江西省景德镇一中2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含答案

    www.ks5u.com江西省景德镇一中17班2018-2019学年高一（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合．为自然数集，则下列表示不正确是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

集合．为自然数集，由此能求出结果．

【详解】解：集合．为自然数集，

在A中，，正确；

在B中，，正确；

在C中，，正确；

在D中，不是的子集，故D错误．

故选：D．

【点睛】本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.若的三个内角满足，则（   ）

A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形

C. 一定是钝角三角形 D. 不能确定

【答案】C

【解析】

【分析】

利用正弦定理求出、、的关系，利用余弦定理判断的大小即可．

【详解】解：的三个内角满足，

由正弦定理可得：，

设，，，

显然是大角；

，

所以是钝角．

故选：C．

【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型.

3.函数的对称中心不可能是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由求得对称中心横坐标，然后逐一取值分析得答案．

【详解】解：对于函数，令，求得，

可得它图象的对称中心为，，

取，得对称中心；

取，得对称中心为；

取，得对称中心为．

不可能是.

故选：D．

【点睛】本题考查正切函数的对称中心的求法，熟记正切函数的性质即可，是基础题．

4.有以下四个结论（且）：

（1）（2）（3）（4）．其中正确结论的个数是（   ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

利用对数与指数的运算性质即可得出结果．

【详解】解：且．

（1），正确；

（2），正确；

（3）正确；

（4），因此不正确．

其中正确结论的个数是3．

故选：C．

【点睛】本题主要考查指数与对数运算，熟记运算性质即可，属于常考题型.

5.已知是第二象限角，则（   ）

A. 是第一象限角 B.

C.  D. 是第三或第四象限角

【答案】D

【解析】

【分析】

由已知可求，，可得是第一象限或第三象限角，由已知可求，，可得是第三象限或第四象限角，逐项分析即可得解．

【详解】解：对于A，∵是第二象限角，

∴，，

∴，，

∴是第一象限或第三象限角，故错误；

对于B，由可知是第一象限或第三象限角，故错误；

对于C，∵是第二象限角，

∴，，

∴是第三象限或第四象限角，，故错误；

对于D，∵是第二象限角，

∴，，

∴，，

∴是第三象限或第四象限角，故正确；

故选：D．

【点睛】本题主要考查了角在第几象限的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意象限角定义的合理运用．

6.已知，，则等于（   ）

A.  B. 或 C. 或 D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由条件利用同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，求得所给式子的值．

【详解】解：∵，，

∴平方可得，即，

∴，，

∵可得：，解得：，或（舍去），

∴，可得：．

故选：A．

【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，熟记公式即可，属于基础题．

7.已知，，则的值是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据两角差的余弦函数公式，即可得出结果．

【详解】解：∵，，

∴，

∴，

∴ .

故选：A．

【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

8.在中，，，，则（   ）

A. 仅有一解 B. 有二解 C. 无解 D. 以上都有可能

【答案】B

【解析】

【分析】

求出的正弦函数值，利用正弦定理求出的正弦函数值，然后判断三角形的个数．

【详解】解：在中，，，，

，，所以，

由题意可得：，所以有两个值；

三角形有两个解．

故选：B．

【点睛】本题考查三角形的个数问题，熟记正弦定理即可，属于常考题型.

9.在中，若，则的形状是（  ）

A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形

【答案】B

【解析】

分析：先根据三角形内角关系以及诱导公式、两角和与差正弦公式化简得角的关系，即得三角形形状.

详解：因为，所以

因为，所以

因此的形状是等腰三角形.

选B.

点睛：判断三角形形状的方法

①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．

②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．

10.函数的递增区间是（   ）

A. 和 B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用分段函数的单调性，列出不等式组求解即可得出结果．

【详解】解：当时，，是二次函数，增区间为：．

时，是增函数，所以函数的增区间为：．

综上函数的递增区间是：和．

故选：A．

【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的判断，是基本知识的考查．

11.已知函数，直线与函数的图象有三个交点、、，它们的横坐标分别为，则的取值范围是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由分段函数的图象的作法得，作出的图象，

由函数图象的性质得：设函数的图象与直线的交点对应横坐标分别为、、，由题中条件即可得出结果.

【详解】解：，

设函数的图象与直线的交点对应横坐标分别为、、，

则，，

所以，

故选：B．

【点睛】本题考查了分段函数的图象的作法及函数图象的性质，属于中档题.

12.已知函数,则不等式的解集是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知可知，函数为偶函数，且时，单调递减，，从而即可求结果.

【详解】解：,,即函数为偶函数，

又易知时，单调递减，且，

由可得，

即，且，

所以，解得且，

因此原不等式的解集为.

