北师大版八年级上册第七章 平行线的证明综合与测试当堂检测题

这是一份北师大版八年级上册第七章 平行线的证明综合与测试当堂检测题，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北师大版八年级上册第七章
平行线的证明
一、单选题
1.（2019八上·江岸月考）如图是两个全等三角形，则∠1的度数为(    )

A. 62°                                       B. 72°                                       C. 76°                                     D. 66°
2.（2019七下·钦州期末）如图，点E在AB的延长线上，下列条件能判断AD∥BC的是（    ）

A. ∠A+∠ADC＝180°                   B. ∠3＝∠4                      C. ∠1＝∠2                 D. ∠C＝∠CBE
3.（2020七上·山东月考）如图，在△ABC.AB=AC，∠C=70°， △AB′C′ 与△ABC关于直线EF对称．∠CAF=15°．连接 BB′ ，则 ∠ABB′ 的度数是（    ）

A. 45°                                       B. 40°                                       C. 35°                                     D. 30°
4.（2019七下·宝应月考）如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠A=50°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC= (     )

A. 115°                                    B. 125°                                    C. 130°                                    D. 140°
5.（2019七上·盐津期中）观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，解答下列问题：3+32+33+34…+32017的末位数字是（   ）
A. 0                                           B. 1                                           C. 3                                          D. 7
6.（2021八上·安庆开学考）如图，AB // CD，∠ABE＝ 12 ∠EBF，∠DCE＝ 13 ∠ECF，设∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，则α，β，γ的数量关系是（  ）

A. 4β﹣α+γ＝360°         B. 3β﹣α+γ＝360°          C. 4β﹣α﹣γ＝360°          D. 3β﹣2α﹣γ＝360°
7.（2020七上·门头沟期末）如图所示，在这个数据运算程序中，如果开始输入的x的值为10，那么第1次输出的结果是5，返回进行第二次运算，那么第2次输出的结果是16，……以此类推，第204次输出的结果是（  ）

A. 1                                           B. 2                                           C. 4                                        D. 5
8.（2020七上·资中期中）将正偶数按下表排成5列：

1列
2列
3列
4列
5列
1行

2
4
6
8
2行
16
14
12
10

3行

18
20
22
24
…

…
28
26

根据上面排列规律，则2016应在（　　）
A. 第251行，第1列              B. 第251行，第2列           
C. 第252行，第1列             D. 第252行，第2列
9.一组按规律排列的多项式：a+b,a²-b²，a³+b5,a4-b7,……其中第10个式子是（ ）
A. a10+b10                                B.a10-b19                                  C.a10-b17                              D. a10-b21 
二、填空题
10.（2021·孝感模拟）如图，直线a，b被直线c所截，且 ∠1=67° ，若要使直线 a//b ，则 ∠2 的度数是      .

11.（2020九上·梅州期末）已知：如图，在 △ABC 中，点 D 在边 BC 上， AB=AD=DC,∠C=35° ，则 ∠BAD=       度．

12.（2019八上·孝南月考）如图， AD是 △ABC 的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且 DE=DF ，连结BF，CE.下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE.其中正确的有________(填上正确的序号)

13.（2019八上·新疆期末）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=124°，AD是BC边上的中线，且BD=BE，则∠ADE是________度.

14.（2020七上·蜀山期末）学校举办图画展览，需要依次把图画作品横着钉成一排（如图），图中黑色实心圆点表示图钉．照这样，钉20张图画需要图钉      颗

15.（2020七下·余杭期末）观察下列等式：2+22=23-2，2+22+23=24-2，2+22+23+24=25-2，…，若250=m，则2100+2101+2102+…+2200=________.（用含m的代数式表示）
16.（2020七上·怀仁期末）在同一平面内，两条直线相交时最多有1个交点，三条直线相交时最多有3个交点，四条直线相交时最多有6个交点，…，那么十条直线相交时最多有________个交点．
17.（2020八上·自贡期末）有一数值转换器，原理如图所示，如果开始输入 x 的值为1，则第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是5，那么2021次输出的结果是 ________ .

