北师大版九年级下册6 直线与圆的位置关系教案

这是一份北师大版九年级下册6 直线与圆的位置关系教案，共9页。
6　直线和圆的位置关系第1课时　直线和圆的位置关系及切线的性质教学目标一、基本目标1．理解直线和圆的三种位置关系——相交、相切、相离，掌握其判定方法和性质．2．了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系．二、重难点目标【教学重点】掌握直线与圆的位置关系，运用切线的性质定理解决问题．【教学难点】运用圆的切线的性质进行相关的计算和证明．教学过程环节1　自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P89～P91的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．直线和圆有唯一的公共点(即直线和圆相切)时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点．2．设圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，则：(1)当d＜r时，直线与圆恰好有两个不同的公共点，这时称直线与圆相交；(2)当d＝r时，直线与圆只有一个公共点，这时称直线与圆相切；(3)当d＞r时，直线与圆没有公共点，这时称直线与圆相离．3．根据圆心O到直线l的距离d与圆的半径r的大小关系确定直线与圆的位置关系如下：(1)直线l和⊙O相交，即d<r；(2)直线l和⊙O相切，即d＝r；(3)直线l和⊙O相离，即d>r .4．圆的切线垂直于过切点的半径．5．已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离是4，则⊙O与直线l的关系是相离．6．如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝3 cm，PB＝4 cm，则BC＝cm.环节2　合作探究，解决问题活动1　小组讨论(师生互学)【例1】已知Rt△ABC的斜边AB＝8 cm，AC＝4 cm.(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？(2)以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？【互动探索】(引发学生思考)(1)要使AB与⊙C相切，则过点C作AB的垂线，垂足为D，求出CD的长即可；(2)根据直线与圆的位置关系进行判断．【解答】(1)解法1：参考教材P90例1解答过程．解法2：如题图所示，过点C作AB的垂线，垂足为D.∵AC＝4 cm，AB＝8 cm，∴BC＝＝4 cm.∵S△ABC＝AC×BC＝AB×CD，∴CD＝＝2cm，∴当半径长为2 cm时，AB与⊙C相切．(2)由(1)可知，圆心C到AB的距离d＝2 cm，当r＝2 cm时，d>r，⊙C与AB相离；当r＝4 cm时，d＜r，⊙C与AB相交．【互动总结】(学生总结，老师点评)此题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系可以根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断．【例2】如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.若∠A＝34°，则∠C＝____.【互动探索】(引发学生思考)已知切线，连结切点与圆心，能得到什么结论？要求∠C，观察发现在等腰△OCB中，利用三角形的哪些性质来求得∠C的度数？【分析】连结OB，如图． ∵AB与⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∴∠AOB＝90°－∠A＝90°－34°＝56°.∵∠AOB＝∠C＋∠OBC，∴∠C＋∠OBC＝56°.又∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC，∴∠C＝×56°＝28°.【答案】28°【互动总结】(学生总结，老师点评)运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连结圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．活动2　巩固练习(学生独学)1．已知直径为10的圆，其圆心到直线的距离是10，此时直线和圆的位置关系是(　A　)A．相离  B．相切C．相交  D．无法确定2．已知l1∥l2，l1、l2之间的距离是3 cm，圆心O到直线l1的距离是1 cm，如果圆O与直线l1、l2有三个公共点，那么圆O的半径为2或4 cm.3．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为10 cm，小圆半径为6 cm，则弦AB的长为16 cm.4．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C.若∠A＝25°，则∠D＝40°.活动3　拓展延伸(学生对学)【例3】设⊙O的圆心O到直线的距离为d，半径为r，且直线与⊙O相切．d、r是一元二次方程(m＋9)x2－(m＋6)x＋1＝0的两根，求m的值．【互动探索】题目中“直线与⊙O相切”→d＝r，再由“d、r是一元二次方程的两根”→Δ＝0→求出m的值．【解答】∵⊙O的圆心O到直线的距离为d，半径为r，且直线与⊙O相切，∴d＝r.∵d、r是一元二次方程(m＋9)x2－(m＋6)x＋1＝0的两根，∴Δ＝0，即[－(m＋6)]2－4(m＋9)·1＝0，解得m＝0或－8.当m＝－8时，x＝－1，不符合题意，舍去，∴m＝0.【互动总结】(学生总结，老师点评)将直线与圆的位置关系和一元二次方程根的判别式综合，由直线与圆相切可判定d＝r，再由两根相等，得到一元二次方程的判别式Δ＝0，进而得解．体现了数形结合的思想方法．环节3　课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应练习！ 
