湖南省麻阳苗族自治县富州中学2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题（word版 含答案）

这是一份湖南省麻阳苗族自治县富州中学2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年下学期富州中学九年级数学
期 中 考 试 卷
考试时间：120分钟；总分：150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
选择题（请将答案填在表格中）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10










一、单选题(共40分)
1．(本题4分)已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．3 B． C．-3 D．
2．(本题4分)下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．(本题4分)关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点在它的图像上 B．它的图像在第一、三象限
C．它的图像关于原点中心对称 D．的值随着的值的增大而减小
4．(本题4分)如图，P是反比例函数y＝﹣的图象上的一点，过点P向x轴作垂线，垂足为A，则△PAO的面积为（　　）

A．1 B．2 C． D．4
5．(本题4分)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
6．(本题4分)一次函数y=ax－a与反比例函数y=(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．(本题4分)某区大力推进教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全区学校的设施和设备进行全面改造或升级，2019年区政府已投资7亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2021年投资10亿元人民币，设这两年投资的平均年增长率为，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
8．(本题4分)如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线（x＞0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（　　）

A．逐渐增大 B．不变
C．逐渐减小 D．先增大后减小
9．(本题4分)一元二次方程的两根为、，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．(本题4分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（　　）

A．2s B．3s C．4s D．5s

第II卷（非选择题）
二、填空题(共24分)
11．(本题4分)已知函数是反比例函数，则______．
12．(本题4分)把一元二次方程化为一般形式是______．
13．(本题4分)已知m是关于x的方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，则3m2﹣9m﹣2＝_____．
14．(本题4分)已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为______．
15．(本题4分)如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，过点A，B分别作轴于点C，轴于点D，连接，，则_____．

16．(本题4分)如图，点，都在双曲线上，点是轴正半轴上的点，当的周长为最小值时，点的坐标是________．


三、解答题(共86分)
17．(本题8分)选择合适的方法解下列方程：
（1）2（x﹣2）2＝18； （2）x2﹣2x﹣5＝0．




18．(本题8分)已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣3，﹣6）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）点B（4，），C（2，﹣5）是否在这个函数的图象上？
（3）这个函数的图象位于哪些象限？函数值y随自变量x的增大如何变化？




19．(本题10分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0．
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个实数根x1，x2满足，求m的值．





20．(本题10分)一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若销售单价降低5元，那么平均每天销售数量为多少件？
（2）若该商店每天销售利润为1200元，问每件商品可降价多少元？






21．(本题12分)阅读材料：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0
∴m+n＝0且n﹣3＝0
∴m＝﹣3，n＝3
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）若x2+2xy+2y2﹣2y+1＝0，求x、y的值；
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+12b﹣61，且△ABC是等腰三角形，求c的值．





22．(本题12分)如图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．
（1）若的面积是面积的，求的值？
（2）的面积能否为面积的一半？若能，求出的值；若不能，说明理由．



23．(本题12分)如图，在平面直角坐标系中，△BOC是以BO为底边的等腰三角形，点B在x轴正半轴上，△OAD是△OCB绕点O逆时针旋转60°得到的，点A在y轴正半轴上，连接DC，线段OA的长是关于x的方程x2﹣4x＋4＝0的根．
（1）求点D的坐标； （2）求四边形AOCD的面积；
（3）平面内是否存在点P，使以点D、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．



24．(本题14分)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点坐标为，点的坐标为．
（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）连结，求的面积；
（3）观察图象直接写出时的取值范围是　　　　；
（4）直接写出：为轴上一动点，当三角形为等腰三角形时点的坐标　　　　．