三、解答题
18.如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠DAC、∠BOA的度数．

19.（2019七下·宁江期末）已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠E，求证：∠A=∠CBE．

20.（2019七下·长春期末）如图：点 B 、 F 、 C 、 E 在一条直线上， FB=CE 、 AB//ED ， AB=DE ，

求证： AC=DF ．
21.（2020七下·滨州期中）问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG=90°，∠EGF=60°）”为主题开展数学活动．



（1）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；
（2）结论应用
如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG=α，则∠CFG等于________（用含α的式子表示）．


22.毕达哥拉斯学派对”数”与”形”的巧妙结合作了如下研究：

名称及图形
几何点数
层数
三角形数
正方形数
五边形数
六边形数




第一层几何点数
1
1
1
1
第二层几何点数
2
3
4
5
第三层几何点数
3
5
7
9
…
…
…
…
…
第六层几何点数
　



…
…
…
…
…
第n层几何点数




​
求第六层各个图形的几何点数，并归纳出第n层各个图形的几何点数．
23.（2019七上·泰州期末）已知：如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM，CE⊥CD．

（1）若∠O=50°，求∠BCD的度数；
（2）求证：CE平分∠OCA；
（3）当∠O为多少度时，CA分∠OCD成1：2两部分，并说明理由．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【考点】三角形内角和定理，三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：根据三角形内角和可得 ∠2=180°−42°−62°=76°，

因为两个三角形全等，
所以 ∠1=∠2=76°，
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和定理计算出∠2的度数，然后再根据全等三角形的对应角相等可得∠1=∠2.
2.【答案】 C
【考点】平行线的判定
【解析】【解答】解；A、∠A+∠ADC＝180° ，得AB∥DC，不符合题意；
B、 ∠3＝∠4 ，得AB∥DC，不符合题意；
C、∠1=∠2，得AD∥BC，符合题意；
D、 ∠C＝∠CBE ，得AB∥DC，不符合题意；
故答案为：C.

【分析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定定理，即同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行。
3.【答案】 C
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接BB′

∵△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，
∴△BAC≌△B′AC′，
∵AB＝AC，∠C＝70°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝∠B′AC′＝40°，
∵∠CAF＝15°，
∴∠C′AF＝15°，
∴∠BAB′＝40°＋15°＋15°＋40°＝110°，
∴∠ABB′＝∠AB′B＝35°．
故答案为：C．
【分析】利用轴对称图形的性质得出△BAC≌△B′AC′，进而结合等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出答案．
4.【答案】 A
【考点】三角形内角和定理
【解析】【解答】∵∠A=50°，∴∠ACB+∠ABC=180°﹣50°=130°.
又∵∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∴∠PBA=∠PCB，∴∠1+∠ABP=∠PCB+∠2=130° ×12= 65°，∴∠BPC=180°﹣65°=115°.
故答案为：A.
【分析】根据∠A=50°的条件，求出∠ACB+∠ABC的度数，再根据∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，求出∠PBA=∠PCB，于是可求出∠1+∠ABP=∠PCB+∠2，然后根据三角形的内角和定理求出∠BPC的度数.
5.【答案】 C
【考点】探索数与式的规律，有理数的乘方
【解析】【解答】解：∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，
∴末位数，每4个一循环.
∵2017÷4=504…1，∴3+32+33+34…+32017的末位数字相当于：（3+9+7+1）×504+3=10083，末位数为3.
故答案为：C.
【分析】根据数字规律得出3+32+33+34…+32017的末位数字相当于：3+9+7+1+…+3进而得出末位数字.
6.【答案】 A
【考点】角的运算，平行线的性质
【解析】【解答】解：过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，

