2020-2021学年4.1 幂函数达标测试

第四章幂函数、指数函数与对数函数【过关测试】

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．若幂函数的图像经过点，则的值为_________.

【答案】

【分析】根据已知求出幂函数的解析式，再求出的值得解.

【详解】设幂函数的解析式为，

由题得.

所以.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查幂函数的解析式的求法和函数值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

2．已知幂函数是R上的增函数，则m的值为______．

【答案】或

【分析】根据幂函数的定义与性质，即可求出的值．

【详解】解：由题意幂函数是R上的增函数

解得或

故答案为或

【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是得出关于的方程和不等式，是基础题．

3．幂函数的图像经过点，则的值为__________.

【答案】

【分析】由题意得幂函数的图像经过点,则将,代入,得,得,即可求得的值.

【详解】 由题意得幂函数的图像经过点

则将,代入

得

故答案为:.

【点睛】本题解题关键是掌握幂函数定义,考查了计算能力,属于基础题.

4．幂函数的图像经过点，则______.

【答案】

【分析】根据幂函数所过的点,代入可求得幂函数解析式,即可求得的值.

【详解】幂函数的图像经过点

代入可得

解得

所以幂函数解析式为

则

故答案为:

【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法,函数求值,属于基础题.

5．函数恒过定点______.

【答案】

【分析】由指数函数恒过即可求解．

【详解】函数恒过定点，即与无关，只需即可，所以 

所以恒过定点

故答案为

【点睛】本题考查指数函数恒过定点这一性质，比较基础．

6．已知(其中且),则的取值范围是________.

【答案】

【分析】将变形为，对和讨论，得出结果．

【详解】解：

，

当时，；

当时，，

综合得：的取值范围是，

故答案为

【点睛】本题考查含参的对数不等式，注意对对数的底是否大于1要进行分类讨论，是基础题．

7．已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则____．

【答案】-1

【分析】由幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，得到a是奇数，且a＜0，由此能求出a的值．

【详解】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，

幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，

∴a是奇数，且a＜0，

∴a=﹣1．

故答案为﹣1．

【点睛】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

8．设，若为偶函数，则______．

【答案】

【分析】给a取相应的值，结合偶函数的性质，选出恰当的a值

【详解】由题可知， 时， ，满足f(-x)=f(x),所以是偶函数；

时，不满足f(-x)=f(x),

．

故答案为-2．

【点睛】考察学生对偶函数性质的掌握

9．若且，则与的大小关系是_________．

【答案】

【分析】根据幂函数的单调性比较即可；

【详解】解：因为

所以

由因为函数，在上单调递减，

所以

故答案为：

【点睛】本题考查幂函数的单调的应用，属于基础题.

10．设，若是偶函数，则的单调递减区间是__________.

【答案】

【分析】由函数是偶函数, 可得, 从而得出的解析式, 再根据幂函数的性质可得答案.

【详解】由于函数是偶函数, 所以，

即，又，

所以,得,

所以,
根据幂函数的性质可知:在是单调递增，所以函数在是单调递增，由于是偶函数, 所以 函数在上单调递减..

故答案为: .

【点睛】本题考查幂函数的奇偶性和单调性，属于基础题.

11．已知集合，任取，则幂函数为偶函数的概率为________（结果用数值表示）

【答案】

【分析】首先找到使幂函数为偶函数的所有，然后利用概率公式求解即可.

【详解】解：要幂函数为偶函数，则，

故使幂函数为偶函数的概率为，

故答案为：

【点睛】本题考查幂函数的性质及简单的古典概型，是基础题.

12．幂函数是偶函数，则________

【答案】

【分析】根据幂函数的定义建立关于的方程,解出方程,再由是偶函数确定值.

【详解】解:因为是幂函数,所以,所以或,

当时,为奇函数,不满足条件;

当时,为偶函数,满足条件;

当时,为偶函数,满足条件;

因为是偶函数,所以.

故答案为:.

【点睛】本题考查了幂函数的定义和函数的奇偶性,考查了方程思想,属基础题.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．幂函数的图象经过点，则是（    ）

A．偶函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数

C．奇函数，且在上是减函数 D．非奇非偶函数，且在上是增函数

【答案】D

【分析】首先根据题意得到，再判断其单调性和奇偶性即可.

【详解】设幂函数，因为图象经过点，所以，.

故，因为，所以为非奇非偶函数，且在上是增函数.

故选：D

【点睛】本题主要考查幂函数的单调性和奇偶性，同时考查了幂函数的定义，属于简单题.

14．已知实数，满足，则下列关系式恒成立的是（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用函数的单调性的性质解答即可．

【详解】因为实数，满足， 所以，

根据函数的对称性和单调性，可知x2，y2的大小不确定，故选项A，B中的不等式不恒成立；

根据正弦函数的单调性，可知选项C中的不等式也不恒成立；

由于函数在R上单调递增，所以，所以选项D中的不等式恒成立．

故选：D.