参考答案
1．A
【分析】
将点A的坐标代入解析式计算即可；
【详解】
解：将点代入反比例函数解析式中，
得 ：，
解得：，
故选择：A．
【点睛】
本题主要考查求反比例函数解析式，利用待定系数法求函数解析式时常用的方法．
2．D
【分析】
如果一个整式方程能化为：，且a、b、c是常数，则此方程是一元二次方程；根据一元二次方程的概念逐项去判断即可．
【详解】
A、是一次方程，故不是一元二次方程；
B、左边是分式，不是整式，而一元二次方程必须是整式方程，故不是一元二次方程；
C、是三次方程，故不是一元二次方程；
D、是一元二次方程，故符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，关键是把握概念的三个要点：一是整式方程，二是含有一个未知数，三是未知数的最高次数是二次．
3．D
【分析】
此题属于反比例函数知识，利用反比例函数的性质和特点验证每一项即可．
【详解】
A项把坐标点代入函数表达式，等号两边相等，满足题意，此项正确；
B项函数系数k=2>0，图像过一，三象限，满足题意，此项正确；
C项满足反比例函数特点：图像关于原点中心对称，此项正确；
D项函数系数k=2>0，在每个象限内，函数y的值随着的值的增大而减小，此项错误；
故此题选：D．
【点睛】
此题考查反比例函数性质和特点，及图像变化规律，难度一般．
4．A
【分析】
根据反比例函数系数k的几何意义可知，的面积．
【详解】
解：依据比例系数k的几何意义可得，
面积等于，
故选：A．
【点睛】
本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，该知识点是中考的重要考点．
5．D
【分析】
利用一元二次方程的定义及根的判别式列不等式a≠0且，从而求解．
【详解】
解：根据题意得：a≠0且，即
，
解得：且，
故选D．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
6．D
【详解】
解：A、由一次函数y=a（x-1）的图象y轴的正半轴相交可知-a＞0，即a＜0，与y=（x≠0）的图象a＞0相矛盾，故A选项错误；
B、由一次函数y=a（x-1）的图象y轴的正半轴相交可知-a＞0，即a＜0，与y=（x≠0）的图象a＞0相矛盾，故B选项错误；
C、由一次函数y=a（x-1）的图象与y轴的负半轴相交可知-a＜0，即a＞0，与y=（x≠0）的图象a＜0相矛盾，故C选项错误；
D、由一次函数y=a（x-1）的图象可知a＜0，与y=（x≠0）的图象a＜0一致，故D选项正确．
故选D．
【点睛】
本题考查反比例函数的图象；一次函数的图象．
7．D
【分析】
根据2019年和2021年投资的费用和每年投资的增长率相同，列出一元二次方程即可．
【详解】
解：由题意得：，
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找到等量关系，正确列出方程是解答的关键．
8．C
【分析】
过点B作BD⊥x轴于点D，由反比例函数的性质可知无论B点怎样变化△OBD的面积不变，当点B的横坐标逐渐增大时纵坐标减小，故△ABD的面积减小，所以△OAB的面积将会减小．
【详解】
解：过点B作BD⊥x轴于点D，

∵B是双曲线y上的点，
∴无论B点怎样变化△OBD的面积不变，
∵当点B的横坐标逐渐增大时纵坐标减小，
∴△ABD的面积减小，
∴△OAB的面积将会减小．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
9．C
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】
解：由一元二次方程根与系数的关系得：
= ==-2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记=，．
10．B
【分析】
设出动点P，Q运动ts，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【详解】
解：设动点P，Q运动ts后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝15，
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3s时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
11．．
【分析】
根据反比例函数定义，得到相关参数取值即可．
【详解】
解：∵是反比例函数，
∴
解得：
的值为．
故答案为：．
【点睛】
本意主要考查反比例函数定义，掌握反比例函数解析式中相关参数的取值是解题关键．
12．
【分析】
去括号、移项即可．
【详解】
解：，
去括号得，，
移项得，，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式，解题关键是熟练运用整式运算和等式性质进行方程变形．
13．10
【分析】
利用一元二次方程根的定义得到m2﹣3m＝4，再把3m2﹣9m变形为3（m2﹣2m）﹣2，然后利用整体代入的方法计算．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
【详解】
解：∵m是关于x的方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，
∴m2﹣3m﹣4＝0，
∴m2﹣3m＝4，
∴3m2﹣9m﹣2＝3（m2﹣3m）﹣2＝3×4﹣2＝10．
故答案是：10．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的定义，理解定义是解题的关键．
14．或