∵∠ABE＝ 12 ∠EBF，∠DCE＝ 13 ∠ECF，∠ABE＝α，
∴∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，
∴∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，
∴∠ABE+∠ECD＝∠BEN+∠CEN＝∠BEC，∠ABF+∠BFQ+∠CFQ+∠DCF＝180°+180°＝360°，
即α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，
∴∠ECD＝β﹣α，
∴3α+γ+4（β﹣α）＝360°，
即4β﹣α+γ＝360°，
故答案为：A．

【分析】过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，根据已知条件得出∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，求出AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，根据平行线的性质得出∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，求出α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，再求出答案即可。
7.【答案】 A
【考点】有理数的加减乘除混合运算，代数式求值，探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由数据运算程序得，如果开始输入的x的值为10，那么：
第1次输出的结果是5
第2次输出的结果是16
第3次输出的结果是8
第4次输出的结果是4
第5次输出的结果是2
第6次输出的结果是1
第7次输出的结果是4
……
综上可得，从第4次开始，每三个一循环
由 (204−3)÷3=67 可得第204次输出的结果与第6次输出的结果相等
故答案为：A
【分析】先找出规律：从第4次开始，每三个一循环，进行计算求解即可。
8.【答案】 C
【考点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由表格可得，每行都有4个偶数，奇数行按照从小到大排列，空着第一列，偶数行按照从大到小排列，空着第5列，
∵2016÷2÷4＝1008÷4＝252，
∴2016是第252行最后一个数字，
∴2016应在第252行第1列，
故答案为：C.
【分析】由表格可得，每行都有4个偶数，奇数行按照从小到大排列，空着第一列，偶数行按照从大到小排列，空着第5列，由2016÷2÷4＝1008÷4＝252，可得2016是第252行最后一个数字，从而判断2016的位置.
9.【答案】 B
【考点】探索数与式的规律
二、填空题
10.【答案】 113°
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，过A点作 a′//b .

∵ ∠3=∠1 时， a′//b ，
∵ ∠1=67° ，
∴ ∠3=67° ，
∴ ∠2=180°−∠3=113° .
故答案为： 113° .
【分析】过A点作 a′//b ， 由两直线平行同位角相等可得∠3=∠1，再根据邻补角可求解.
11.【答案】 40
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ AD=DC,∠C=35° ，
∴ ∠CAD=∠C=35° ，
∴ ∠BDA=∠C+∠CAD=70° ，
∵ AB=AD ，
∴ ∠B=∠BDA=70° ，
∴ ∠BAD=180°−∠B−∠BDA=40° ，
故答案为：40．
【分析】先求出∠CAD=∠C=35° ，再求出∠B=∠BDA=70° ，最后计算求解即可。
12.【答案】 ①②③④
【考点】平行线的判定，三角形的角平分线、中线和高，全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△BDF和△CDE中，
{BD＝CD∠BDF＝∠CDEDE＝DF ，
∴△BDF≌△CDE（SAS），故④正确
∴CE=BF，∠F=∠CED，故①正确，
∴BF∥CE，故③正确，
∵BD=CD，点A到BD、CD的距离相等，
∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确，
综上所述，正确的是①②③④.
故答案为：①②③④.
【分析】根据三角形的中线，可得BD=CD，由等底等高可得△ABD和△ACD面积相等，据此哦按的②；根据SAS可证△BDF≌△CDE，利用全等三角形的性质可得CE=BF，∠F=∠CED，利用内错角相等，两直线平行，可得BF∥CE，据此判断①③④.
13.【答案】 15
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质
【解析】【解答】 ∵ AB=AC，∠BAC=120°, ∴ ∠B=∠C=30°, ∵ BD=BE,
∴ ∠BDE= 180°−30°2=75° ，
∵ AD是BC边上的中线，, ∴ ∠ADB=90°， ∴ ∠ADE=15°.

