数学第二章 实数综合与测试同步训练题

这是一份数学第二章 实数综合与测试同步训练题，共1页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1.（2020八下·扬州期中）(− 3)2 的结果是（ ）
A. 9 B. 3 C. -3 D. ±3
2.（2019八上·宝鸡月考）和数轴上的点成一一对应关系的数是（ ）
A. 自然数 B. 有理数 C. 无理数 D. 实数
3.（2020八上·宽城期末）如图．从一个大正方形中裁去面积为8m2和18cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为（ ）
A. 52 cm2 B. 12 cm2 C. 8 cm2 D. 24 cm2
4.（2020八下·奉化期末）下列计算正确的是（ ）
A. (−3)2=−3 B. (23)2=6 C. 2+5=7 D. 2×5=10
5.（2019八上·绥化月考）若 a2 =3，则 a 的值是( )
A. 3或 -3 B. 3 C. – 3 D. 9
6.（2020八上·肇东期中）下列计算正确的是（ ）
A. 8 - 5 ＝ 3 B. 9 ÷ 3 ＝ 3
C. 3 3 +2 3 ＝5 D. (−2)×−3 ＝ −2 × −3
7.（2020八上·深圳期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： 2+32−3=(2+3)(2+3)(2−3)(2+3)=7+43 ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 3+5−3−5 ，设x= 3+5−3−5 ，易知 3+5 > 3−5 ，故x>0，由x2= (3+5−3−5)2 = 3+5+3−5−2(3+5)(3−5) =2，解得x= 2 ，即 3+5−3−5=2 。根据以上方法，化简 3−23+2+6−33−6+33 后的结果为（ ）
A. 5+3 6 B. 5+ 6 C. 5- 6 D. 5-3 6
8.（2021七下·厦门期末）若m＝5n（m、n是正整数），且 10A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
9.（2020九下·德州期中）已知 max{x ， x2 ， x} 表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当 x=9 ， max{x ， x2 ， x} = max{9 ， 92 ， 9} =81﹒当 max{x ， x2 ， x} = 116 时，则 x 的值为（ ）
A. 1512 B. 1256 C. 164 D. 116
10.（2020七上·镇海期中）数轴上A，B，C三点所代表的数分别是a、b、2，且 |a−2|−|2−b|=|a−b| .下列四个选项中，有（ ）个能表示A，B，C三点在数轴上的位置关系.
① ② ③ ④
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
11.（2019八下·绍兴期中）当a＝－3时， 6−a ＝________．
12.（2021八上·滕州月考）设x、y为实数，且y＝4+ 5−x + x−5 ，则x﹣y的值是 ．
13.（2020八上·长清月考）如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是________．
14.（2019八下·台安期中）计算： 27−8⋅23 =________.
15.（2020七上·兴化月考）如图，半径为 12 的圆周上有一点A落在数轴上－2点处，现将圆在数轴上向右滚动一周后点A所处的位置在连续整数a、b之间，则a＋b＝________.
16.（2019七上·武安期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴(如图所示)，
（1）操作一：
折叠纸面，使表示的点1与−1表示的点重合，则−2表示的点与________表示的点重合；
（2）操作二：
折叠纸面，使−1表示的点与3表示的点重合，那么5表示的点与________表示的点重合，此时若数轴上A、B两点之间距离为9，(A在B的左侧)，且A、B两点经折叠后重合，那么A、B两点表示的数分别是________、________；
（3）操作三：
已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，那么a的值是________．
17.（2021八下·宜州期中）已知， y=(x−3)2+4−x ，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是 .
18.（2020七上·景德镇期中）化简 14−83 ＝________
三、解答题
19.把下列各数分别填在相应的集合内：
−12 ，0，0.16， 312 ，0.15， 3 ， −235 ， π3 ， 16 ， 3−8 ，-8，3.141 5926，0.010 010 001……
有理数：{ }；
无理数：{ }．
20.（2019八上·靖远月考）已知 2a−1 的平方根是 ±3 ， 3a+b−9 的立方根是2， c 是 57 的整数部分，求 a+2b+c 的值..
