人教版第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程导学案

这是一份人教版第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程导学案，共21页。学案主要包含了直接降次解一元二次方程，用配方法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系等内容，欢迎下载使用。


1．直接降次解一元二次方程
（1）依据平方根的意义，将形如 的一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程．
（2）步骤：
①将方程转化为（或）的形式；
②分三种情况降次求解：
（ⅰ）当时， ；（ⅱ）当时， ；（ⅲ）当时，方程 ．
2．用配方法解一元二次方程
（1）定义：通过配成 形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
（2）利用配方法解一元二次方程的一般步骤：
一移：将常数项移到方程等号的右边．
二除：如果二次项系数不是，将方程两边同时除以二次项系数，将其化为．
三配：方程两边都加上 ，将方程左边配成完全平方的形式．
四开：如果方程的右边是一个非负数，就可以直接降次解方程；如果是一个负数，则原方程无实数根．
（3）配方法解一元二次方程：
①配方后，化为型的方程，当时，可用直接开方法求解．
②若时，方程有两相等的根，即，而不是一个根．
③为便于配方，配方前应把二次项系数化为 ，要注意出现只在方程一边加上一次项系数一半的平方这种错误的情况．
3．用公式法解一元二次方程
（1）一元二次方程根的判别式：
一般地，式子 叫做方程根的判别式，通常用希腊字母表示，即．
①当>0时，方程有两个不相等的实数根，即．
②当=0时，方程有两个相等的实数根，即．
③当<0时，方程没有实数根．
（2）求根公式：
当时，方程的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）公式法解一元二次方程的步骤：
①把方程化为一般形式；②确定、、的值；③计算的值；
④当时，把、、的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当时，方程 ．
4．用因式分解法解一元二次方程
（1）当方程缺少一次项时，可考虑用 分解因式．
（2）当方程缺少常数项时，可考虑用 分解因式，且方程一定有一根为．
（3）当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作 ，直接因式分解．
5．一元二次方程的根与系数的关系
如果方程有两个实数根，，那么 ， ．
6．选择合适的方法解一元二次方程
（1）在没有规定解法时，解一元二次方程可以按下列次序选择解法：直接降次法→因式分解法→公式法→配方法．
（2）如果二次项系数为，一次项系数为偶数，用配方法比较简单，否则，因其步骤较为烦琐，一般不用配方法．
K知识参考答案：
1．（1）（2），；；无实数根
2．（1）完全平方（2）一次项系数一半的平方（3）1
3．（1）（2）（3）没有实数根
4．（1）平方差公式（2）提公因式法（3）整体5．，

一、直接降次解一元二次方程
（1）依据平方根的意义，将形如的一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程．
（2）步骤：
①将方程转化为（或）的形式；
②分三种情况降次求解：（ⅰ）当时，，；（ⅱ）当时，；（ⅲ）当时，方程无实数根．
【例1】解方程：．
【答案】，．
【解析】移项，得．两边都除以，得．
直接开平方，得，所以，．
【名师点睛】当时，利用直接降次法解形如的一元二次方程，开方后不要丢掉负根．
二、用配方法解一元二次方程
1．通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
2．利用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
（2）方程两边同时除以二次项系数，使二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把原方程化为（x±m）2=n的形式；
（4）用直接开平方解变形后的方程．
解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
【例2】用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时，此方程可变形为
A．B．
C．D．
【答案】A
【名师点睛】配方时，方程的左右两边都加上一次项系数一半的平方，这种做法的前提是二次项系数必须是，这是最容易忘记的．
三、用公式法解一元二次方程
1．一元二次方程根的判别式：
一般地，式子叫做方程根的判别式，通常用希腊字母表示，即．
（1）当>0时，方程有两个不相等的实数根，即．
（2）当=0时，方程有两个相等的实数根，即．
（3）当<0时，方程没有实数根．
2．求根公式：
当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
3．公式法解一元二次方程的步骤：
（1）把方程化为一般形式；
（2）确定、、的值；
（3）计算的值；
