江西省吉安市2018-2019学年高一上学期期末教学质量检测数学试题含答案

    www.ks5u.com江西省吉安市2018-2019学年高一（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.下列集合中与{2，3}是同一集合的是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用集合相等的定义直接求解．

【详解】与{2，3}是同一集合的是{3，2}．

故选：D．

【点睛】本题考查同一集合的判断，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.函数的定义域为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数f（x）的解析式，求出使解析式有意义的自变量取值范围即可．

【详解】函数，

∴，

解得x＞0且x≠1，

∴f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．

故选：B．

【点睛】本题考查了根据解析式求函数定义域的应用问题，是基础题．

3.在△ABC中，∠A=30°，a=4，b=5，那么满足条件的△ABC（　　）

A. 无解 B. 有一个解 C. 有两个解 D. 不能确定

【答案】C

【解析】

【分析】

根据余弦定理a2=b2+c2-2bccosA的式子，代入题中数据化简得c2-5c+9=0，由根的判别式与韦达定理得到该方程有两个不相等的正实数根，由此可得△ABC有两个解．

【详解】∵在△ABC中，∠A=30°，a=4，b=5，

∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得

16=25+c2-10ccos30°，得c2-5c+9=0（*）

∵△=（5）2-4×1×9=39＞0，且两根之和、两根之积都为正数，

∴方程（*）有两个不相等正实数根，即有两个边c满足题中的条件，

由此可得满足条件的△ABC有两个解

故选：C．

【点睛】本题给出三角形的两条边和其中一边的对角，判断三角形解的个数．着重考查了利用余弦定理解三角形、一元二次方程根的判别式与韦达定理等知识，属于基础题．

4.已知角α是第四象限角，且满足，则tan（π-α）是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用三角函数的诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．

详解】由，

得-cosα+3cosα=1，即，

∵角α是第四象限角，

∴．

∴tan（π-α）=-tanα= ．

故选：A．

【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．

5.已知tanα=3，则=（　　）

A. 2 B.  C. 3 D.

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式化简求值即可．

【详解】∵tanα=3，

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查了二倍角公式，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．

6.已知向量，向量，若向量在向量方向上的投影为，则实数x等于（　　）

A. 3 B. 2 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据方向投影的概念列式：可求得x=-3．

【详解】∵， ，∴向量在向量方向上的投影为,解得x=-3，

故选：D．

【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．

7.若f（x）=2sin2x的最小正周期为T，将函数f（x）的图象向左平移，所得图象对应的函数为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由三角函数的周期的公式得：T=，由函数图象的平移得：g（x）=2sin2（x+）=-2sin2x，得解．

【详解】由f（x）=2sin2x可得：此函数的最小正周期为T=，

将函数f（x）的图象向左平移，

所得图象对应的函数为g（x）=2sin2（x+）=-2sin2x，

故选：B．

【点睛】本题考查了三角函数的周期、函数图象的平移，属简单题．

8.已知，b=log827，，则a，b，c的大小关系为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

可以得出，并且，从而得出a，b，c的大小关系．

【详解】，，log25＞log23＞1，；

∴a＞b＞c．

故选：D．

【点睛】考查对数函数、指数函数的单调性，对数的换底公式，以及增函数和减函数的定义．

9.已知向量满足，，，则=（　　）

A. 3 B. 5 C. 6 D. 7

【答案】C

【解析】

【分析】

根据向量的模即可求出．

【详解】∵，

∴，

即14=9+16+，

∴=-11．

∴=9+16+11=36，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查了向量的模的计算，属于基础题．

10.已知函数是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（　　）

A.  B.  C. 1 D. 或1

【答案】C

【解析】

【分析】

根据幂函数的定义与性质，即可求出m的值．

【详解】函数f（x）=（3m2-2m）xm是幂函数，

则3m2-2m=1，解得m=1或m=-，

又f（x）为增函数，

则m=1满足条件，

即m的值为1．

故选：C．

【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．

11.设正实数a，b满足3a=7b，下面成立的是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

设3a=7b=t，（t＞0），则a=log3t，b=log7t，从而=log7t×logt3=log73，根据对数函数的单调性即可比较与和1的大小.

【详解】∵正实数a，b满足3a=7b，

∴设3a=7b=t，（t＞0），则a=log3t，b=log7t，

∴=log7t×logt3==log73，

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查两数比值的范围的求法，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

12.已知定义在R上的奇函数f（x）且满足f（1+x）=-f（3-x），且f（1）≠0，若函数g（x）=x6+f（1）cos4x-3有且只有唯一的零点，则f（2018）+f（2019）=（　　）

A. 1 B.  C.  D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，由f（1+x）=-f（3-x）变形可得f（x）=-f（4-x），由函数的奇偶性可得f（x）=-f（-x），综合可得-f（-x）=-f（4-x），即f（x）=f（x+4），即函数f（x）为周期为4的周期函数，据此可得f（2）=f（-2），且f（-2）=-f（2），分析可得f（2）=-f（-2）=0；对于g（x）=x6+f（1）cos4x-3，由函数奇偶性的定义可得函数g（x）为偶函数，结合函数零点个数分析可得g（0）=f（1）-3=0，则f（1）=3，结合f（x）的周期性可得f（2018）与f（2019）的值，相加即可得答案．

