数学22.2二次函数与一元二次方程导学案

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2．利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根、由于作图或观察可能存在误差，所以由图象求得的根一般是近似的．
为了使利用图象法求得的方程的根更精确，可以采用如下方法：
（1）两点夹逼法：通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根．
（2）计算法：通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，这种求根的近似值的方法也适用于更高．
K知识参考答案：
1．两，相等，，无解

一、二次函数和一元二次方程之间的关系
判断二次函数的图象与x轴的交点个数的关键是计算b2-4ac的值，然后与0进行比较．如果二次函数的图象与x轴有两个交点，要判断这两个交点在y轴的同侧还是异侧，应计算这两个交点的横坐标的和与积，并判断和与积的符号，可以通过相应一元二次方程根与系数的关系进行判断．
【例1】二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由图可知：y≥-3，即ax2+bx≥-3，∵ax2+bx+m=0，∴ax2+bx=-m，∴-m≥-3，∴m≤3．故选A．
【例2】如图，将二次函数y=31x2-999x+892的图形画在坐标平面上，判断方程31x2-999x+892=0的两根，下列叙述正确的是
A．两根相异，且均为正根B．两根相异，且只有一个正根
C．两根相同，且为正根D．两根相同，且为负根
【答案】A
【解析】∵二次函数y=31x2-999x+892的图象与x轴有两个交点，且与x轴的正半轴相交，∴方程31x2-999x+892=0有两个正实根．故选A．
【例3】在二次函数y=ax2+bx+c中，若a与c异号，则其图象与x轴的交点个数为
A．2个B．1个C．0个D．不能确定
【答案】A
【解析】∵a与c异号，∴ac<0，∴Δ=>0，∴二次函数图象与x轴的交点个数为2．故选A．
【例4】已知二次函数y=2x2-mx-m2．
（1）求证：对于任意实数m，二次函数y=2x2-mx-m2的图象与x轴总有公共点；
（2）若这个二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，且B点坐标为（1，0），求A点坐标．
二、利用二次函数求一元二次方程的近似解
1．利用抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标求一元二次方程ax2+bx+c=0的根．具体过程如下：
①在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx+c；
②观察图象，确定抛物线与x轴的交点的横坐标；
③交点的横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=0的根．
2．用两点夹逼法估计一元二次方程的根，具体方法如下：在交点（抛物线与x轴的交点）的两侧各取一点，
则一元二次方程的根在这两个点的横坐标之间．
3．通过取平均数求根的近似值，具体的操作过程如下：
①取使函数值异号且绝对值较小的两个自变量的值m，n；
②分别将，n（或，m）作为自变量的值代入函数解析式，判断其函数值是否异号；
③重复执行步骤①②，以提高根的估计值的精确度．
【例5】根据下列表格的对应值：
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是
A．3C．3.24【答案】C
1．已知二次函数y=x2+bx-2的图象与x轴的一个交点为（1，0），则它与x轴的另一个交点坐标是
A．（1，0）B．（2，0）C．（-2，0）D．（-1，0）
2．已知抛物线y=x2-2x+1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2-2m+2017的值为
A．2015B．2016C．2017D．2018
3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（1，0），对称轴是直线x=-1，则ax2+bx+c=0的解是
A．x1=-3，x2=1B．x1=3，x2=1C．x=-3D．x=-2
4．已知抛物线的对称轴为，若关于x的一元二次方程在的范围内有解，则c的取值范围是
A．B．
C．D．
5．函数的图象如图所示，则下列结论错误的是
A．a>0B．b2-4ac>0
C．的两根之和为负D．的两根之积为正
6．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c>0的解集是
A．B．
C．且D．或
7．若二次函数y=x2+3x-c（c为整数）的图象与x轴没有交点，则c的最大值是__________．
8．已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是__________．
9．关于x的函数y=ax2+（a+2）x+a+1的图象与x轴只有一个公共点，则实数a的值为__________．
10．已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（-4，-）两点．
（1）求b，c的值；
（2）二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．
11．已知二次函数y=x2-2x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（-1，0），则关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两个实数根是
A．x1=1，x2=2B．x1=1，x2=3
C．x1=-1，x2=2D．x1=-1，x2=3
12．下列表格给出的是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的几组对应值，那么方程ax2+bx+c=0的一个近似解可以是
A．3.25B．3.35C．3.45D．3.55
13．下列命题：
①若，则；
②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
④若，则二次函数的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．
其中正确的是
A．只有①②③B．只有①③④C．只有①④D．只有②③④
14．已知二次函数的图象如图所示，若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是__________．
15．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①abc>0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（-1，0）；④当1y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是．（只填写序号）
16．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k取小于1的整数，且此方程的解为整数，则求出此方程的两个整数根；
（3）在（2）的条件下，二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），D点在此抛物线的对称轴上，若∠DAB=60º，直接写出D点的坐标．