（4）当时，把、、的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当时，方程没有实数根．
【例3】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】 由题意知，∴．
又∵，即，∴．
【名师点睛】根据方程的根的情况与判别式的对应情况列出不等式或方程，解不等式或方程得出字母的取值范围或字母的值．当题目中含有其他限制条件时，要综合多个条件求出字母的取位范围．
【例4】用公式法解方程：．
【答案】，．
【解析】，，，，
∴，
∴，．
【名师点睛】用公式法解一元二次方程时，要注意两点：（1）一定要把方程化为一般形式；（2）一定要计算的值，且的值大于或等于时，才能代入求根公式．
四、用因式分解法解一元二次方程
1．当方程缺少一次项时，可考虑用平方差公式分解因式．
2．当方程缺少常数项时，可考虑用提公因式法分解因式，且方程一定有一根为．
3．当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作整体，直接因式分解．
【例5】解下列一元二次方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1），．（2），．（3），．
【解析】（1）因式分解，得．
于是有或，∴，．
（3）原方程整理，得．
因式分解，得．
于是有或．∴，．
【名师点睛】若方程中有括号，不要急于去掉括号，观察方程是否可采用因式分解法求解．
五、一元二次方程的根与系数的关系
1．根与系数的关系：
如果方程有两个实数根，，那么，．
2．推导过程：
在中，当时，由求根公式可得，，
所以，
．
3．涉及两根的代数式的重要变形：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【例6】已知一元二次方程的两根为，，则________．
【答案】25
【解析】因为方程的两根为，，
所以，，所以．
【名师点睛】熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，能减少计算量，加快解题速度．
1．一元二次方程的解是
A．B．
C．，D．，
2．一元二次方程2x2－5x－2＝0的根的情况是
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3．方程+x=0的解是
A．x=±1B．x=0C．=0，=–1D．x=1
4．方程–8x+17=0的根的情况是
A．两实数根的和为–8B．两实数根的积为17
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
5．用配方法解下列方程时，配方正确的是
A．方程x2–6x–5=0，可化为（x–3）2=4
B．方程y2–2y–2017=0，可化为（y–1）2=2017
C．方程a2+8a+9=0，可化为（a+4）2=25
D．方程2x2–6x–7=0，可化为
6．一元二次方程x（x–3）=0根是
A．x=3B．x=–3C．x1=–3，x2=0D．x1=3，x2=0
7．一元二次方程x2+3x+2=0的两个根为
A．1，–2B．–1，–2C．–1，2D．1，2
8．一元二次方程x2–9=0的根是
A．x=3B．x=–3C．x1=3，x2=–3D．x1=9，x2=–9
9．方程x2–2=0的根是__________．
10．方程的根是__________．
11．一元二次方程的解是__________．
12．关于x的一元二次方程（a–1）x2+x+a2–1=0的一个根为0，则a的值为__________．
13．解方程：x2+3x–2=0．
14．解方程：．
15．解方程：x2–10x+18=0．
16．解方程：．
17．关于x的一元二次方程（a–1）x2+x+a2–1=0的一个根是0，则a的值为
A．1B．–1C．1或–1D．
18．三角形的两边长分别为3米和6米，第三边的长是方程x2–6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为
A．11B．12C．11或13D．13
19．一元二次方程x2+2x–3=0的两个根中，较小一个根为
A．3B．–3C．–2D．–1
20．关于x的方程kx2+3x–1=0有实数根，则k的取值范围是
A．k≤B．k≥–且k≠0C．k≥–D．k>–且k≠0
21．关于x的方程kx2–2x–1=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为__________．
22．已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则的值为__________．
23．关于x的一元二次方程x2+（m–2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是__________．
24．若关于x的一元二次方程（a–1）x2–x+1=0有实数根，则a的取值范围为__________．
25．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数c的值：c=__________．
26．已知一元二次方程x2+7x–1=0的两个实数根为α，β，则(α–1)(β–1)的值为__________．