21.若a+ a−3=3，求 a+13的算术平方根．
22.（2020八上·常熟月考）已知2a－1的算术平方根为3，3a+b－1的算术平方根为4，求a+2b的平方根.
23.（2019八上·雁塔月考）已知 △ABC 的三边长为 a ， b ， c ，化简 (a+b+c)2+(a−b−c)2−(c−a−b)2 .
24.（2020八上·盐湖期末）阅读理解
“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法： 2+32−3=(2+3)(2+3)(2−3)(2+3)=7+43 ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 3+55−3−55
设 x=3+55−3−55 ，
易知 3+55>3−55
故 x>0 ，由 x2=(3+55−3−55)2
=3+5+3−5−2(3+55)(3−55)
=2
解得 x=2 ，即 3+55−3−55=2 ．
根据以上方法，化简 3−23+2+6−33−6+33
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：： (−3)2=−3=3 .
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质化简即可.
2.【答案】 D
【考点】实数在数轴上的表示
【解析】【解答】数轴上得点不光表示有理数，还表示所有的无理数，即实数与数轴上得点是一一对应的.
故答案为：D.

【分析】实数与数轴上的点是一一对应的，据此作出判断即可.
3.【答案】 D
【考点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵两个小正方形面积为8cm2和18cm2 ，
∴大正方形边长为： 8+18=22+32=52 ，
∴大正方形面积为（5 2 ）2=50，
∴留下的阴影部分面积和为：50-8-18=24（cm2）
故答案为：D ．
【分析】根据题意求出大正方形边长为： 8+18=22+32=52 ，再根据面积公式求解即可。
4.【答案】 D
【考点】二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法，二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A. (−3)2 ＝|﹣3|＝3，此选项计算错误；
B. (23)2 ＝12，此选项计算错误；
C. 2 与 5 不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
D. 2×5=2×5=10 ，此选项计算正确；
故答案为：D.
【分析】利用二次根式的性质：a2=a ， 可对A作出判断；利用二次根式的乘法法则进行计算，可对B，D作出判断；只有同类二次根式才能合并，可对C作出判断。
5.【答案】 A
【考点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】∵ a2= 3，∴a2=9，∴a=3或﹣3．
故答案为：A．
【分析】根据二次根式的性质可得a2=9，求出a值即可.
6.【答案】 B
【考点】二次根式的乘除法，二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A． 8 与 5 ，不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
B． 9÷3=3 ，符合题意；
C． 33+23=53 ，故不符合题意；
D． (−2)×(−3)=2×3 ，故不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的加减法则、二次根式的乘除法则分别进行计算，然后判断即可.
7.【答案】 D
【考点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】设x=6−33−6+33,易知6−33＜6+33 ， 故x＜0，由x2=6−33−6+332=6−33+6+33−2（6−33）（6+33）=6 ， 解得x=−6.6−33−6+33=−6.3−23+2=（3−2）2（3+2）（3−2）=5−26 ， 3−23+2+6−33−6+33=5−26−6=5−36
故答案为：D

【分析】将6−33−6+33利用平方再开方的方式化简，3−23+2进行分母有理化，最后用二次根式运算法则即可求出答案。
8.【答案】 B
【考点】估算无理数的大小
【解析】【解答】解： ∵ 10∴100∴20即 20又 ∵m 、 n 是正整数，
∴n 的最大值为28，
∵25 比36更接近28，
∴ n 的值比较接近 25 ，即比较接近5.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件，可得到m的取值范围，利用m=5n，可求出n的取值范围，然后利用估算无理数的大小，可得答案.
9.【答案】 B
【考点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：当 max{x ， x2 ， x} = 116 时，
若 x=116 ，解得：x= 1256 ，此时 x2若 x2=116 ，解得：x= 14 ，此时 x2若x= 116 ，此时 x2综上，x= 1256 ，
故答案为：B.
