人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数同步达标检测题

高一数学幂函数图像与性质题型归纳总结

题型1：幂函数的概念

1．（多选）下列函数中是幂函数的是（    ）

A． B． C． D．

2．幂函数的图像经过，则该函数的解析式是________

3．己知幂函数的图象过点，则___________.

题型2：幂函数的图像

4．如图是幂函数的部分图象，已知取，2，，这四个值，则与曲线，，，相应的依次为（    ）

A．2，，， B．，，，2

C．，2，， D．2，，，

5．幂函数，及直线将直角坐标系第一象限分成八个“卦限： （如图所示），那么，而函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是（    ）

A． B． C． D．

6．下列函数中图像如图所示的函数是（    ）

A． B． C． D．

7．已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（    ）

A．p，q均为奇数，且

B．q为偶数，p为奇数，且

C．q为奇数，p为偶数，且

D．q为奇数，p为偶数，且

8．幂函数的大致图像是（    ）

A．B．C．D．

9．若幂函数 (m，n∈N*，m，n互质)的图像如图所示，则（    ）

A．m，n是奇数，且<1

B．m是偶数，n是奇数，且>1

C．m是偶数，n是奇数，且<1

D．m是奇数，n是偶数，且>1

题型3：幂函数的定义域与值域

10．下列函数中定义域为的是（    ）

A． B． C． D．

11．已知幂函数的图象过点，则的定义域为______．

12．已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（    ）

A．1 B． C． D．

13．下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②图象是一条直线；③若函数的定义域是，则它的值域是；④若函数的定义域是，则它的值域是；⑤若函数的值域是，则它的定义域一定是．

其中不正确命题的序号是________．

14．（多选）下列函数中，最小值是4的函数有（    ）

A． B． C． D．

15．（多选）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数为“同族函数”.下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（    ）

A． B． C． D．

16．若幂函数的图象过点，则函数的最大值为（    ）

A． B． C． D．

17．若点在幂函数的图象上，则函数的值域是（    ）

A． B．

C． D．

18．已知，设函数，其定义域为或，则函数的最小值为______.

题型4：幂函数的性质与应用

19．已知幂函数在上为增函数，则m值为（    ）

A．4 B．-3 C．-1 D．-1或4

20．（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列判断中正确的是（    ）

A．函数图象经过点 B．当时，函数的值域是

C．函数满足 D．函数的单调减区间为

21．（多选）设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值有（   ）

A． B． C． D．

22．若，函数的图象恒过定点，则点的坐标为______．

23．己知函数的图像与坐标轴没有公共点，且关于y轴对称，则函数的解析式为___________.

24．已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增，则函数的解析式为___________.

25．己知幂函数图像经过点．则下列命题正确的有（    ）

A．函数在上为增函数

B．函数为偶函数

C．若，则

D．若，则

26．设和是两个不同的幂函数，则它们图像交点的个数为（    ）

A．1或2或0 B．1或2或3 C．1或2或3或4 D．0或1或2或3

27．已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则的取值范围是（     ）

A． B．或 C．或 D．

28．（多选）已知幂函数，对任意，且，都满足，若且，则下列结论可能成立的有（    ）

A． 且 B． 且

C． 且 D．以上都可能

29．幂函数图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的的范围.

30．已知幂函数满足.

（1）求函数的解析式；

（2）若函数，是否存在实数使得的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.

31．已知幂函数在上单调递减.

（1）求的值并写出的解析式；

（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

32．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.

（1）求函数的解析式；

（2）若，求的取值范围：

（3）若实数满足，求的最小值.

参考答案

1．AD

【详解】

解：幂函数是形如（为常数）的函数，A是的情形，D是的情形，所以A和D都是幂函数；B中的系数是2，不是幂函数；易知C不是幂函数．故选：AD.

2．

【详解】

设幂函数为，代入点，

得，解得

故

故答案为：.

3．

【详解】

因为函数是幂函数，所以，所以

因为幂函数的图象过点，

所以，所以，

所以，

故答案为：.

4．A

【详解】

因为在直线右侧，指数越大，幂函数的图象越靠上，

所以曲线，，，相应的依次为2，，，.

故选：A.

5．B

【详解】

对于幂函数，因为 ，所以在第一象限单调递减，

根据幂函数的性质可知：在直线的左侧，幂函数的指数越大越接近轴 ，

因为，所以的图象比的图象更接近轴 ，所以进过第卦限，

在直线的右侧，幂函数的指数越小越接近轴，因为，

所以的图象位于和之间，所以经过卦限，

所有函数的图象在第一象限中经过的“卦限”是，

故选：B

6．C

【详解】

解：由函数图象可知，函数图象关于原点对称，且在第一象限内单调递减，所以只有，

因为、、在第一象限内均为递增函数；

故选：C

7．D

【详解】

因函数的图象关于y轴对称，于是得函数为偶函数，即p为偶数，

又函数的定义域为，且在上单调递减，则有0，

又因p、q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确.

故选：D

8．B

【详解】

解：，幂函数在第一象限内的图象为增函数，排除，，，

故选：．

9．C

【详解】

由图知幂函数f(x)为偶函数，且，排除B，D；

当m，n是奇数时，幂函数f(x)非偶函数，排除A；

故选：C.

10．D

【详解】

对于A：函数，定义域为，不满足条件；

对于B：函数的定义域为，不满足条件；

对于C：，定义域为，不满足条件；

对于D：函数的定义域为R，满足条件；

故选：D

11．

【详解】

∵的图象过点，∴，，应该满足：，即，∴的定义域为．

故答案为：

12．C

【详解】

由幂函数的图像过点，

可得，解得，所以，

函数，

则，

所以在区间上单调递增，

所以的最小值.

