2023-2024学年江西省景德镇市昌江区景德镇一中高二上学期11月期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江西省景德镇市昌江区景德镇一中高二上学期11月期中考试数学试题含答案，共28页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，未知等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．三棱柱中，为棱的中点，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可．
【详解】．
故选：D．
2．已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．以上都不对
【答案】C
【分析】过点C的直线l与线段AB有公共点，利用数形结合，得到直线l的斜率k≥kBC或，进而求解即可
【详解】如图所示：∵过点C的直线l与线段AB有公共点，∴直线l的斜率k≥kBC或，
∴直线l的斜率 或，
∴直线l斜率k的取值范围：，
故选：C．
3．已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的基本定理和坐标表示即得结果.
【详解】设在基底下的坐标为，
则，
所以，
解得，
故在基底下的坐标为.
故选：B.
4．若某等腰直角三角形斜边所在直线的倾斜角为，则该三角形两条直角边所在直线的斜率之和为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【分析】不妨把三角形的一个顶点放在原点，然后作图分析直角边所在直线的倾斜角，结合直线垂直的斜率关系可解.
【详解】不妨把三角形的一个顶点放在原点，如图所示，
因为直线OA的倾斜角为，，
所以直线OB的倾斜角为或，即或，
因为，所以当时，；
当时，.
所以．
故选：B
5．在三棱柱中，为该棱柱的九条棱中某条棱的中点，若平面，则为（ ）．
A．棱的中点B．棱的中点C．棱的中点D．棱的中点
【答案】B
【分析】根据三棱柱及平面，可判断棱的中点为D时满足题意.
【详解】如图，
当为棱的中点时，取的中点，
,
平面平面，又平面
则平面.
故选：B
6．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球）的表面上有四个点，，，，且球心在上，，，，则该鞠（球）的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】画出图形，作出辅助线，求出，进而得到，利用勾股定理求出球的半径，求出球的表面积.
【详解】如图，取AB的中点M，连接MP，由AC=BC=4，AC⊥BC得：，
由，得：，
连接CM并延长，交球O于点H，连接PH，因为PC球O的直径，
设球的半径为R，则PH⊥CH，，
则，
所以，
解得：，球的表面积为.
故选：C
【点睛】立体几何中外接球问题，要画出具体图形，找到球心的位置，结合解三角形等知识进行求出半径，再求解球的表面积或体积.
7．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，设点，求得直线的方向向量，通过平面，建立关于的方程，确定的值，即可求解.
【详解】如图，以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，．

设平面的法向量为，
则
令，得．
设，则．
因为平面，所以，
则，解得，．
故．
故选：D
8．已知直线恒过定点，圆：上的两点，满足，则的最小值为（ ）
A．13B．18C．23D．28
【答案】B
【分析】求出点的坐标，由条件可得点，，三点共线，结合点到直线的距离公式求的最小值.
【详解】将整理得，
由解得，所以直线恒过，
因为，所以，，三点共线，，
因为，为圆上两点，
所以点，为过点的直线与圆的两个交点，
设线段的中点为，则，，
因为表示点，到直线的距离和，
分别过，，作，，与直线的垂直，垂足为，，，则，
所以，
因为，直线过点，，
所以，所以，
所以，整理得，
所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
所以点到直线的距离的最小值为，
所以，
所以，
所以.
故选：B
二、多选题
9．已知两圆方程为与，则下列说法不正确的是（ ）
A．若两圆相切，则
B．若两圆公共弦所在方程为，则
C．若两圆的公共弦长为，则
D．若两圆在交点处的切线互相垂直，则
【答案】ACD
【分析】根据题意，求得两圆的圆心和半径，利用圆与圆的位置关系，以及公共弦的方程的求法，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】由圆，可得圆心，半径为，
又由圆，可得圆心，半径为，
可得圆心，
对于A中，当两圆相外切时，可得，即，记得；
当两圆相内切时，可得，即，记得，所以A不正确；
对于B中，圆，圆，
两圆相减，可得公共弦的方程为，
又因为公共弦的方程为，可得，解得，故B正确；
对于C中，由圆，可得圆心，半径为，
可得圆心到的距离为，
因为两圆的公共弦长为，即，可得，
所以，可得或，可得或，所以C错误；
对于D中，若两圆在交点处的切线互相垂直，则满足，即，
解得，所以D错误.