第2课时　切线的判定及内切圆教学目标一、基本目标1．理解并掌握圆的切线的判定定理，能判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．2．探索作三角形内切圆的方法，用尺规作图作出三角形的内切圆．二、重难点目标【教学重点】能判断一条直线是否为圆的切线．【教学难点】1．正确选择判定圆的切线的两种作辅助线的方法：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径．2．会作三角形的内切圆．教学过程环节1　自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P92～P93的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．切线的判定定理：过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2．和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．3．下列直线能判定是圆的切线的是④.(填序号)①和半径垂直的直线；②和圆有公共点的直线；③到圆心的距离等于直径的直线；④经过半径的外端且垂直于半径的直线．4．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连结圆心和切点，得到半径，那么半径垂直于切线．环节2　合作探究，解决问题活动1　小组讨论(师生互学)【例1】如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点P，E是BC边上的中点，连结PE，证明：PE与⊙O相切．【互动探索】(引发学生思考)要证PE与⊙O相切，结合图形→作辅助线：连结OP；AB是⊙O的直径，连结BP→证OP⊥PE，即PE是⊙O的切线．【证明】连结OP、BP，则OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB.∵AB为直径，∴BP⊥AP.在Rt△BCP中，∵E为斜边中点，∴PE＝BC＝BE，∴∠EBP＝∠EPB，∴∠OBP＋∠PBE＝∠OPB＋∠EPB，即∠OBE＝∠OPE.∵BE为切线，∴AB⊥BC，∴OP⊥PE，即PE是⊙O的切线．【互动总结】(学生总结，老师点评)一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．【例2】如图所示，在△ABC中，作一个圆使它与这个三角形三边都相切．【互动探索】(引发学生思考)在△ABC中，作一个圆使它与这个三角形三边都相切，即作以三角形内角平分线的交点为圆心，圆心到三角形三边的距离为半径的圆．【解答】(1)作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I(如图所示)；(2)过I作BC的垂线，垂足为D；(3)以I为圆心，以ID为半径作⊙I.⊙I就是所求的圆．活动2　巩固练习(学生独学)1．如图，圆O是△ABC的内切圆，分别切BA、BC、AC于点E、F、D，点P在弧DE上，如果∠EPF＝70°，那么∠B＝(　A　)A．40°  B．50°C．60°  D．70°2．如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE＝110°.3．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1 cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6 cm，如果⊙P以1 cm/s的速度沿A向B的方向移动，则经过4或8秒后⊙P与直线CD相切．4．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D.(1)若∠BAC＝70°，求∠CBD的度数；(2)求证：DE＝DB.(1)解：∵点E是△ABC的内心，∠BAC＝70°，∴∠CAD＝∠BAC＝35°，∴∠CBD＝∠CAD＝35°.(2)证明：∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.∵∠CBD＝∠CAD，∴∠CBD＝∠BAD.∵∠BAD＋∠ABE＝∠BED，∠CBE＋∠CBD＝∠DBE，∴∠DBE＝∠BED，∴DE＝DB.5．如图，AB是⊙O的直径，BC为弦，D为的中点，AC、BD相交于点E，AP交BD的延长线于点P，∠PAC＝2∠CBD.求证：AP是⊙O的切线．证明：∵D为的中点，∴∠CBA＝2∠CBD.又∵∠PAC＝2∠CBD，∴∠CBA＝∠PAC.∵AB为直径，∴∠CAB＋∠CBA＝90°，∴∠CAB＋∠PAC＝90°，即∠PAB＝90°，∴PA⊥AB，∴AP为⊙O的切线．活动3　拓展延伸(学生对学)【例3】如图，已知⊙O是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆，切点分别为D、E、F.(1)求证：四边形ODCE是正方形；(2)设BC＝a，AC＝b，AB＝c，求⊙O的半径r.【互动探索】(1)根据切线的性质即可证明是一个矩形，再根据一组邻边相等的矩形是正方形即可证得；(2)根据切线长定理即可列方程求解．【解答】(1)证明：∵BC、AC与⊙O相切于D、E，∴∠ODC＝∠OEC＝∠C＝90°，∴四边形ODCE为矩形．又∵OE＝OD，∴矩形ODCE是正方形．(2)由(1)，得CD＝CE＝r，∴a＋b＝BD＋AE＋2r＝BF＋AF＋2r＝c＋2r，∴r＝.【教师点拨】这里(2)的结论可记住作为公式来用．环节3　课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．切线的判定：过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2．三角形的内切圆：和三角形三边都相切的圆即是三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．练习设计请完成本课时对应练习！