故选：

13．②③④⑤

【详解】

解：幂函数图象不过第四象限，①正确；图象是直线上去掉点，②错误；函数的定义域是，则它的值域是，③错误；函数的定义域是，则它的值域是，④错误；若函数的值域是，则它的定义域也可能是，⑤错误，

故答案为：②③④⑤．

14．AD

【详解】

A：，当且仅当时等号成立，正确；

B：当时，，错误；

C：，而，故等号不能成立，错误；

D：，当且仅当时等号成立，正确；

故选：AD.

15．ACD

【详解】

解：对于A，，当定义域分别为与时，值域均为，所以为同族函数，所以A正确；

对于B，在定义域内，函数图象在第一象限内单调递减，在第三象限内单调递减，不满足定义域不同时，值域相同，所以B错误；

对于C，定义域为，函数在(0,1]上单调递减，在[1,+∞)上单调递增，当定义域分别为与时，值域均为，所以C正确

对于D，定义域为R，且，函数偶函数，当定义域为[-1,0]和[0,1]时值域相同，所以D正确

故选：ACD.

16．C

【详解】

设幂函数，

因为函数的图象过点，

所以，所以，

故，

所以.

令，所以，

则，

所以当时，.

故选：C.

17．B

【详解】

由已知可得，解得，，故，

对于函数，有，解得，故函数的定义域为，

且，

因为

故，即函数的值域为.

故选：B.

18．1

【详解】

由题意得：，

当或时，，

当时，，

综上：函数的最小值为1，

故答案为：1

19．A

【详解】

由题设，知：，解得.

故选：A

20．AD

【详解】

由题意，幂函数的图象经过点，

可得，解得，即，

由，可得函数的图象过，所以A正确；

由二次函数的性质，可得函数在区间上单调递减，在上单调递增，

所以当时，，

又由，所以，所以函数的值域为，所以B错误；

由，可得C错误；

根据二次函数的图象与性质，可得函数开口向上，对称轴为，

所以函数在区间上单调递减，所以D正确.

故选：AD.

21．BC

【详解】

时，的定义域是，不正确；

时，函数的定义域是，且是奇函数，故正确；

是，函数的定义域是，且是奇函数，故正确；

时，函数的定义域是，不正确.

故选：BC

22．

【详解】

因为过定点，

将图象向右平移一个单位，向上平移3个单位得：，

所以过定点.

故答案为.

23．或

【详解】

因为函数的图像与坐标轴没有公共点，且关于y轴对称

所以由幂函数性质可知，，且为偶数，且，

即，且为偶数，且

解得 ，

当和时，解析式为，当时，解析式为.

故答案为：或

24．

【详解】

由幂函数的定义，得，

解得，则，

因为在上单调递增，

所以，解得，

又因为，所以或，

当时，是奇函数（舍）；

当时，是偶函数（符合题意）.

故答案为：.

25．C

【详解】

设，则，解得：，；

对于AB，定义域为，定义域不关于原点对称，AB错误；

对于C，在上单调递增，当时，，C正确；

对于D，当时，，

，又，

，D错误.

故选：C.

26．B

【详解】

和是两个不同的幂函数，设，

由幂函数过点，

当和的定义域均为时，它们的图象的交点有，，还可能有

当和中至少有一个的定义域为时，它们的图象的交点有

当和中一个的定义域为，另一个的定义域为时，它们的图象的交点有.

所以它们图像交点的个数为1或2或3

故选：B

27．D

【详解】

由题意，则，即，当时， ，又当时， ，∴，解得，故选D．

28．BC

【详解】

因为为幂函数，

所以，解得：m=2或m=-1.

因为任意，且，都满足，

不妨设，则有，所以为增函数，

所以m=2，此时

因为，所以为奇函数.

因为且，

所以.

因为为增函数，

所以，所以.

故BC正确.

故选：BC

29．.

【详解】

试题解析：

在是减函数，

，又   

当时，符合题意，

当时，不符合题意，舍去，

，借助图象得

  或     或或

综上：   

30．（1）；（2）存在，；（3）存在，.

【详解】

（1）因为是幂函数，

所以，解得或.

当时，，在为减函数，不满足.   

当时，，在为增函数，满足.   

所以.

（2），

令，因为，所以，

则令，，对称轴为.

①当，即时，函数在为增函数，

，解得.

②当，即时，，

解得，不符合题意，舍去.

当，即时，函数在为减函数，，解得.不符合题意，舍去.

综上所述：存在使得的最小值为.

（3），则在定义域范围内为减函数，

若存在实数，使函数在上的值域为，

则，

②①得：，

所以，

即③.

将③代入②得：.

令，因为，所以.

所以，在区间单调递减，

所以.

故存在实数，使函数在上的值域为，

实数的取值范围且为.

31．（1），；（2）存在，.

【详解】

（1）（1）因为幂函数在上单调递减，

所以解得：或(舍去)，

所以；

（2）由（1）可得，，所以，

假设存在，使得在上的值域为，

①当时，，此时在上单调递减，不符合题意；

②当时，，显然不成立；

③当时，，在和上单调递增，

故，解得.

综上所述，存在使得在上的值域为.

32．（1）；（2）；（3）2．

【详解】

（1）是幂函数，则，，又是偶函数，所以是偶数，

在上单调递增，则，，所以或2．

所以；

（2）由（1）偶函数在上递增，

．

所以的范围是．

（3）由（1），，，

，当且仅当，即时等号成立．

所以的最小值是2．