【分析】根据等边对等角可求出∠B=∠C=30°,利用三角形内角和定理求出∠BDE的度数，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠ADB=90°，利用角的和差关系求出∠ADE的度数.
14.【答案】 42
【考点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：探究规律：
1张画需要图钉：4个；
2张画需要图钉： 4+2×1=6 （个）；
3 张画需要图钉： 4+2×2=8 （个）；
 ……
发现并总结规律：
n张画需要图钉： 4+2(n−1)=(2n+2) 个；
运用规律：
当 n=20 时， 2n+2=2×20+2=42 （个）；
故答案为： 42 ．

【分析】根据图形，1张画需要图钉4个；2张画需要图钉： 4+2×1=6 （个）；3 张画需要图钉： 4+2×2=8 （个）；可得n张画需要图钉： 4+2(n−1)=(2n+2) 个，在运用规律解答即可。做规律题时，要观察规律中变化的部分和不变的部分
15.【答案】 m2（2m2-1）
【考点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵250=m，
∴2100+2101+2102+…+2200
=2100（1+2+22+…+299+2100）
=2100（1+2101-2）
=（250）2[（250）2×2-1）]
=m2（2m2-1）.
故答案为：m2（2m2-1）.
【分析】由题意可得2100+2101+2102+…+2200+240=2100（1+2+22+…+299+2100）=2100（1+2101-2）=（250）2[（250）2×2-1）]，再将250=m代入即可求解.
16.【答案】 45
【考点】探索数与式的规律，相交线
【解析】【解答】在同一平面内，两条直线相交时最多有1个交点，三条直线最多有3＝1+2个交点，四条直线最多有6＝1+2+3个交点，…，n条直线最多有1+2+3+4+…+（n﹣1）个交点，即1+2+3+4+…+（n﹣1）＝ n(n−1)2 ．
当n＝10时， 10×(10−1)2 = 902 ＝45.
故答案为：45.
【分析】在同一平面内，直线相交时得到最多交点的方法是：每增加一条直线这条直线都要与之前的所有直线相交，即第n条直线时交点最多有1+2+3+4+…+（n-1）个，整理即可得到一般规律： n(n−1)2 ，再把特殊值n=10代入即可求解．
17.【答案】 10
【考点】探索数与式的规律
【解析】【解答】当输入1时，第一次输出1+3=4，
当输入4时，第二次输出 12 ×4+3=5，
当输入5时，第三次输出5+3=8，
当输入8时，第四次输出 12 ×8+3=7，
当输入7时，第五次输出7+3=10，
当输入10时，第六次输出 12 ×10+3=8，
当输入8时，第七次输出 12 ×8+3=7…
通过观察不难发现从第三次开始，输入三次一个循环．
∵（2021-2）÷3=673，
∴第2021次输出的结果为：10．
故答案为：10．
【分析】首先由数值转换器，发现第三次输出的结果是8为偶数，所以第四次输出的结果为7，第五次为10，第六次为8，第七次为7，…，可得出规律从第三次开始每三次一个循环，根据此规律求出第2021次输出的结果．
三、解答题
18.【答案】 解：∵AD⊥BC
∴∠ADC=90°
∵∠C=70°
∴∠DAC=180°﹣90°﹣70°=20°；
∵∠BAC=50°，∠C=70°
∴∠BAO=25°，∠ABC=60°
∵BF是∠ABC的角平分线
∴∠ABO=30°
∴∠BOA=180°﹣∠BAO﹣∠ABO=180°﹣25°﹣30°=125°．
【考点】三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出 ∠DAC=180°﹣90°﹣70°=20°； 根据角平分线定义得出  ∠BAO=25°， ∠ABO=30°  利用三角形内角和定理得出 ∠BOA=180°﹣∠BAO﹣∠ABO=180°﹣25°﹣30°=125°．
19.【答案】 证明：∵∠1=∠2，
∴BD∥CE，
∴∠4=∠E，
∵∠3=∠E，
∴∠4=∠3，
∴AD∥BE，
∴∠A=∠CBE．
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由∠1=∠2，利用平行线的判定定理可得BD∥CE，由平行线的性质定理可得∠4=∠E，等量代换可得∠3=∠4，利用平行线的判定定理可得AD∥BE，易得结论.
20.【答案】 证明： ∵FB=CE
∴FB+CF=CE+CF ，即 BC=EF
∵AB//ED
∴∠B=∠E
在 △ABC 和 △DEF 中， {BC=EF∠B=∠EAB=DE
∴△ABC≅△DEF(SAS)
∴AC=DF ．
【考点】平行线的性质，全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】先根据线段的和差得出 BC=EF ，再根据平行线的性质得出 ∠B=∠E ，最后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．
21.【答案】 （1）如图2，∵AB∥CD， ∴∠AEG+∠CGE=180°，
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC=180°， 又∵∠FEG+∠EGF=90°，∴∠AEF+∠GFC=90°；