【详解】根据题意，函数f（x）且满足f（1+x）=-f（3-x），则有f（x）=-f（4-x），

又由f（x）为奇函数，则有f（x）=-f（-x），

则有-f（-x）=-f（4-x），即f（x）=f（x+4），

即函数f（x）为周期为4的周期函数，

则有f（2）=f（-2），且f（-2）=-f（2），

分析可得f（2）=-f（-2）=0，

对于g（x）=x6+f（1）cos4x-3，

有g（-x）=（-x）6+f（1）cos4（-x）-3=x6+f（1）cos4x-3=g（x），

即函数g（x）为偶函数，

若函数g（x）=x6+f（1）cos4x-3有且只有唯一的零点，

则必有g（0）=f（1）-3=0，则f（1）=3，

f（2018）=f（2+2016）=f（2）=0，

f（2019）=f（3+2016）=f（3）=f（-1）=-f（1）=-3，

则f（2018）+f（2019）=-3；

故选：C．

【点睛】本题考查函数周期性与奇偶性的应用，注意分析函数的周期，关键是求出f（1）的值，属于综合题．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知集合A={2，3，6}，则集合A的真子集的个数是______．

【答案】7

【解析】

【分析】

根据含有n个元素的有限集合的真子集有个，容易得出集合A的真子集个数为个，得到结果．

【详解】因为集合A中有3个元素，所以集合A的真子集有个，

故答案为：7．

【点睛】考查列举法的定义，真子集的概念，组合的概念及组合数公式．

14.已知函数，则______．

【答案】

【解析】

【分析】

推导出f（π2）=，从而f[f（π2）]=f（-π）=sin，由此能求出结果．

【详解】∵函数，

∴f（π2）=，

f[f（π2）]=f（-π）=sin=-sin=-1．

故答案为：-1．

【点睛】本题考查函数值求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

15.已知是定义在上的偶函数，则a+b等于______．

【答案】0

【解析】

【分析】

根据题意，由偶函数的定义域的性质可得b+2+b=0，解可得b=-1，进而可得f（-x）=f（x），即（a-1）（-x）3-（-x）2=（a-1）x3-x2，分析可得a的值，将a、b的值相加即可得答案．

【详解】根据题意，已知f（x）=（a-1）x3+bx2是定义在[b，2+b]上的偶函数，

有b+2+b=0，解可得b=-1，

则f（x）=（a-1）x3-x2，

若f（x）为[-1，1]上的偶函数，则有f（-x）=f（x），

即（a-1）（-x）3-（-x）2=（a-1）x3-x2，

分析可得：a=1，

则a+b=0；

故答案为：0．

【点睛】本题考查函数的奇偶性的定义以及性质，关键是掌握函数奇偶性的定义．

16.已知向量，，．若，则与的夹角为______．

【答案】

【解析】

【分析】

由向量共线的运算得： =（λsin125°，λcos125°）（λ＜0），由平面向量数量积及其夹角、两角和差的正弦cosθ===-sin200°=cos70°，由θ∈[0，180°]，即可得解．

【详解】因为，．

又，

则不妨设=（λsin125°，λcos125°）（λ＜0），

设与的夹角为θ，则cosθ===-sin200°=cos70°，由θ∈[0°，180°]，所以θ=70°，

故答案为：70°

【点睛】平面向量数量积及其夹角、两角和差的正弦，属中档题．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.已知全集U=R，A={x|2≤x＜10}，集合B是函数的定义域．

（1）求集合B；

（2）求A∩∁UB．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）求函数y的定义域即可得出集合B；

（2）根据补集与交集的定义，计算即可．

【详解】（1）由函数，则，

解得，

∴集合B={x|x≤-3或3≤x＜6}；

（2）由全集U=R，

∴∁UB={x|-3＜x＜3或x≥6}，

又A={x|2≤x＜10}，

∴A∩∁UB={x|2≤x＜3或6≤x＜10}．

【点睛】本题考查了求函数的定义域和集合的运算问题，是基础题．

18.已知函数．

（1）求函数f（x）的单调递减区间；

（2）设，f（x）的最小值是，最大值是3，求实数m，n的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用边角公式结合辅助角公式进行化简，结合单调性的性质进行求解即可；

（2）求出角的范围，结合函数的单调性和最值关系建立方程进行求解即可．

【详解】（1）

=sin2x+m（2cos2x-1）+n

=m（sin2x+cos2x）+n

=msin（2x+）+n，

∵m＞0，

∴由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，

即kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，

即函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．

（2）当时，2x+∈[，]，

则-≤sin（2x+）≤1，

∵f（x）的最小值是，最大值是3，

∴f（x）的最大值为m+n=3，最小值为m+n=1-，

得m=2，n=1．

【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用倍角公式以及辅助角公式将函数化简为f（x）=Asin（ωx+φ）是解决本题的关键．

