2020-2021学年第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试课后练习题

这是一份2020-2021学年第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试课后练习题，共19页。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，共150分。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.[ 021·江苏南通市·高三二模] 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2. [陕西省西安中学2021-2022学年高三期中]下列命题正确的为（ ）
①；②集合子集的个数为4；③方程有2个解；④
A．①②B．②③④C．①③D．②④
3.[ 湖北省荆州市沙市中学2020-2021学年高一期末] 小明在调查某网店每月的销售额时，得到了下列一组数据：
现用下列函数模型中的一个近似地模拟这些数据的规律，其中最接近的一个是（ ）
A．B．C．D．
4.[ 河南名校联盟2021-2022学年高二期中] 已知，则下列关于，的关系中一定不正确的是（ ）
A．B．C．D．
5. 某服装店开张第一周进店消费的人数每天都在变化，设第天进店消费的人数为y，且y与(表示不大于t的最大整数)成正比，第1天有10人进店消费，则第4天进店消费的人数为（ ）
A．74B．76C．78D．80
6.[ 安徽省芜湖市第一中学2021-2022学年高三月考] 已知，，，现有如下说法：
①的取值范围为； ②； ③；则正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
7. [上海市奉贤中学2021-2022学年高一期中]对于某一集合A，若满足任取都有“a，b，c为某一三角形的三边长”，则称集合A为“三角集”，下列集合中，为三角集的是（ ）
A．是的高的长度B．
C．D．代数式有意义
8.[ 江苏省淮安市2021届高三5月模拟]已知，，且，则，的值不可能是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. [辽宁省大连市第四十八中学2021-2022学年度高三10月期中]下列运算法则正确的是（ ）
A．
B．
C．（且）
D．
10.[ 山西省运城市2020-2021学年高一摸底] 在同一坐标系中，与的图象如图，则下列关系不正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．时，
11.[ 江苏省泰州市姜堰中学2020-2021学年高一测试] 以下命题正确的是（ ）
A．，使；
B．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，则实数或2；
C．若，则a的取值范围是1,+∞；
D．函数单调递增区间为
12. [湖南省湘中2020-2021学年高一期末]如图，函数的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，的零点为，则（ ）
A．函数有3个零点
B．恒成立
C．函数有4个零点
D．恒成立
请将选择题答案填入下表：
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. [浙江省浙南名校联盟2021-2022学年高三联考]若，则___________，若，则___________.
14. [湖北省襄阳四中2021届高三5月]若正整数m满足则m=________.（参考数据:lg2≈0.3010）
15. [辽宁省抚顺市六校协作体2020-2021学年高三一模]函数概念最早出现在格雷戈里的文章《论圆和双曲线的求积》（1667年）中.他定义函数是这样一个量：它是从一些其他量出发，经过一系列代数运算而得到的，或者经过任何其他可以想象到的运算得到的.若一个量，而所对应的函数值可以通过得到，并且对另一个量，若，则都可以得到.根据自己所学的知识写出一个能够反映与的函数关系式：_________.
16. [北京市对外经济贸易大学附属中学2022届高三10月月考]已知方程，以下说法正确的是___________.
（1）此方程中，的取值范围都是；
（2）此方程所对应图像关于对称；
（3），对，存在，使.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.[ 浙江省宁波市镇海中学2021-2022学年高一上学期期中]（10分）计算求值
（1）；
（2）（e为自然对数的底数，）．
18.[ 湖北省宜昌市第一中学2021-2022学年高一上学期期中]（12分）定义在上的奇函数，已知当时，．
（1）求在上的解析式；
（2）若使不等式成立，求实数m的取值范围．
19.[ 浙江省宁波市效实中学2021-2022学年高一上学期期中]（12分）．已知函数为奇函数．
（1）求的值，并判断函数的单调性（不需证明）；
（2）若关于的方程有解，求实数的取值范围．
20.[ 安徽省蚌埠市田家炳中学2020-2021学年高二月考]（12分）定义在D上的函数，若满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界．
（1）设，判断在上是否是有界函数，若是，说明理由，并写出所有上界的值的集合；若不是，也请说明理由；
（2）若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
21.[ 云南省昆明市2020-2021学年高一下学期期末]（12分）2021年5月，“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平先生辞世，他的功绩将永远被人们铭记：在他和几代科学家的共同努力下，中国用全世界7%的耕地，养活了全世界22%的人口．目前，我国年人均粮食占有量已经稳定在470千克以上，远高于国际公认的400千克粮食安全线．某校数学建模小组的同学想研究假如没有杂交水稻的推广，没有合理的人口、土地政策，仅以新中国成立时的自然条件为前提，我国年人均粮食占有量会如何变化？根据英国经济学家马尔萨斯《人口论》的观点“人口呈几何级数增长，而生活资料呈直线型增长”，该小组同学做了以下研究．根据马尔萨斯的理论，自然状态下人口增长模型为 ①（其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年平均增长率，表示年后的人口数，单位：万人）．根据国家统计局网站的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万．该小组同学根据这两个数据，以1950年末的数据作为时的人口数，求得①式人口增长模型．经检验，1950~1959年的实际人口数与此模型基本吻合，如图．
（1）若你是该小组成员，请求出①式的人口增长模型，并以该模型计算从1950年末开始，大约多少年后我国人口达到13亿？（年数取不小于的最小整数）
（2）根据马尔萨斯的理论，该小组同学把自然状态下粮食增长模型近似看作直线型模型，通过查阅我国1950年末至1959年末粮食产量，得到粮食增长模型近似为（其中表示经过的时间，表示第年的粮食年产量，单位：万吨）．（）表示从1950年末开始第年的年人均粮食占有量，单位：吨/人．
（ⅰ）求满足的正整数的最小值；
（ⅱ）按此模型，我国年人均粮食占有量能达到400千克吗？试说明理由．
参考数据：，，，．
22.[ 浙江省舟山中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题]（12分）已知函数.