【分析】
先利用因式分解法解方程得到，，利用等腰三角形的性质讨论：等腰三角形的腰为4，底为6；等腰三角形的腰为6，底为4，然后分别计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，，
当等腰三角形的腰为4，底为6时，，，
∴等腰三角形的周长为；
当等腰三角形的腰为6，底为4，，，
∴等腰三角形的周长为；
综上所述，等腰三角形的周长为14或16，
故答案为14或16．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用三角形三边的关系来判断能否构成三角形．
15．4
【分析】
由题意易得CD=2，进而设出点A的坐标，然后可得点B的坐标，最后根据反比例函数的性质可求解．
【详解】
解：∵轴于点C，轴于点D，，BD=1，
∴，
∴，
∵AC=2，
∴设点A的坐标为，
∴，
∴，
解得：；
故答案为4．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
16．（5，0）
【分析】
先根据A、B两点在反比例函数上，求出A、B的坐标，然后过点B作其关于x轴的对称点B´，连接AB´与x轴交于点P´，此时的点P´即为所求，然后求出AB´的解析式，从而求出P´的坐标.
【详解】
解：如图所示，过点B作其关于x轴的对称点B´，连接AB´与x轴交于点P´
∵点，都在双曲线上
∴
解得：
∴A（2，3），B（6，1）
∴（6，-1）
∵的周长为最小值
∴为最小值即有最小值
∴当A、P、三点共线时有最小值
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为
令，解得
∴P（5，0）
故答案为：（5，0）

【点睛】
本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解题的关键在于能够找到的周长为最小值时P点的位置.
17．（1）；（2）
【分析】
（1）将方程两边同时除以2，再用直接开平方法解一元二次方程；
（2）利用公式法解一元二次方程．
【详解】
（1）2（x﹣2）2＝18
，
，
；
（2）x2﹣2x﹣5＝0
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了直接开平方和公式法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．（1）y＝；（2）点B（4，）在这个函数的图象上，点C（2，﹣5）不在这个函数的图象上；（3）这个函数的图象位于一、三象限，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）把点B（4，），C（2，-5）分别代入反比例函数解析式即可；
（3）根据反比例函数的性质即可得到结论．
【详解】
（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣3，﹣6）．
∴﹣6＝，解得，k＝18
则反比例函数解析式为y＝；
（2）点B（4，），C（2，﹣5），
∴4×＝18，2×（﹣5）＝-10，
∴点B（4，）在这个函数的图象上，
点C（2，﹣5）不在这个函数的图象上；
（3）∵k＝18＞0，
∴这个函数的图象位于一、三象限，
在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
19．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=16+4m2＞0，由此可证出该方程有两个不等的实根；
（2）根据根与系数的关系可得 ①、②，结合③，可求出、的值，将其代入③中即可求出m的值．
【详解】
解：（1）∵在方程中，
△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m2）=16+4m2＞0，
∴该方程有两个不等的实根；
（2）解：∵该方程的两个实数根分别为、，
∴ ①、②．
∵③，
∴将①②代入③得，，
解得．
【点睛】
本题考查根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系．
20．（1）30件．（2）10元．
【分析】
（1）利用平均每天的销售数量＝20+2×销售单价降低的价格，即可求出结论；
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天销售数量为（20+2x）件，利用该商店每天销售该种商品的利润＝每件的销售利润×平均每天的销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件盈利不少于25元，即可确定x的值．
【详解】
解：（1）20+2×5＝30（件）．
答：平均每天销售数量为30件．
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天销售数量为（20+2x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
当x＝10时，40﹣x＝30（元），30＞25，符合题意；
当x＝20时，40﹣x＝20（元），20＜25，不符合题意，舍去．
答：每件商品可降价10元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
21．（1）x=-1，y=1；（2）5或6
【分析】
（1）仿照材料的过程进行，凑成两个非负数的和为0，即可求得结果；
（2）仿照材料的过程进行，凑成两个非负数的和为0，即可分别求得a和b的值，再根据等腰三角形的性质可求得c的值．
【详解】
（1）∵x2+2xy+2y2﹣2y+1＝0
∴x2+2xy+y2+y2﹣2y+1＝0
∴（x+y）2+（y﹣1）2＝0
∴x+y＝0且y﹣1＝0
∴x＝﹣1，y＝1
（2）∵a2+b2＝10a+12b﹣61
∴a2+b2－10a－12b＋61＝0
∴（a－5）2+（b﹣6）2＝0
∴a－5＝0且ｂ﹣6＝0
∴a＝5，b＝6
∵△ABC是等腰三角形
∴c=a=5或c=b=6
即c的值为5或6.
【点睛】
本题是材料问题，考查了配方法的应用，平方非负性的性质，等腰三角形的性质等知识，关键是读懂材料中提供的解题过程和方法．
22．（1）；（2）不可能；理由见解析．
【分析】
（1）根据三角形的面积公式可以得出面积为，的面积为，由题意列出方程解答即可；
（2）由等量关系列方程求出的值，再根据根的判别式判断方程有没有解即可．
【详解】
解：（1），，
，
，
解得：．
答：当时，的面积为面积的．
（2）的面积不可能是面积的一半．理由如下：
当时，
，
整理得：，
，
此方程没有实数根，
的面积不可能是面积的一半．
【点评】
本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
23．（1）D（，3）．（2）2．（3）点P的坐标为（3，3）或（﹣，3）或（，﹣3）．
【分析】
（1）先解方程，求得OA的长，再过点D作DH⊥y轴，根据Rt△ADH中的边角关系，求得点D的坐标；
（2）先运用SAS判定△DOC≌△BOC，得出CD＝BC，进而判定四边形AOCD是菱形，并计算菱形的面积；
（3）根据平行四边形的不同位置，分三种情况，得出点P的坐标．
【详解】
解：（1）解方程x2﹣4x+4＝0，得x＝2，
∴OA＝2，
由旋转可得，AD＝BC＝OC＝OA＝2，∠AOC＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝30°，
∴∠CBO＝∠BOC＝∠AOD＝∠ADO＝30°，
过点D作DH⊥y轴于点H，则∠HAD＝60°，∠HDA＝30°，