（2）如图3，∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE=180°， 即∠AEG+∠FEG+∠EFG+∠GFC=180°， 又∵∠GFE=90°，∠GEF=30°，∠AEG=α， ∴∠GFC=180°-90°-30°-α=60°
【考点】平行线的性质
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质，可计算角的度数，得到结论。
（2）根据平行线的性质，可通过换算角的度数，得出结论。
22.【答案】 解：∵前三层三角形的几何点数分别是1、2、3，

∴第六层的几何点数是6，第n层的几何点数是n；
∵前三层正方形的几何点数分别是：1=2×1﹣1、3=2×2﹣1、5=2×3﹣1，
∴第六层的几何点数是：2×6﹣1=11，第n层的几何点数是2n﹣1；
∵前三层五边形的几何点数分别是：1=3×1﹣2、2=3×2﹣2、3=3×3﹣2，
∴第六层的几何点数是：3×6﹣2=16，第n层的几何点数是3n﹣2；
前三层六边形的几何点数分别是：1=4×1﹣3、5=4×2﹣3、9=4×3﹣3，
∴第六层的几何点数是：4×6﹣3=21，第n层的几何点数是4n﹣3．
名称及图形
几何点数
层数
三角形数
正方形数
五边形数
六边形数



​
第一层几何点数
1
1
1
1
第二层几何点数
2
3
4
5
第三层几何点数
3
5
7
9
…
…
…
…
…
第六层几何点数
6
11
16
21
…
…
…
…
…
第n层几何点数
n
2n﹣1
3n﹣2
4n﹣3

【考点】探索数与式的规律，探索图形规律
【解析】【分析】每个图形依次根据给出的前三个几何点数规律，推出第n层对应的代数式即可．

23.【答案】 （1）解：∵AB∥ON，
∴∠O=∠MCB（两直线平行，同位角相等）.
∵∠O=50°，
∴∠MCB=50°.
∵∠ACM＋∠MCB=180°（平角定义），
∴∠ACM=180°－50°=130°.
又∵CD平分∠ACM，
∴∠DCM=65°（角平分线定义），
∴∠BCD=∠DCM＋∠MCB=65°＋50°=115°

（2）证明：∵CE⊥CD，
∴∠DCE=90°，
∴∠ACE＋∠DCA=90°..
又∵∠MCO=180°（平角定义），
∴∠ECO＋∠DCM=90°，
∵∠DCA =∠DCM，
∴∠ACE=∠ECO（等角的余角相等），
即CE平分∠OCA

（3）解：①当∠OCA： ∠ACD=1：2时，
设∠OCD=x°, ∠ACD=2x°,由题意得
x+2x+2x=180,
∴x=36,
∴∠O=∠OCA=x=36°；
②当∠ACD：∠OCA =1：2时，
设∠ACD =x°, ∠OCA =2x°,由题意得
x+x+2x=180,
∴x=45,
∴∠O=∠OCA=2x=2×45°=90°；
∴当∠O=36°或90°时，CA分∠OCD成1：2两部分
【考点】垂线，平行线的性质，一元一次方程的实际应用-几何问题，角平分线的定义
【解析】【分析】本题要应用平行线的性质，垂直的定义，角平分线的定义，一元一次方程的几何应用以及分类讨论的解题思路，涉及多个知识点，综合性较强，注意结合图形综合分析，找出解题思路。