【分析】直接利用已知分别分析得出正确的答案．
10.【答案】 B
【考点】实数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：①由数轴可知，a＜b＜2，
∴a-2＜0,2-b＞0，a-b＜0，
∴|a-2|-|2-b|=-（a-2）-（2-b）=-a+2-2+b=b-a，
|a-b|=-（a-b）=b-a，
∴|a-2|-|2-b|=|a-b|，
故①可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
②由数轴可知：2＜b＜a，
∴a-2＞0，2-b＜0，a-b＞0，
∴|a-2|-|2-b|=a-2+2-b=a-b，
|a-b|=a-b，
∴|a-2|-|2-b|=|a-b|，
故②可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
③a＜2＜b，
∴a-2＜0，2-b＜0，a-b＜0，
∴|a-2|-|2-b|=-（a-2）+（2-b）=-a+2+2-b=4-b-a，
|a-b|=-（a-b）=b-a，
∴|a-2|-|2-b|≠|a-b|，
故③不可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
④2＜a＜b，
∴a-2＞0，2-b＜0，a-b＜0，
∴|a-2|-|2-b|=a-2+（2-b）=a-2+2-b=a-b，
|a-b|=-（a-b）=b-a，
∴|a-2|-|2-b|≠|a-b|，
故④可以表示A、B、C三点在数轴上的位置关系；
故答案为：B.
【分析】根据数轴上各数的位置得出各数的大小关系，从而得出绝对值里面代数式的符号，去绝对值，化简即可得出答案.
二、填空题
11.【答案】 3
【考点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当a＝－3时， 6−a=6+3=9 =3．
故答案为：3．
【分析】把a＝－3代入二次根式进行化简即可求解．
12.【答案】 1
【考点】代数式求值，二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得 5−x⩾0 且 x−5⩾0 ，
∴x=5 ，
当 x=5 时， y=4 ，
∴x−y=5−4=1 ．
故答案为1．
【分析】先求出5−x⩾0 且 x−5⩾0 ，再求出x=5，最后计算求解即可。
13.【答案】 −2
【考点】实数在数轴上的表示，勾股定理
【解析】【解答】∵正方形ODBC中，OC=1，∴根据正方形的性质，BC=OC=1，∠BCO=90°．
∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB= 12+12=2 ．
∴OA=OB= 2 ．
∵点A在数轴上原点的左边，∴点A表示的数是 −2 ．
【分析】在直角三角形中根据勾股定理求得OB的值，即OA的值，进而求出数轴上点A表示的数即可。
14.【答案】 533
【考点】分母有理化，二次根式的混合运算
【解析】【解答】原式=3 3 - 433 = 533 .
【分析】先把各二次根式起先化简，然后再合并同类二次根式即可.
15.【答案】 3
【考点】实数在数轴上的表示，估算无理数的大小
【解析】【解答】解：∵圆的半径为 12 ，
∴圆的周长=π，
∵3＜π＜4，
∴-2+3＜-2+π＜-2+4，即1＜π-2＜2，
∴向右滚动一周后点A所处的位置在1与2之间，即a=1，b=2，
∴a+b=1+2=3.
故答案为：3.
【分析】先求出圆的周长，再估算出周长的值,进而根据不等式的性质即可得出结论.
16.【答案】 （1）2
（2）-3；-3.5；5.5
（3）±2
【考点】实数在数轴上的表示，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵折叠纸面，点1和点-1表示的点重合
∴折痕点为0
∴-2表示的点与2表示的点重合；（2）∵-1表示的点与3表示的点重合
∴折痕点为1
∴5表示的点与-3表示的点重合
∵AB之间的距离为9
∴AB两点与中心点的距离为9÷2=4.5
∴点A表示的点为-3.5，点B表示的点为5.5；（3）①若点A往左移动4个单位长度
则可得：a-4+a=0
解得：a=2
②若点A往右移动4个单位长度
则可得：a+4+a=0
解得：a=-2
综上所述a=±2
【分析】（1）先求出折痕点，再根据到折痕点的距离相等计算即可得出答案；（2）先求出折痕点，再根据到折痕点的距离相等计算即可答案；先求出点A和点B到折痕点的距离，再根据距离公式计算即可得出答案；（3）分两种情况进行讨论：①往左移动，②往右移动，再利用相反数的性质计算即可得出答案.