（1）判断并说明的奇偶性；
（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；
（3）设，正实数满足，且的取值范围为A，若函数在上的最大值不大于最小值的两倍，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题
1.解析：因为，，，
所以，
故选：C.
4.解析：由图可知，，的关系可能为：，或，，，所以一定不正确的为C项.
故选：C.
5.解析：解：由题可设，
当时，代入可得，解得，
所以，令，则，
故选：C
6.解析：依题意，则，则，故①错误；
由于，故，，则，则，故②正确；
因为，，
故，则，故③正确；
故选：C
7.解析：对于A：当等腰三角形的顶角无限小时，且底边上的高比较大，如下图所示：显然，故、、不满足三角形的三边，故A错误；
对于B：由，即，解得，任取，且，则 ，，又，所以，即B成立；
对于C：因为，当时，，解得；
当时，，解得；
当时，即恒成立，所以；
综上可得，即，令，，显然，不满足a，b，c某一三角形的三边长，故C错误；
对于D：因为，所以，解得，所以代数式有意义，令，，显然，不满足a，b，c某一三角形的三边长，故D错误；
故选：B
8.解析：由题设，，而在上为增函数，在上为减函数，
则左边为；右边为，即左边大于右边，排除A；
，则；，则，即左边大于右边，排除B；
，则；，则，则左边大于右边，排除D.；
故选：C
10.解析：由图象可知，，所以AB选项错误.
当时，，所以C选项错误.
当时，，所以，所以D选项正确.
故选：ABC
11.解析：A：上，，错误；
B：由题设，令则，有，所以，当时，解得，当时，无解，错误；
C：由，根据幂函数的性质，可得，正确；
D：由为减函数，而在上为减函数，所以在上为增函数，正确.
故选：CD
12.解析：当时，设，因为，所以.由此得，又，所以只有1个零点，所以A错误；
由题可知射线经过点，，则射线的方程为.由图可知，所以B正确；
因为，所以有4个零点，所以C正确；
令，则该方程的解为，，，
，令，
则，故恒成立，所以D正确，
故选：BCD
填空题
13. 6；1.解析： 因为，所以，
又，所以
所以.
故答案为：6；1
14.155. 解：，取以10为底的对数得，
即又，
因为是正整数，所以故答案为：155．
15. （单调递增的指数函数都可以）.解：若，得，，而，即，则成立①，
又由在上是增函数，而，则成立②，
结合①②与的函数关系式为：.
故答案为：（单调递增的指数函数都可以）.
16. （2），（3）解析：（1）由题意，根据对数的定义
且，即，由于，同理，由于，
故此方程中，的取值范围都是，即说法错误；
（2）若满足方程，即
则代入为，也满足方程
故方程所对应图像关于对称，说法正确；
（3）由（1）可得方程可转化为
又，由反比例函数的性质可知在单调递减
若，当，有，故取即满足条件
即，对，存在，使，说法正确
故答案为：（2），（3）
解答题
17.解析：（1）
== =
= =1
（2）=
18. 解析：（1）因为是定义在上的奇函数，时，，所以，解得，所以时，，当时，，所以，
又，所以，，
即在上的解析式为.
（2）因为时，，
所以可化为，整理得，
令，根据指数函数单调性可得，与都是减函数，所以也是减函数，，所以，
故实数的取值范围是.
19. （1）
解：因为，所以函数的定义域为.因为函数为奇函数，所以，即，解得，
此时，，满足奇函数定义.所以.由于为单调递增函数，所以是单调递减函数，
所以是上的单调递增函数.
（2）
解：因为是上的奇函数，
所以等价于有解.
因为是上的单调递增函数.所以有解，
因为函数，所以，即，解得或．
所以实数的取值范围是或.
20.解析：，则在上是增函数；
故；即，故，故是有界函数；
故的所有上界的值的集合是；
由题意知，对恒成立．即：，令，
，所以，对恒成立，
，设，，由
由于在上递增，在上递减，在上的最大值为，在上的最小值为，实数a的取值范围为．
21.解析：解：（1）由题意可得，则，
，所以，
所以，所以，当时，，所以，
，所以
所以大约40年后我国人口达到13亿，
（2）（ⅰ）由，得，所以，
化简得，即，
解得，因为为正整数，所以正整数的最小值为24，
（ⅱ）由（ⅰ）当时，，
所以当时，最大，，
即，所以按此模型，我国年人均粮食占有量不能达到400千克。
22.解析：（1）因为函数的定义域关于原点对称，
由，，及实数的任意性，
可知，当时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数.
（2）∵，
∴令，当，则
即存在使成立，只需
∵∴.
（3）∵∴，则，当且仅当取等号，∴，∵，∴在单调递减，在单调递增，∴，
①当，即时，在单调递增，∴即得，∴，
②当，即时，在单调递减，∴即得，∴，
③当时，，，
由.
（ⅰ）当时，，，
得，
（ⅱ）当时，∴，则，
得.
综上，.
（月份）
2
3
4
5
6
…
（万元）
1.40
2.56
5.31
11
21.30
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
总分
答案
题号
9
10
11
12
答案
题号
1
2
3
4
答案
C
D
B
C
题号
5
6
7
8
答案
C
C
B
C
题号
9
10
11
12
答案
CD
ABC
CD
BCD