17．（2018·湖北襄阳）已知二次函数y=x2-x+m-1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是
A．m≤5B．m≥2C．m<5D．m>2
18．（2018·河北）对于题目“一段抛物线L：y=-x（x-3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
19．（2018·湖北孝感）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是__________．
20．（2018·浙江湖州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a>0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a>0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是__________．
21．（2018·江苏南京）已知二次函数（m为常数）．
（1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点；
（2）当取什么值时，该函数的图象与轴的交点在轴的上方？
1．【答案】C
【解析】把x=1，y=0代入y=x2+bx-2得：0=1+b-2，∴b=1，∴对称轴为x==，∴x==，∴x2=-2，它与x轴的另一个交点坐标是（-2，0）．故选C．
5．【答案】D
【解析】∵抛物线开口向上，∴a>0，故A正确．∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac>0，故B正确．由图象可知，一根为正，一根为负，且负根的绝对值大于正根的绝对值，∴两根之和为负，两根之积为负，故C正确，D错误．故选D．
6．【答案】A
【解析】由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）．利用图象可知：ax2+bx+c>0的解集即是y>0时x的取值范围，∴-17．【答案】-3
【解析】因为抛物线y=x2+3x-c（c为整数）的图象与x轴没有交点，所以，所以，因为c为整数，所以c的最大值是-3．故答案为：-3．
8．【答案】（3，0）
【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，∴对称轴x==1；点（-1，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．故答案为：（3，0）．
9．【答案】0或
10．【解析】（1）把A（0，3），B（-4，-）分别代入y=-x2+bx+c，
得，
解得．
（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=-x2+x+3，
Δ=（）2-4×（-）×3=>0，
所以二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴有公共点，
∵-x2+x+3=0的解为：x1=-2，x2=8，
∴公共点的坐标是（-2，0）或（8，0）．
11．【答案】D
【解析】将（-1，0）代入y=x2-2x+m得，，解得，则得方程为x2-2x-3=0，解得，．故选D．
12．【答案】C
【解析】由表格得3.413．【答案】B
【解析】①b2-4ac=（-a-c）2-4ac=（a-c）2≥0，正确；
②若b>a+c，则Δ的大小无法判断，故不能得出方程有两个不等实根，错误；
③b2-4ac=4a2+9c2+12ac-4ac=4（a+c）2+5c2，因为a≠0，故（a+c）2与c2不会同时为0，所以b2-4ac>0，正确；
④二次函数y=ax2+bx+c与y轴必有一个交点，而这个交点有可能跟图象与x轴的交点重合，故正确．
故选B．
14．【答案】
【解析】由图象可知：二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，5），∴=5，即b2-4ac=-20a，
∵ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，∴方程ax2+bx+c-k=0的判别式Δ>0，即b2-4a（c-k）=b2-4ac+4ak=-20a+4ak=-4a（5-k）>0．∵抛物线开口向下，∴a<0，∴5-k>0，∴k<5．故答案为：k<5．
15．【答案】②⑤
16．【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2-4x+1-2k=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=（-4）2-4×1×（1-2k）=12+8k>0，
解得，k>-．
（2）∵k取小于1的整数，∴k=-1或0，
①当k=-1时，方程为x2-4x+3=0，
即（x-2）2=1，
∴x-2=1或x-2=-1，
解得x1=3，x2=1，
②当k=0时，方程为x2-4x+1=0，
即（x-2）2=3，
∵方程的解为整数，
当点D在AB的上方时，坐标为（2，），在AB的下方时，坐标为（2，-），
∴点D的坐标为（2，）或（2，-）．
17．【答案】A
【解析】∵二次函数y=x2-x+m-1的图象与x轴有交点，∴Δ=（-1）2-4×1×（m-1）≥0，解得m≤5，故选A．
18．【答案】A
【解析】把y=x+2代入y=-x（x-3）+c得：x+2=-x（x-3）+c，即x2-2x+2-c=0，∵一段抛物线L：y=
-x（x-3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，所以Δ=（-2）2-4×1×（2-c）=-4+4c=0，解得c=1，所以甲的结果正确，乙的结果错误，故选A．
19．【答案】，
【解析】∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1），∴方程组的解为，，即关于x的方程ax2-bx-c=0的解为x1=-2，x2=1．所以方程ax2=bx+c的解是x1=-2，x2=1，故答案为：x1=-2，x2=1．
20．【答案】-2
【解析】∵四边形ABOC是正方形，∴点B的坐标为（-，-）．∵抛物线y=ax2过点B，∴-=
a（-）2，解得：b1=0（舍去），b2=-2．故答案为：-2．
21．【解析】（1）当时，，
判别式
b2-4ac
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点情况
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况
b2-4ac>0
抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点
一元二次方程ax2+bx+c=0有_______个不相等的实数根x1，x2
b2-4ac=0
抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点（，0）
一元二次方程ax2+bx+c=0有两个________的实数根x1=x2=_______
b2-4ac<0
抛物线y=ax2+bx+c与x轴无公共点
一元二次方程ax2+bx+c=0在实数范围内__________
K—重点
二次函数和一元二次方程之间的关系，利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
K—难点
二次函数和一元二次方程之间的关系
K—易错
抛物线与x轴的位置关系
x
…
-1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
x
3.3
3.4
3.5
3.6
y
-0.06
-0.02
0.03
0.09