17.【答案】 2027
【考点】二次根式的性质与化简，绝对值的非负性
【解析】【解答】解：由二次函数的性质，则
y=(x−3)2+4−x=|x−3|+4−x ，
当 x≤3 时， y=−(x−3)+4−x=−2x+7 ；
当 x>3 时， y=(x−3)+4−x=1 ；
∴对应的y值的总和是：
5+3+1+⋯+1
= 8+1×2019
= 2027 ；
故答案为：2027.
【分析】首先对解析式化简可得y=|x-3|+4-x，然后分x≤3，x>3去掉绝对值，据此计算即可.
18.【答案】 22−6
【考点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： 14−83
= 6+8−2×6×8
= (6)2+(8)2−2×6×8
= (6−22)2
= 22−6
故答案为： 22−6 ．

【分析】本题的关键在于将被开方数转化成完全平方数，再利用二次根式的性质求解即可。
三、解答题
19.【答案】 解：{ −12 ，0，0.16， 312 ，0.15， 16 ， 3−8 ，-8，3.141 592 6}；
无理数：{ 3 ， −235 ， π3 ，0.010 010 001……}
【考点】实数及其分类，有理数及其分类，无理数的认识
【解析】【分析】有理数分为整数和分式，而整数又分为正整数、0、负整数，分数又分为正分数、负分数.
无理数常见三种形式如下：①开方开不尽的数；②与π有关的式子；③无限不循环小数.
20.【答案】 解：∵2a-1的平方根是±3，
∴2a-1=9，
解得：a=5，
∵3a+b-9的立方根是2，
∴15+b-9=8，
解得：b=2，
∵c是 57 的整数部分，
∴c=7，
则a+2b+c=5+4+7=16.
【考点】平方根，立方根及开立方，估算无理数的大小
【解析】【分析】直接利用平方根以及立方根和估算无理数的大小得出a，b，c的值进而得出答案.
21.【答案】 解：由a+ a−3 =3，得 a−3 =3-a，
∴a-3≥0且3-a≥0，
∴a=3，
∴ a+13 = 16 =4，
∴ a+13 的算术平方根为 4 =2．
【考点】算术平方根，二次根式有意义的条件
【解析】【分析】将a+ a -3=3变为a−3 =3-a， 利用算术平方根的非负性推出a值， 代入原式求值，再求其算术平方根即可.
22.【答案】 解：由题意得2a-1=9，3a+b-1=16，
解得：a=5，b=2，
则a+2b=9，
∴a+2b的平方根是 ±3 .
【考点】平方根，算术平方根
【解析】【分析】利用平方根及算术平方根的定义列出方程，得到a与b的值，确定出a+2b的值，即可求出平方根.
23.【答案】 解: (a+b+c)2+(a−b−c)2−(c−a−b)2 ,
原式= |a+b+c|+|a−b−c|−|c−a−b| ,
因为a,b,c是三角形的三条边,
所以 a+b+c>0,a−b−c<0,c−a−b<0,
所以 |a+b+c|=a+b+c, |a−b−c|=−a+b+c, |c−a−b|=−c+a+b ,
所以 |a+b+c|+|a−b−c|−|c−a−b|=a+b+c+(−a+b+c)−(−c+a+b) ,
= a+b+c−a+b+c+c−a−b ,
= −a+b+3c .
【考点】二次根式的性质与化简，三角形三边关系
【解析】【分析】先根据二次根式的性质将二次根式进行化简,然后根据三角形三边关系判断绝对值里代数式的正负性质,最后根据绝对值的性质化简.
24.【答案】 解：设 x=6−33−6+33 ，易知 6+33>6−33
∴ x<0
∴ x2=6−33−2(6−33)(6+33)+6+33
∴ x2=12−2×3=6
∴ x=−6
∵ 3−23+2=(3−2)23−2=5−26
∴原式 =5−26−6=5−36
【考点】分母有理化，二次根式的混合运算，定义新运算
【解析】【分析】参照题干中的计算方法， 设 x=6−33−6+33 ， 易知 6+33>6−33 ，再代入计算即可。