故选：ACD.
10．在正方体中，下列结论中正确的是（ ）
A．四边形的面积为B．与的夹角为
C．D．
【答案】AC
【分析】利用正方体的几何性质结合空间向量的数量积可判断各选项.
【详解】A选项：由正方体可知平面，所以，所以四边形为矩形，，A选项正确；
B选项：由正方体可知，所以与的夹角即为与的夹角，又，所以，所以与的夹角为，B选项错误；
C选项：由设正方体的棱长为，则，，所以成立，C选项正确；
D选项：由已知得，，则，D选项错误；
故选：AC.
11．已知曲线：，则（ ）
A．曲线围成的面积为
B．曲线截直线所得弦的弦长为
C．曲线上的点到点的距离的最大值为
D．曲线上的点到直线的距离的最大值为
【答案】ABD
【分析】对于A选项，通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线图形，后可得面积
对于B选项，由图可得答案.
对于C选项，设点E到点P距离最大，由图形对称性知这样的点有两个，设E在二象限，利用圆外一点到圆上距离最大距离相关知识点可解决问题.
对于D选项，由图可知相关点在第一象限，利用直线到圆上距离最大值相关知识解决问题。
【详解】当，时，曲线：；当，时，曲线：；当，时，曲线：；当，时，曲线：.画出曲线，如图所示.
对于A选项，曲线围成的面积如图可分割为一边长为的正方形和四个半径为的半圆，得曲线围成的面积为，故A正确.
对于B选项，由图可得曲线截直线所得弦的弦长为间距离.
则长度为，故B正确.
对于C选项，设点E到点P距离最大，由图形对称性知这样的点有两个，设E在第二象限，
设其坐标为，则该点坐标满足方程.其中.
则问题相当于是从上找一点E，使最大.
设圆心为.
由图可知，当且仅当三点共线时，最大.
此时，故C错误.
对于D选项，设点F到直线距离最大，由图可得点F在第一象限，
设为，则该点坐标满足方程.其中
则问题相当于从上找一点F，使F到直线距离最大.设圆心为.
由图，当且仅当与直线垂直时距离最大，设为到直线距离，则此时.故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题为曲线方程综合题，做题时以下几点很关键:
（1）对于含有绝对值的曲线方程，常通过分类讨论将其转化为普通方程.
（2）判断C，D选项正误时，首先通过几何直观得到相关点大致位置后利用圆相关知识解答了问题.
12．如图，棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，为面对角线上一个动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．存在线段，使平面平面
C．为中点时，直线与所成角最小
D．三棱锥的外接球半径的最大值为
【答案】AD
【分析】利用锥体的体积公式可判断A选项的正误；以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断BC选项的正误；设出球心的坐标为，求出的最大值，进而可求得三棱锥的外接球半径的最大值，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，因为平面，平面平面，
所以，点到平面的距离等于，
的面积为，
所以，，A选项正确；
对于BC选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、、、
、、，、，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
设，可得点，其中，
则，
所以，，解得，
故平面与平面不平行，B选项错误，
，，
设直线与所成角为，
则
，
当时，取得最大值，此时最小，C选项错误；
对于D选项，由题意可知，三棱锥的外接球球心在过线段的中点且垂直于平面的垂线上，设球心为，易知点，
由，可得，整理可得，
因为，则，
所以，三棱锥的外接球的半径为，
D选项正确.
故选：AD.
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
三、填空题
13．已知点在曲线上运动，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】曲线表示以原点为圆心，2为半径的上半个圆，表示上半圆上的点与连线的斜率，作出图形，可知当直线与半圆相切时的斜率即得解.
【详解】变形为，它是以原点为圆心，2为半径的上半圆，
如图，

在上半圆上，表示点与连线的斜率，
由题意得，当直线与半圆相切时斜率最大，
设直线与半圆相切时直线斜率为，直线方程，即，
因此，解得（由图舍去），
所以的最大值为.