27．若方程x2–kx+6=0的两根分别比方程x2+kx+6=0的两根大5，则k的值是__________．
28．若关于x的方程x2–5x+k=0的一个根是0，则另一个根是__________，k=__________．
29．已知数轴上A、B两点对应的数分别是一元二次方程（x+1）(x–2)=0的两个根，则A、B两点间的距离是__________．
30．解关于x的方程：bx2–1=1–x2（b≠–1）．
31．用适当方法解下列方程：．
32．解方程：3x2＋2x＋1=0．
33．已知a、b分别是一元二次方程的不相等的两根，求a2+2a+b的值．
34．（2018·泰安市）一元二次方程根的情况是
A．无实数根 B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3
35．（2018·桂林市）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则k的值为
A． B．
C．2或3 D．或
36．（2018·湘潭市）若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是
A．m≥1 B．m≤1
C．m＞1 D．m＜1
37．（2018·泰州市）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是
A．x1≠x2 B．x1+x2＞0
C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
38．（2018·眉山市）若α，β是一元二次方程3x2+2x－9=0的两根，则的值是
A． B．－
C．－ D．
39．（2018·宜宾市）一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为
A．﹣2 B．1
C．2 D．0
40．（2018·淮安市）一元二次方程x2﹣x=0的根是__________．
41．（2018·邵阳市）已知关于x的方程x2+3x﹣m=0的一个解为﹣3，则它的另一个解是__________．
42．（2018·聊城市）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3=0有两个相等的实根，则k的值是__________．
43．（2018·内江市）已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为__________．
44．（威海市2018）关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是__________．
45．（2018·江西省）一元二次方程的两根为 ,则的值为__________．
46．（2018·德州市）若是一元二次方程的两个实数根，则=__________．
47．（2018·南京市）设、是一元二次方程的两个根，且，则__________，__________．
48．（2018·随州市）己知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值．

49．（2018·黄石市）已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1﹣x2=2，求实数m的值．

50．（2018·成都市）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.
3．【答案】C
【解析】通过提取公因式法对等式的左边进行因式分解．由原方程得到：x（x+1）=0，解得=0，=–1．故选C．
4．【答案】D
【解析】Δ=–4×1×17=–4<0，由此可得出方程没有实数根．故选D．
5．【答案】D
【解析】A，由原方程得到：方程x2–6x+32=5+32，可化为（x–3）2=14，故本选项错误；B，由原方程得到：方程y2–2y+12=2017+12，可化为（y–1）2=2018，故本选项错误；C，由原方程得到：方程a2+8a+42=–9+42，可化为（a+4）2=7，故本选项错误；D，由原方程得到：方程x2–3x+（）2=+（）2，可化为，故本选项正确．故选D．
6．【答案】D
【解析】x（x–3）=0，可得x=0或x–3=0，解得：x1=0，x2=3．故选D．
7．【答案】B
【解析】利用因式分解法解方程，即（x+1）（x+2）=0，可得x+1=0或x+2=0，所以x1=–1，x2=–2．故选B．
8．【答案】C
【解析】∵x2–9=0，∴x2=9，∴x=±3，故选C．
9．【答案】
【解析】移项得x2=2，∴x=．故答案为：．
10．【答案】x1=–1，x2=3
【解析】∵，∴x–1=–2或x–1=2，x1=–1，x2=3．故答案是：x1=–1，x2=3．
11．【答案】或
【解析】由，得，∴或．
14．【答案】，
【解析】∵a=1，b=–5，c=2，∴，
∴代入求根公式得，，∴x1，．
15．【答案】x1=5+，x2=5–．
【解析】∵x2–10x+18=0，∴x2–10x=–18，
∴x2–10x+25=7，∴（x–5）2=7，∴x–5=±，∴x1=5+，x2=5–．
16．【答案】，．
【解析】∵，∴，
∴，∴，∴，
∴，即，∴，．
17．【答案】B
【解析】根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a的方程a2–1=0且a–1≠0，解得：a=–1．故选B．