【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．

15．已知函数的图象不经过第四象限，则实数满足(    )

A． B．

C．  D．

【答案】C

【分析】因为函数的图象不经过第四象限，所以当时，，所以．

【详解】因为函数的图象不经过第四象限， 所以当时，，.

 故选：C．

【点睛】本题主要考查了指数函数的图象和性质，是基础题．

16．函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（    ）

A．a＞1，b＜0

B．a＞1，b＞0

C．0＜a＜1，b＞0

D．0＜a＜1，b＜0

【答案】D

【分析】由函数的单调性得到0＜a＜1，再根据函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，分析出的范围.

【详解】由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，

所以0＜a＜1.

函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，

所以b＜0.

故选：D.

【点睛】本题主要考查指数函数的图象和性质，考查图象变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

17．研究下列函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，并作出其大致图像．

（1）；     

（2）；     

（3）；     

（4）．

【答案】（1）定义域：；值域：；偶函数；在上单调递增，在上单调递减；图像见解析；（2）定义域：；值域：；奇函数：在和上单调递减；图像见解析；（3）定义域；R；值域：R；奇函数；在上单调递增；图像见解析；（4）定义域：值域：；非奇非偶函数；在上单调递增；图像见解析

【分析】将幂函数化为根式的形式，分析其定义域和值域，由奇偶性的定义判断其奇偶性，由指数的正负结合幂函数的性质先判断出函数在第一象限内的单调性，再根据奇偶性得出单调区间，作出其大致图像.

【详解】（1），设，的定义域为，

因为，所以值域为：

显然，为偶函数，

在中，，为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减.

（2），设，定义域：，

由，所以值域：，

由，所以奇函数，

在中，，为奇函数，所以在上单调递减，在上单调递减.

（3），设，所以定义域；R；值域：R；

由，所以奇函数，

在中，，在上单调递增.

（4），设，由得定义域：值域：

因为定义域：，所以非奇非偶函数；

在中，，定义域为，所以在上单调递增；

【点睛】本题考查了函数的图象的画法和识别，以及函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，属于基础题．

18．已知函数

（1）求的单调递减区间；

（2）求的最值，并求此时的值.

【答案】（1）；（2）当时有最大值.

【分析】（1）先由题意得到，求解，即可得出定义域；再令，根据二次函数与对数函数单调性，即可得出结果；

（2）由（1）可直接得出结果.

【详解】（1）由题意可得：，即，解得：；

即函数的定义域为；

令，则其为开口向下的二次函数，且对称轴为，

当时，函数单调递增，时，函数单调递减；

又为增函数；

所以在上单调递增，在上单调递减；

即函数的单调递减区间为；

（2）由（1）得：

当时，有最大值.

【点睛】本题主要考查求对数型复合函数单调性，以及由函数单调性求最值，熟记二次函数与对数函数单调性即可，属于常考题型.

19．已知函数、、在第一象限的函数图象如图，试比较的大小；

【答案】

【分析】首先根据幂函数单调性得到，再令即可得到答案.

【详解】由的图象，函数单减，则，

再取特殊值，则，则

所以.

【点睛】本题主要考查幂函数的图象，同时考查了幂函数的单调性，属于简单题.

20．已知函数且

（1）若函数的图象经过P（3，4）点，求a的值；

（2）若，求a的值

【答案】（1）；（2）或

【分析】（1）函数的图象经过点，可得，由此求出；

（2）由知，，对此类指对结合的不等式不能用常规解法求解，需要借助相关的公式求解，本题这种类型的一般采取两边取对数的方式将其转化为一元二次函数型的方程求解，两边取以10为底的对数可得，解此方程先求，再求．

【详解】

解：（1）函数的图象经过

，即．

又，所以．

（2）由知，．

所以，．

．

，

或，

所以，或．

【点睛】本题考点是指数函数单调性的应用，考查了求指数函数解析式，解指数与对数方程，本题涉及到的基础知识较多，综合性较强，在本题中解指数与对数方程时用到了两边取对数将指数方程转化为一元二次方程求解，这是此类方程求解时专用的一个技巧，要好好总结其运用规律．

21．已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上.

（1）求实数的值；

（2）解不等式；

（3）有两个不等实根时，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】(1)由函数解析式可知定点为(2, 2)，代入即可求得的值；

(2)根据在定义域上单调递增即可求得不等式解集；

(3)方程有两个实根转化为两个函数的图象有两个交点，结合函数图形确定范围即可求参数范围

【详解】解：（1）函数的图像恒过定点A，A点的坐标为(2, 2)

又因为A点在上，则：

（2）由题意知：

而在定义域上单调递增，知

，即

∴不等式的解集为

（3）由知：，方程有两个不等实根

若令，有它们的函数图像有两个交点，如下图示

由图像可知：，故b的取值范围为

【点睛】本题考查了函数过定点求参数，根据对数函数的单调性求解集，方程的根转化为函数图象的交点问题，结合函数图象求参数范围