故答案为：
14．已知直线l：（）与圆C：相切，则 ．
【答案】0或
【分析】根据圆的切线性质，结合点到直线距离公式、辅助角公式进行求解即可.
【详解】由圆的方程可知该圆的圆心为，半径为，
,
所以有
因为，所以，
因此有，或，
由，
由，
故答案为：0或
15．在平面直角坐标系xOy中，的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的角平分线所在的直线方程为，则直线的方程为 ．
【答案】
【分析】由题意，设，可得，代入的方程，与联立即可求出点坐标，由内角平分线的性质，可求点关于直线的对称点的坐标，即可求出的方程.
【详解】设，
因为点的坐标为，所以中点，
又所在的直线方程为，
所以，即，
又点在直线上，
所以，
由解得，所以，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，所以，
所以直线的方程为，即.
故答案为：
16．正方体中，点P满足，且，直线与平面所成角为，则 ．
【答案】
【分析】根据共面的充要条件及线面垂直的判定定理，利用线面垂直的性质定理及线面角的定义，得出点在以为圆心，半径的圆上，且圆在平面内，再在平面图形中，得到点的轨迹方程为，从而设出，利用数量积的坐标运算即可求出结果.
【详解】因为，且，
所以，点在平面上，
设，连接，且，如图1所示，
因为平面，又平面，所以，
又，，平面，
所以平面，又平面，所以，
同理可证得，，又，平面，
所以平面，
设正方体的棱长为1，则可知为棱长为的正四面体，
所以，为等边三角形的中心，
由正弦定理知，，得到，
在中，，
连接，则为直线与平面所成的角，即，
所以，，即点在以为圆心，半径的圆上，且圆在平面内，
如图2，把平面抽象出来，以中点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系，
因为，故易知，，，，
又为等边三角形的中心，由重心性质知，，
所以，圆为，
设，
则，，
则，
所以，
故答案为：.
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是根据已知条件作出图形，再利用线面垂直的判定及性质定理，然后根据线面角的定义得到点的轨迹方程，再利用数量积的坐标运算即可解决问题.
四、解答题
17．已知圆锥的顶点为P，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为．
(1)求该圆锥的侧面积；
(2)求圆锥的内切球体积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由已知得出，，再由三角形面积公式得出，从而得出以及圆锥的侧面积.
（2）画出截面图形，先由相似三角形知识求出内切球半径，再由体积公式即可求解.
【详解】（1）如图所示：
令圆锥母线长、底面半径分别为l、r，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为知，，
又，
又因为的面积为，
∴，
又，所以，
∴侧面积为．
（2）如图所示：
设内切球半径为，球心在上面，则，
所以，
由（1）可知，圆锥的高，
则有，解得，
所以圆锥的内切球体积为.
五、未知
18．如图，已知四边形是矩形，平面，，，点M，N分别在线段上．
(1)求证：直线平面．
(2)是否存在M，N，使得？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值．若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，.
【分析】（1）由线面垂直的性质和判定证结论；
（2）构建空间直角坐标系，向量垂直的坐标表示列方程求M，N的坐标，再应用向量法求线面角的正弦值.
【详解】（1）因为平面，平面，所以．
又底面为矩形，，又，、平面，
所以平面．
（2）以A为原点，AP为z轴，AB为x轴，AD为y轴，建立空间直角坐标系．
所以，，，，，
令，，得，所以，
根据，则，所以，取的方向向量为，
设平面的法向量为，，，
根据，取，得，
所以，即直线与平面所成角的正弦值.
六、解答题
19．（1）当光射到两种不同介质的分界面上时，便有部分光自界而射回原介质中的现象，被称为光的反射，一条光线从点出发，经反射后到达点，求反射光线所在直线的方程；
（2）已知，直线的斜率小于，且经过点．与坐标轴交于、两点，试问的面积是否存在最值？若存在，求出相应的最值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）面积存在最小值，不存在最大值，且最小值为．
【分析】（1）求出关于直线的对称点的坐标，可知反射光线所在直线为，求出直线的方程，即可得解；
（2）设直线，假设在轴上，则、，利用三角形的面积公式以及基本不等式可求出的面积的最小值，即可得解.