19.设是两个不共线的非零向量．

（1）设，，，那么当实数t为何值时，A，B，C三点共线；

（2）若，且与的夹角为60°，那么实数x为何值时的值最小？最小值为多少？

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）由A，B，C三点共线知：存在实数λ使=λ+（1-λ），代入，，可得λ=，t=；

（2）•=||||cos60°=，∴|-2x|2=2+4x22-4x•=2+16x2-4=16x2-4+4，利用二次函数求最值可得．

【详解】（1）由A，B，C三点共线知：存在实数λ使=λ+（1-λ），

则（+）=λ（-）+（1-λ）t

则λ=，t=，

（2）•=||||cos60°=，

∴|-2x|2=2+4x22-4x•=2+16x2-4

=16x2-4+4，

∴当x=-=时，|-2x|的最小值为．

【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．

20.已知函数f（x）=（x∈R）．

（1）证明：当a＞3时，f（x）在R上是减函数；

（2）若函数f（x）存在两个零点，求a的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据题意，由分段函数的解析式依次分析f（x）的两段函数的单调性以及最值，结合函数单调性的定义分析可得答案；

（2）根据题意，函数的解析式变形可得f（x）=3|x-1|-a，分析可得若函数f（x）存在两个零点，即函数f（x）=3|x-1|与函数y=ax有2个不同的交点，结合函数y=3|x-1|的图象分析可得答案．

【详解】（1）证明：根据题意，函数f（x）= ，

若a＞3，则当x≥1时，f（x）=（3-a）x-3，有（3-a）＜0，

此时f（x）为减函数，且f（x）≤f（1）=-a，

当x＜1时，f（x）=-（3+a）x+3，有-（3+a）＜0，

此时f（x）为减函数，且f（x）＞f（1）=-a，

故当a＞3时，f（x）为减函数；

（2）根据题意，f（x）= =3|x-1|-a，

若函数f（x）存在两个零点，

即函数f（x）=3|x-1|与函数y=ax有2个不同的交点，

则有0＜a＜3，

即a取值范围为（0，3）

【点睛】本题考查分段函数的解析式的应用，涉及分段函数的单调性，属于基础题．

21.已知在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为A（cosα，sinα），B（2，0），C（0，2），α∈（0，π）．

（1）若，求α的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）先求出和，然后根据向量模的坐标公式列式可解得tanα=1，再得α=；

（2）根据•=-可得sin2α=-，再根据原式=sin2α=-．

【详解】（1）=（2-cosα，-sinα），=（-cosα，2-cosα），

由||=||得||2=||2，

∴5-4cosα=5-4sinα，即tanα=1，

又α∈（0，π），∴α=．

（2）•=（2-cosα）（-cosα）+（-sinα）（2-sinα）

=cos2α-2cosα+sin2α-2sinα

=2-2（sinα+cosα）=-，

∴sinα+cosα=，sin2α=（sinα+cosα）2-1=-，

∴==sin2α=-

【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，以及三角函数化简求值问题，属中档题．

22.已知f（x）是定义在R上的奇函数且f（-2）=-3，当x≥0时，f（x）=ax-1，其中a＞0且a≠1．

（1）求的值；

（2）求函数f（x）的解析式；

（3）已知g（x）=log2x，若对任意的x1∈[1，4]，存在使得f（mx1）+1≥g（x2）（其中m≥0）成立，求实数m的取值范围．

【答案】（1）0；（2）；（3）

【解析】

【分析】

（1）根据题意，由奇函数的性质可得=0，即可得答案；

（2）根据题意，由函数的奇偶性可得f（2）=3，结合函数的解析式可得f（2）=a2-1=3，解可得a=2，解可得当x≥0时，f（x）=2x-1，当x＜0时，结合函数的奇偶性与解析式分析可得f（x）=-f（-x）=-2-x+1，综合可得答案；

（3）根据题意，由函数的解析式分析可得x1∈[1，4]时，f（mx1）的取值范围和当时，g（x2）的取值范围，结合题意可得2m≥，解可得m的取值范围，即可得答案．

【详解】（1）根据题意，f（x）为奇函数，即有f（x）+f（-x）=0，

则=0，

（2）根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数且f（-2）=-3，则f（2）=3，

又由当x≥0时，f（x）=ax-1，则f（2）=a2-1=3，解可得a=2，

则当x≥0时，f（x）=2x-1，

当x＜0时，-x＞0，f（-x）=2-x-1，

则f（x）=-f（-x）=-2-x+1，

故f（x）=；

（3）任意的x1∈[1，4]，当m＞0，有mx1＞0，则f（mx1）+1=，

则有2m≤f（mx1）+1≤24m，

当时，则g（x2）=log2x2，则有≤g（m）≤1+log23，

若对任意的x1∈[1，4]，存在使得f（mx1）+1≥g（x2），

则有2m≥，解可得m≥log23-1，

即m的取值范围为[log23-1，+∞）

【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的最值问题，属于基础题．