新教材数学苏教版必修第一册第7章 7.3 7.3.1　三角函数的周期性 课件

7.3　三角函数的图象和性质

7.3.1　三角函数的周期性

观察下列图象，这些图象具有怎样的共同规律？

知识点1　周期函数的定义

(1)设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在一个非零的常数T，使得对于任意的x∈A，都有x＋T∈A，并且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期．

(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期．(今后不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期)

(3)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π．

1．单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由．

[提示]　由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x)＝sin x．故正弦函数、余弦函数也具有周期性．

2．所有的周期函数都有最小正周期吗？

[提示]　并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x)＝C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)周期函数都一定有最小正周期． (　　)

(2)周期函数的周期只有唯一一个． (　　)

(3)周期函数的周期可以有无数多个． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

知识点2　正弦函数、余弦函数、正切函数的周期

一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝．函数y＝Atan(ωx＋φ) (其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期为．

3.6π是函数y＝sin x(x∈R)的一个周期吗？

[提示]　是．

2．函数y＝sin的周期是________．

2　[T＝＝2．]

类型1　求三角函数的周期

【例1】　求下列函数的最小正周期．

(1)f(x)＝2sin；

(2)f(x)＝2tan；

(3)y＝|sin x|；

(4)f(x)＝－2cos(a≠0)．

[解]　(1)T＝＝6π，∴最小正周期为6π．

(2)T＝＝，∴最小正周期为．

(3)由y＝sin x的周期为2π，可猜想y＝|sin x|的周期应为π．

验证：∵|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|，

∴由周期函数的定义知y＝|sin x|的最小正周期是π．

(4)T＝＝，∴最小正周期为．

利用公式求y＝Asinωx＋φ或y＝Acosωx＋φ的最小正周期时，要注意ω的正负，公式可记为T＝.

1．求下列函数的最小正周期．

(1)f(x)＝－2cos；

(2)f(x)＝tan；

(3)f(x)＝|cos x|；

(4)f(x)＝3sin．

[解]　(1)T＝＝，∴函数最小正周期为．

(2)T＝，∴函数y＝tan的最小正周期为．

(3)T＝π，∴y＝|cos x|的最小正周期为π．

(4)T＝＝8π，∴y＝3sin的最小正周期为8π．

类型2　周期性的应用

【例2】　定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f 的值．

[解]　∵f(x)的最小正周期是π，

∴f ＝f ＝f ．

又∵f(x)是R上的偶函数，

∴f ＝f ＝sin＝，

∴f ＝．

[母题探究]

1．(变条件)将本例中的条件“偶函数”改为“奇函数”，其余不变，求f 的值．

[解]　∵f(x)的最小正周期为π，

∴f ＝f ＝f ，

∵f(x)是R上的奇函数，

∴f ＝－f ＝－sin ＝－，

∴f ＝－．

2．(变结论)本例条件不变，求f 的值．

[解]　∵f(x)的最小正周期为π，

∴f ＝f ＝f ，

∵f(x)是R上的偶函数，

∴f ＝f ＝sin ＝．

∴f ＝．

函数的周期性与其它性质相结合是一类热点问题，一般在条件中，周期性起到变量值转化作用，也就是将所求函数值转化为已知求解.

2．若函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(3)＝6，则f(1)＋f(6)＝________．

－6　[因为函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝6，则f(1)＝－6．

因为函数f(x)是以4为周期的奇函数，

所以f(2)＝f(－2)，f(－2)＝－f(2)，

所以f(2)＝f(－2)＝0，

所以f(6)＝ f(2)＝0，即f(1)＋f(6)＝－6．]

1．函数y＝3sin的最小正周期为(　　)

A．     B．

C．π　　　　     D．2π

C　[T＝＝π．]

2．函数f(x)＝tan的最小正周期为(　　)

A．2π     B．4π   

C．     D．π

A　[T＝＝2π．]

3．若函数y＝cos(ω＞0)的最小正周期是π，则ω＝________．

2　[T＝＝π，ω＝±2．∵ω＞0，∴ω＝2．]

4．若f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝2，则f(4)＝________．

2　[f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＝2．]

5．若f(x)是以为周期的奇函数，且f＝1，则f的值为________．

－1　[∵f(x)是以为周期的奇函数，

∴f ＝－f

＝－f ＝－f

＝f ＝f ＝－f ，

又∵f ＝1，∴f ＝－f ＝－1．]

回顾本节知识，自我完成以下问题．

1．求三角函数周期的方法是什么？

[提示]　(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．

(2)公式法，T＝．

(3)观察法，观察函数的图象．

2．若函数f(x＋a)＝(a≠0)则函数的周期是多少？

[提示]　2a．　∵f[(x＋a)＋a]＝＝f(x)，

∴f(x＋2a)＝f(x)．