故选：A．

【点睛】本题主要考查了偶函数对称性及单调性在不等式求解中的应用，属于知识的综合应用．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.函数的递减区间是______．

【答案】，

【解析】

【分析】

利用诱导公式，正切函数的单调性，即可求得函数的递减区间．

【详解】解：函数的递减区间，即函数的增区间．

令，求得，故函数的增区间为，，

故答案为：，．

【点睛】本题主要考查诱导公式，正切函数的单调性，熟记正切函数的性质即可，属于基础题．

14.已知角的终边上有一点的坐标是，则的值是______．

【答案】，

【解析】

【分析】

由题意，利用任意角的三角函数的定义，以及诱导公式，即可求得的值.

【详解】解：角的终边上有一点的坐标是，

，

又在第四象限，故，，

故答案为：，．

【点睛】本题主要考查诱导公式，任意角的三角函数的定义，熟记定义即可，属于基础题．

15.的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据诱导公式逐步化简计算,即可得出结果.

【详解】解：∵

.

故答案为：．

【点睛】此题考查了诱导公式的作用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，属于基础题．

16.对幂函数有以下结论

（1）的定义域是；

（2）的值域是；

（3）的图象只在第一象限；

（4）在上递减；

（5）是奇函数．

则所有正确结论的序号是______.

【答案】（2）（3）（4）

【解析】

【分析】

利用幂函数的性质，逐项判断，即可得出结论．

【详解】解：对幂函数，以下结论

（1）的定义域是，因此不正确；

（2）的值域是，正确；

（3）的图象只在第一象限，正确；

（4）在上递减，正确；

（5）是非奇非偶函数，因此不正确．

则所有正确结论的序号是（2）（3）（4）．

故答案为：（2）（3）（4）．

【点睛】本题考查了幂函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.计算（1）

（2）

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据指数运算法则，直接计算即可得出结果；

（2）根据对数运算法则，直接计算即可得出结果.

【详解】解：（1）原式=-4

（2）原式

.

【点睛】本题主要考查指数运算以及对数运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.

18.全集，集合，.

（1）若，分别求和；

（2）若，求的取值范围．

【答案】（1），（2）

【解析】

【分析】

（1）时，先得到，进而可求出，再根据，可求出，进而可求出结果；

（2）根据，直接得到，求解即可得出结果.

【详解】解：（1）若，则，则，

又，

所以，.

（2）若，则得，即，

即实数的取值范围是．

【点睛】本题主要考查集合的混合运算，以及集合间的关系，熟记概念和性质即可，属于常考题型.

19.已知函数.

（1）求的最小正周期和单调递减区间；

（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．

【答案】（1），．（2）

【解析】

【分析】

（1）先将函数解析式化简整理得到，再由正弦函数的周期性以及单调性，即可求出结果；

（2）先由关于的方程在上有解，可得方程在上有解，求出函数 在上的值域即可得出结果.

【详解】解：（1）函数 ，

故函数的最小正周期为．

令，求得，可得函数的减区间为，．

（2）若关于的方程在上有解，即方程在上有解．

当上，，，，

故，所求实数的取值范围为.

【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，熟记正弦函数的图像与性质即可，属于常考题型.

20.已知函数.

（1）当时，求的值域和单调减区间；

（2）若存在单调递增区间，求的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）当时，，令，求出的单调区间与取值范围，即可得出结果；

（2）若存在单调递增区间，则当，则函数存在单调递增区间即可，当，则函数存在单调递减区间即可，根据判别式即可得出结果.

【详解】解：（1）当时，，

设，

由，得，得，即函数的定义域为，

此时，

则，即函数的值域为，

要求的单调减区间，等价为求的单调递减区间，

的单调递减区间为，

的单调递减区间为．

（2）若存在单调递增区间，

则当，则函数存在单调递增区间即可，则判别式得或舍，

当，则函数存在单调递减区间即可，则判别式得或，此时不成立，

综上实数的取值范围是．

【点睛】本题主要考查对数型复合函数的单调性、以及已知函数单调性求参数的问题，熟记对数函数以及二次函数的单调性即可，属于常考题型.

21.如图，已知点是正方形内一点，且，.

（1）若，求；

（2）若，求正方形的面积．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）先由余弦定理求出，得到，再由即可得出结果；

（2）根据题意，由余弦定理先得到，即，同理可得，再由，，即可得出结果.

【详解】解：（1）由，．，

可得，

，

（2）点是正方形内一点，且，，，

由余弦定理，得，

，

同理，.

又，，

所以,解得

正方形的面积.

点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理、余弦定理等即可，属于常考题型.

22.已知.

（1）求；

（2）若对恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）先设，，可得，进而可得，根据函数相等的概念，即可得出结果；

（2）先由原不等式对恒成立，转化为 对恒成立，设，则原不等式可化为在恒成立，求出，即可得出结果.

【详解】解：（1）设，，

可得.

，

即

（2）由对恒成立，

即对恒成立，

可得 ，

则 ，

，

.

设，

恒成立，

，

故原不等式可化为在恒成立，

当时，，

；

故得的取值范围是；

【点睛】本题主要考查函数的解析式以及不等式恒成立求参数的问题，熟记换元法求解析式的方法、以及换元法转化不等式的方法即可，属于常考题型.