【详解】解：（1）设关于直线的对称点为，
所以，，解得，即点，
所以反射光线所在直线为，其方程为，即．
（2）由题意可设直线，
令，可得，令，可得，
不妨假设在轴上，则、，
则的面积，
因为，所以，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
故的面积存在最小值，不存在最大值，且最小值为．
七、未知
20．如图，四棱锥内，平面，四边形为正方形，，．过的直线交平面于正方形内的点，且满足平面平面．
(1)求点的轨迹长度；
(2)当二面角的余弦值为时，求二面角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过作，可证，进而可证平面，，所以在以为直径的半圆上，可得轨迹长度；
（2）设，由（1），可得，即可设，用坐标法表示二面角的余弦值，可解得，再利用坐标法可得二面角余弦值.
【详解】（1）
如图所示，过点作，且，
平面平面，且平面平面，
平面，
又平面，
，
平面，平面，
，
又，且，平面，
平面，
平面，
，
由点在正方形内，
所以点在以为直径的半圆上，，
所以点的轨迹长度为.
（2）如图所示建立空间直角坐标系，
，，，，
设，，，
则，，
由（1）得，则，即，
可设，，
则，，
设平面的法向量，
则，
令得，
易知平面的一个法向量为，
所以二面角的余弦值为，
解得，或（舍），
则，
又平面得一个法向量为，
，
由图可知二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
八、解答题
21．已知圆与两坐标轴相切．
(1)若圆也与两坐标轴相切，且两圆都过点，求两圆的圆心距；
(2)设点在直线上运动，点D为圆上一点，且．
①求圆的方程：
②过点P做圆的两条切线PA，PB，设切线PA与PB斜率分别为，，且时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)① ；②或
【分析】（1）根据题意，设圆的标准式，列出方程，代入计算，即可得到结果；
（2）（ⅰ）由点到直线的距离公式，列出方程，即可得到结果；
（ⅱ）由直线与圆相切，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）设圆：，圆：
代入，得，
故方程有两解为、，
则，，.
（2）（ⅰ）设圆：，
则，则．
故圆：．
（ⅱ）设过点P的切线方程为：，
则有：，.
化简得：，
∴，
解得：，故点为或.
九、未知
22．如图，在长方体中，，，记M为棱BC的中点，若动点P在平面上运动，并满足，
(1)求点P的轨迹与侧面相交所形成的曲线长度：
(2)在点P运动过程中，平面ADP与平面MCP是否能形成直二面角？若能求出点P的位置；若不能，说明理由；
(3)过点D做的角平分线l，E，F为直线l上的两点，且对任意的点P都有，求线段EF长度的最小值．
【答案】(1)
(2)能，答案见解析
(3)
【分析】（1）由角相等推理得建立空间坐标系得点P的轨迹求解曲线长度（2）推理证明得∠DPC为平面角，利用直线与圆相切求解（3）问题转化为以EF为直径的圆要包括圆：求得最小值
【详解】（1）因为点P的轨迹与侧面相交，
所以点P的轨迹在侧面内，
由长方体性质可知：AD，BC都与平面垂直，
而DP，CP在平面内，所以AD⊥DP，CP⊥BC，
由，
可知，即，故，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，故所求点满足，化简得，
故所求的即为此圆在矩形内的部分，
即圆心角为，半径为2的圆弧，长度为
（2）设平面平面，
∵，平面MCP，平面MCP，∴平面MCP，由线面平行的性质，平面，故，进而．
∵平面, 平面∴，∴，
同理，∴∠DPC为平面角，
在平面yz中，，过点D作直线m：，
在直线m与圆相切时，，
∴解得(负值舍去），由可得,
故．
（3）当直线l：上存在E、F使得恒成立，
则以EF为直径的圆要包括圆：．
点到直线l的距离，
∴．