2022-2023学年江西省景德镇一中高一（18班）上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年江西省景德镇一中高一（18班）上学期期中考试

数学试题

一、单选题

1．已知全集为，集合，，则

A． B．或

C． D．或

【答案】B

【分析】由运算法则先求，再求

【详解】，，

则或，

则或，

故选：B.

【点睛】本题考查集合的交并补运算，属于基础题

2．已知函数则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先分析出时的周期性，然后根据周期性以及已知条件将问题转化为计算的值，由此求解出结果.

【详解】当时，因为，所以，所以是周期为的函数，

所以，

又因为，所以，

故选：A.

【点睛】结论点睛：周期性常用的几个结论如下：

（1）对时，若或（）恒成立，则是的一个周期；

（2）对时，若或或（）恒成立，则是的一个周期；

（3）若为偶函数，其图象又关于对称，则是以为一个周期的周期函数；

（4）若为奇函数，其图象又关于对称，则是以为一个周期的周期函数.

3．若，，则的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据绝对值的定义及不等式的性质即得.

【详解】因为，

所以，，又，

所以.

故选：C.

4．满足函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复合函数的单调性，求出的取值范围，结合充分不必要条件的定义进行求解即可．

【详解】解：若在上单调递减，

则满足且，

即且，

则，

即在上单调递减的一个充分不必要条件是，

故选：D．

5．函数在其定义域上的图象大致为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求函数的定义域,判断函数的奇偶性和对称性,利用排除法,进行判断即可

【详解】函数的定义域为.

因为，，所以是奇函数，图象关于原点对称，排除A,B；

当， ，排除C.

故选:D.

6．已知，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据对数函数的定义域求出的范围作为前提条件，通过运算将不等式转换为对数函数的图象问题，根据对数函数的图象求出的取值范围，与前提条件取交集即可.

【详解】因为对数函数定义域为，

所以，解得，

所以的定义域为，所以，解得：，

关于不等式，代入表达式可得：，即，

所以，

因为，

所以解不等式可得，

所以不等式的解集为.

故选：C

7．已知正实数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】题目主要是关于单调性的应用，根据题目确定的大小关系，再去判断各选项是否正确

【详解】解：由题意变形可得：，移项得：，构造函数，易得函数在区间单调递增，因为，所以可得：，选项A中，由无法判断的大小关系，所以无法判断，故A错误；选项B中，取代入得：，错误，故选项B错误；同理代入选项C中，可得，选项C错误；选项D中，因为，所以，所以，选项D正确，故选：D

8．已知函数,则方程根的个数为

A．3 B．5 C．7 D．9

【答案】C

【分析】令,先求出方程的三个根,,,然后分别作出直线,,与函数的图象,得出交点的总数即为所求结果.

【详解】令,先解方程.

（1）当时,则,得；

（2）当时,则,即,解得,.

如下图所示：

直线,,与函数的交点个数为、、,

所以,方程的根的个数为.

故选：C.

【点睛】本题考查复合函数的零点个数,这类问题首先将函数分为内层函数与外层函数,求出外层函数的若干个根,再作出这些直线与内层函数图象的交点总数即为方程根的个数,考查数形结合思想,属于中档题．

二、多选题

9．已知为奇函数，且为偶函数，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】综合已知，利用奇偶性的定义和性质判定f(x)的周期为4，进而可求得,然后即可判定AB；根据周期性可判定C;根据已得数据可以判定时D中的方程不成立，从而判定D不正确.

【详解】因为函数为偶函数，所以，

又因为f(x)是R上的奇函数，所以，

所以，所以f(x)的周期为4，

又

故A，B正确；

,∴C正确；

,同时根据奇函数的性质得既相等又互为相反数，故f(2)=0,所以，即对于不成立，故D不正确.

故选：ABC.

【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性和周期性，关键难点在于结合奇偶性得到周期性，同时注意，定义域为R的周期为奇函数，必有这一结论值得记忆.

10．下列说法正确的是（    ）

A．“且”是“”的充要条件

B．若，，则

C．方程有一正一负根的充要条件是

D．若实数满足，则的最小值为2

【答案】CD

【分析】特例可判断AB，根据一元二次方程根的分布可判断C，利用均值不等式可判断D．

【详解】当 时满足，但不满足且，故A错误；

当，，时，满足，，但，故B错误；

方程有一正一负根的充要条件是，解得：，故C正确；

因为，，，所以

，

所以

，

当且仅当时等号成立，即的最小值为2，故D正确．

故选：CD．

11．若函数的值域为，则实数的值可以是（    ）

A． B． C． D．2

【答案】CD

【分析】由题意得到可以取遍任意正实数，然后由其最小值小于等于零求解.

【详解】解：因为函数的值域为，

所以可以取遍任意正实数，

又，

当且仅当，即时，等号成立，

则，解得，

所以则实数的值可以是，2，

故选：CD

12．已知函数，设， ，则（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ABD

【分析】作出函数的图象，时，由于，可得到，化简可判断A，结合基本不等式可判断B;数形结合，结合函数的单调性，可判断C,D.

【详解】作出函数的图象，如图示：

当时，由于，可知，

则，则 ，即，A正确；

由于，则，即 ，B正确；

当时，单调递增，当时，有 ，

即，不符合C,D选项；

当时，，由于，则，即，

当时，递增，若，则即，

当时，递减，

若，则，即 ；

若，则由 ，令，

由于此时，则，

由，可得，即 ，故C错误，D正确，

故选：ABD

三、填空题

13．已知幂函数在第一象限单调递减，若，则函数的解析式为______.