在Rt△ADH中，AD＝2，
∴AH＝1，HD＝，
∴OH＝3，
∴点D的坐标为（，3）．


（2）∵∠BOC＝∠AOD＝30°，
∴∠COD＝30°，
在△DOC和△BOC中
，
∴△DOC≌△BOC（SAS），
∴CD＝BC，
∴CD＝OC＝OA＝AD，
∴四边形AOCD是菱形，
∴菱形OACD的面积＝AO×DH＝2．
（3）存在．连接BD，过O作BD的平行线，过B作OD的平行线，过D作OB的平行线，交于P1、P2、P3三点，则四边形P1DOB、四边形P2OBD、四边形P3BDO均为平行四边形
由OB＝OD，∠BOD＝60°可知，△OBD是等边三角形，
∴四边形P1DOB、四边形P2OBD、四边形P3BDO均为菱形，
∴P1、P2、P3三点离x轴的距离＝OH＝3，
如图，在Rt△ADH中，HD＝，OH＝3，
∴OD＝2，
又∵P1H＝P1D+DH＝2+＝3，P2H＝P2D﹣DH＝2﹣＝，
∴P1（3，3），P2（﹣，3），
又∵P3与D关于x轴对称，D（，3），
∴P3（，﹣3），
故点P的坐标为（3，3）或（﹣，3）或（，﹣3）．

【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了几何变换中的旋转，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解决问题的关键是掌握旋转的性质，解题时需要运用四边相等的四边形是菱形这一判定方法，并且注意菱形的面积等于底乘高，有时需要根据菱形对角线的长度求菱形的面积．此外，在判断平行四边形第四个顶点的位置时，需要进行分类讨论，不能遗漏．
24．（1），；（2）；（3）－2＜x＜0或x＞3；（4）；；；．
【分析】
（1）利用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后可得点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）求出点D的坐标，根据两三角形面积和可得结论；
（3）写出一次函数图象在反比例函数图象上边时对应的x的取值范围即可；
（4）存在三种情况：OA＝OP，OA＝AP，AP＝OP，根据点A的坐标结合图形可得点P的坐标．
【详解】
解：（1）∵A的坐标是(3，1)，
把A的坐标代入得：k=3，
即反比例函数的解析式是，
把B(－2，m)代入反比例函数的解析式得：，
即B的坐标是，
把A、B的坐标代入y=ax+b得：，
解得：，，
即一次函数的解析式是；
（2）连接OB，

在中，当x=0时，，即D（0，），
∴，
∴ △AOB的面积＝；
（3）由函数图象得：时的取值范围是－2＜x＜0或x＞3；
（4）当△AOP是等腰三角形时，存在以下三种情况：
①当OA＝OP时，如图2，

∵A（3，1），
∴OA＝，
∴P1（，0）或P2（，0）；
②当OA＝AP时，如图3，

∵A（3，1），
∴P（6，0）；
③当OP＝AP时，如图4，过A作AE⊥x轴于E，

设OP＝x，则AP＝x，PE＝3−x，
∴AP2＝AE2＋PE2，即，
解得：，
∴P（，0）；
综上，P的坐标为或或或．
【点睛】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，等腰三角形的性质，三角形面积公式，勾股定理等，难度适中，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键．