC）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项不符合题意；

B、∵AB=AC，BD=CE，∴AB-BD=AC-CE，即AD=AE，

则根据SAS（∠A=∠A，AB=AC，AD=AE）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项不符合题意；

C、两边和一角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项符合题意；

D、根据AAS（∠A=∠A，AB=AC，∠AEB=∠ADC）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了对全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定方法只有SAS，ASA，AAS，SSS，HL共5种，主要培养学生的辨析能力．

10．B

【分析】

连结PC，先证BP=CP，利用两点间距离最短PE+PC≥CE，C、P、E三点共线时PE+CP最短=CE，然后证△ABD≌△CBE（SAS），AD=CE=5即可．

【详解】

解：连结PC，

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，

∵AD为中线，

∴AD⊥BC，BD=CD=，

∵点P在AD上，BP=CP，

∴PE+PB=PE+PC，

∵PE+PC≥CE

∴C、P、E三点共线时PE+CP最短=CE，

∵CE为△ABC的中线，

∴CE⊥AB，AE=BE=，

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=BC，∠ABC=60°，

∴BE=BD，

在△ABD和△CBE中，

，

∴△ABD≌△CBE（SAS）

∴AD=CE=5，

∴PB+PE的最小值为5．

故选择B．

【点睛】

本题考查等边三角形先证，线段垂直平分线性质，两点之间线段最短，三角形全等判定与性质，掌握等边三角形先证，线段垂直平分线性质，两点之间线段最短，三角形全等判定与性质是解题关键．

11．15

【分析】

分两种情况：当3为底时和3为腰时，再根据三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边去掉一种情况即可．

【详解】

解：当3为底时，三角形的三边长为3，6，6，则周长为15；

当3为腰时，三角形的三边长为3，3，6，

∵3+3＝6，

∴3，3，6不能组成三角形，

综上所述，等腰三角形的三边长为3，3，6，周长为15；

故答案为：15．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的定义以及三角形的三边关系定理，是基础知识，要熟练掌握．注意分类讨论思想的应用．

12．（x+y）（x-y）

【解析】

，，.

所以最简公分母是（x+y）（x-y）.

13．

【分析】

直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．

【详解】

解：，，，，

．

故答案为：．

【点睛】

此题主要考查了负整数指数幂的性质，正确掌握相关定义是解题关键．

14．

【分析】

设=k，用k表示出a，b，c，再代入要化简的分式计算即可．

【详解】

设=k(k≠0)，则a=2k，b=3k，c=4k

∴==

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，引入一个参数并熟练掌握分式化简的法则是解题的关键．

15．75

【分析】

利用全等三角形的性质可得∠C=∠B=22°，再利用三角形内角与外角的关系可得答案．

【详解】

解：∵△ABD≌△ACE，

∴∠C=∠B=22°，

∵∠A=53°，

∴∠BEC=∠A+∠C=22°+53°=75°，

故答案为：75．

【点睛】

此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．

16．12

【分析】

由在中，于点，，可得是等腰三角形，易证得，，继而可得，则可求得答案．

【详解】

解：如图示

在中，，，

，，，

，

在和中，

，

，

，

在和中，

，

，

，

，

，

．

故答案为：12．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟悉相关性质，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．

17．（1）6；（2）1

【分析】

（1）直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用一元一次方程的解法计算得出答案．

【详解】

（1）原式，

，

；

（2）去分母得：

，

去括号得：

，

移项并合并同类项得：

，

系数化为1得：

．

【点睛】

本题主要考查了实数运算以及一元一次方程的解法，正确化简各数是解题关键．

18．

【分析】

根据分式的加法和除法化简，再从中选取一个使得分式有意义的值代入求解即可．

【详解】

，

，

，

，

当时，

原式．

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，掌握分式的运算以及分式有意义的条件是解题的关键．

19．（1）①药店第一批防护口罩购进了只；2   ②设药店第一批防护口罩的单价为元；  （2）见解析

【分析】

（1）根据对列好的方程进行分析即可得出结果；
（2）选择一种求解分式方程，并检验即可．

【详解】

（1）①药店第一批防护口罩购进了只；2；

②设药店第一批防护口罩的单价为元；；

（2）同学甲：设药店第一批防护口罩购进了只，则方程为，

解得．

经检验是原方程的解，且符合题意．

答：药店第一批防护口罩购进了200只；

同学乙：设药店第一批防护口罩的单价为元，则方程为．

解得．

经检验是所列方程的解，且符合题意．

所以．

答：药店第一批防护口罩购进了200只．

【点睛】

本题考查了分式方程的实际应用，准确理解每种方程中未知数的意义，正确求解方程并检验是解题关键．

20．是等腰三角形．

【分析】

根据非负数的性质求出、的值，再解方程求出的值，可判断三角形形状．

【详解】

解：∵，

∴，，

解得：，，

∵为方程的解，

∴，

解得：或2，

∵、、为的三边长，，

∴不合题意舍去，

∴，

∴是等腰三角形．

【点睛】

本题考查了非负数的性质、绝对值方程和等腰三角形概念，解题关键是根据已知条件求出三角形三边长．

21．（1）33°；（2）10

【分析】

（1）首先求出∠ABC=∠ACB，利用线段垂直平分线的性质求出∠A=∠DBA，易求∠DBC的度数．

（2）先根据线段垂直平分线的性质得到DB=AD，即DB+DC=AD+DC=AC，再根据△BCD的周长=DB+DC+BC即可进行解答．

【详解】

解：（1）∵AB=AC，∠A=38°，

∴∠ABC=∠ACB=71°，

又∵DM为AB的垂直平分线，

∴DA=DB，

∴∠A=∠DBA=38°，

∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=33°；

（2）已知AC=6，BC=4，

又∵DB=AD，

∴DB+DC=AD+DC=AC=6．

∴△DBC的周长为DB+DC+BC=10．

【点睛】

本题考查的知识点为线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质；进行角度以及线段的有效转化是正确解答本题的关键．

22．26米

【分析】

根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB＝DP＝DB−PB求出即可．

【详解】

解：，，，

．

在和中，

，

，

．

，，

，

答：楼高是米．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD≌△PAB是解题关键．

23．（1）；（2）；（3）或0或2或6；（4）

【分析】

（1）利用分式的基本性质，分子、分母都乘以即可；

（2）利用分式的基本性质，分子、分母都乘以10 即可，

（3）将分式变形得，要使结果是整数，，或，进而求出的整数值即可，

（4）先求出要求的代数式的倒数，利用整体代入的方法进行计算即可．

【详解】

解：（1）根据分式基本性质，分子、分母都乘以得，

；

（2）根据分式基本性质，分子、分母都乘以10得，

，

（3），

要使分式的值为整数，

，或，

解得，，，，，

∴整数的值为0，2，6，；

（4），两边平方得：

，

，

．

故答案为：（1）；（2）；（3）x=-4或0或2或6；（4）.

【点睛】

本题考查分式的基本性质、分式的加减运算，掌握分式的基本性质和计算法则是正确解答的前提．

24．（1）见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析

【分析】

（1）先证得，，根据证，推出，即可；

（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，由此可推出，，再根据即可得到；

（3）类比（1）证得对应的两个三角形全等，由此可推出，，再根据即可得到．

【详解】

（1）证明：，，，

，

，，

，

在和中，

，

，

，，

∵，

∴；

（2）解：，理由如下：

，，，

，

，，

，

在和中，

，

，

，，

∵，

∴；

（3）解：，理由如下：

，，，

，

，，

，

在和中，

，

，

，，

∵，

∴．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，等量代换等知识点，难度不大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．