【答案】，

【详解】因为函数是幂函数，所以，解得：或，因为函数在第一象限单调递减，所以，即，

则，设，，

即，

所以函数的解析式为，

故答案为：，

14．若，则的大小关系为______.

【答案】##

【分析】根据指对幂函数的单调性判断大小关系即可.

【详解】由指对幂函数的性质知：，

所以.

故答案为：

15．已知，关于的不等式的解集为，设，当变化时，集合中的元素个数最小时的集合为______.

【答案】

【分析】利用一元二次不等式的解法求出解集确定出，利用基本不等式可得到的最小范围，再根据可得到集合中最少的元素个数时集合的元素.

【详解】由可得，所以，则原不等式的解集为，

设，

由基本不等式可得，

当且仅当即时取等号，

所以当时，，

所以，又，

所以，

则集合中的元素最少有4个时集合，

故答案为：

16．已知，，且，则的最小值为______.

【答案】

【分析】将题设等量关系转化为，结合及基本不等式求最小值，注意取值范围.

【详解】由题设，

且，则，，

所以，

当且仅当，即时等号成立，此时满足.

所以目标式最小值为.

故答案为：

四、解答题

17．计算：

(1)；

(2).

【答案】(1)9

(2)4

【分析】（1）根据根式与指数式的互化结合指数幂的运算性质即可得解；

（2）根据对数的运算性质计算即可.

【详解】（1）解：原式

；

（2）解：原式

.

18．已知集合，，.

(1)求；

(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据指数函数的性质以及分式不等式的解法，求得集合与，结合并集运算，可得答案；

（2）根据对数函数的性质，求得集合，问题等价于二次不等式在区间上恒成立，结合二次函数的性质，求得在区间上的最值，可得答案.

【详解】（1）由，则，即；

由，，，，，解得，即；

故.

（2）由，，，解得，则；

故不等式在上恒成立，

令，易知其对称轴为直线，

则函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，；当时，.

故在上，，令，解得.

19．已知是偶函数.

(1)求的值；

(2)设的最小值为，则实数的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）已知是偶函数，在定义域上符合，利用等式即可求出的值；

（2）由可得函数，则，令，设函数，根据一元二次函数在定义域范围内最值，讨论参数，即可求出的值.

【详解】（1）解：函数的定义域为，

因为函数是偶函数，所以，

又，

，

所以，

所以；

（2）解：由（1）知，，

所以，

所以，

令，

当且仅当，即时等号成立，

设函数，

其图像是开口向上，对称轴方程为的抛物线，

当时，即时，

，解得，

当时，即时，

，

解得（舍去），

综上可知，.

20．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼蓝，这些凤眼蓝在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼蓝覆盖面积为24m2，三月底测得覆盖面积为36m2，凤眼蓝覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．

(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

(2)求凤眼蓝覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份．

（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）

【答案】(1)选择较为合适；

(2)6月

【分析】（1）根据指数函数和幂函数的性质可得合适的函数的模型.

（2）根据选择的函数模型可求最小月份.

【详解】（1）指数函数随着自变量的增大其函数的增长速度越大，幂函数随着自变量的增大其函数的增长速度越小，因为凤眼蓝在湖中的蔓延速度越来越快，故选择较为合适.

故，故，.

所以.

（2）由（1），放入面积为，令，

则，

故凤眼蓝覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份为6月.

21．已知.

(1)若，，求方程的解；

(2)若关于的方程在上有两解.

①求的取值范围；②证明：.

【答案】(1)

(2)①；②证明见解析

【分析】（1）当时，，去绝对值后，再求方程的解；

（2）去掉绝对值，将表示成分段函数，分段讨论方程根的情况，可判断两根一个在，一个在，根据根的分布，求的取值范围；分别解出两根，并化简，根据函数的单调性，进行求证即可

【详解】（1）当时，，

当时，

方程化为，解得，

因为，舍去，所以；

（2），

因为方程在上至多有1个实根，

方程，在，上至多有一个实根，

结合已知，可得方程在上的两个解，中的1个在，

1个在，不妨设，，，设，

数形结合可分析出，解得，

，，，，

令，，在上递增，当时，，

因为，

所以；

22．对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”．

（1）若函数是“型函数”，且，求出满足条件的实数对；

（2）已知函数．函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，．若对任意时，都存在，使得，试求的取值范围．

【答案】（1）； （2）.

【分析】（1）利用定义，直接判断求解即可．

（2）由题意得，g（1+x）g（1﹣x）＝4，所以当时,，其中, 所以只需使当时，恒成立即可，即在上恒成立，若，显然不等式在上成立，若，分离参数m，分别求得不等式右边的函数的最值，取交集即可得到m的范围.

【详解】（1）由题意，若是“(a,b)型函数”，则,即,

代入得 ，所求实数对为．

（2）由题意得：的值域是值域的子集，易知在的值域为，

只需使当时，恒成立即可，,即，

而当时,, 故由题意可得，要使当时,都有，

只需使当时，恒成立即可，

即在上恒成立，

若，显然不等式在上成立，

若，则可将不等式转化为，

因此只需上述不等式组在上恒成立，显然，当时，不等式（1）成立，

令 在上单调递增，∴，

故要使不等式（2）恒成立，只需即可，综上所述,所求的取值范围是.

【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，新定义的应用，抽象函数以及分类讨论思想的转化思想的应用,属于难题．