18．【答案】D
【解析】∵x2–6x+8=0，即（x–2）（x–4）=0，∴x–2=0或x–4=0，解得：x=2或x=4，若x=2，则三角形的三边2+3<6，构不成三角形，舍去；当x=4时，这个三角形的周长为3+4+6=13，故选D．
21．【答案】1
【解析】∵关于x的一元二次方程kx2–2x–1=0有两个不相等的实数根，∴k≠0且Δ>0，即（–2）2–4×k×（–1）>0，解得k>–1且k≠0．∴k的取值范围为k>–1且k≠0．故k的最小整数值为1．
22．【答案】10
【解析】首先由判别式大于0可知方程存在两个不相等的实数根，根据根与系数的关系得到x1+x2=–6，x1x2=3，再运用通分和完全平方公式变形得到=然后利用整体代入的方法计算得，．故答案为：10．
23．【答案】0或8
【解析】根据关于x的一元二次方程x2+（m–2）x+m+1=0有两个相等的实数根，可得，Δ=（m–2）2–4（m+1）=0，即m2–8m=0，解得m=0或m=8．
24．【答案】a≤且a≠1．
【解析】由题意得：Δ=（–1）2–4（a–1）×1≥0，解得a≤，又a–1≠0，∴a≤且a≠1．
25．【答案】0（答案不唯一）；
【解析】∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=b2–4ac=22–4c>0，解得：c<1，故答案为任意一个小于1的数均可以，比如：0．（答案不唯一）
28．【答案】5，0
【解析】根据一元二次方程的解，设方程的另一个根为t，根据题意得0+t=5，0⋅t=k，所以t=5，k=0．故答案为5，0．
29．【答案】3
【解析】∵一元二次方程（x+1）(x–2)=0的两个根是–1和2，∴对应数轴上的两点A、B的距离为3．故答案是：3．
30．【答案】b>–1时，x=±；b<–1时，方程无解．
【解析】方程整理得：（b+1）x2=2，即x2=（b≠–1，即b+1≠0），
若b+1>0，即b>–1时，两边开平方得：x=±，即x=±；
若b+1<0，即b<–1时，方程无解．
31．【答案】x1=，x2=
【解析】∵，，，∴Δ=b2–4ac=16+12=28，
∴，∴x1=，x2=．
32．【答案】原方程没有实数根．
【解析】∵a=3，b=2，c=1，∴b2–4ac=4–4×3×1=–8<0．∴原方程没有实数根．
33．【答案】2016
【解析】∵a、b是原方程的两个实数根，∴，a+b=–1，
∴，∴=2017+（–1）=2016．
34．【答案】D
【解析】（x+1）（x﹣3）=2x﹣5，
整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，则x2﹣4x+2=0，（x﹣2）2=2，
解得：x1=2+＞3，x2=2﹣，故有两个正根，且有一根大于3．
故选D．
【名师点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，正确解方程是解题的关键．
35．【答案】A
【解析】∵方程有两个相等的实根，
∴=k2-4×2×3=k2-24=0，
解得：k=．
故选A．
【名师点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
36．【答案】D
【解析】∵方程有两个不相同的实数根，
∴
解得m＜1．
故选D．
【名师点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
37．【答案】A
【解析】∵=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，
∴x1≠x2，选项A中的结论正确；
∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1+x2=a，
∵a的值不确定，
∴选项B中的结论不一定正确；
∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1•x2=﹣2，选项C中的结论错误；
∵x1•x2=﹣2，
∴x1＜0，x2＞0，选项D中的结论错误．
故选A．
【名师点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
38．【答案】C
【解析】∵α、β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根，
∴α+β=-，αβ=-3，
∴===．
故选C．
【名师点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-、两根之积等于是解题的关键．
39．【答案】D
【解析】∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，
∴根据根与系数的关系，得x1x2=0．
故选D．
40．【答案】x1=0，x2=1
【解析】方程变形得：x（x﹣1）=0，
可得x=0或x﹣1=0，
解得：x1=0，x2=1．
故答案为：x1=0，x2=1．
41．【答案】0
【解析】设方程的另一个解是n，
根据题意得：﹣3+n=﹣3，
解得：n=0，
故答案为0．
42．【答案】
【解析】∵关于x的方程（k-1）x2-2kx+k-3=0有两个相等的实根，
∴，
解得k=．
故答案为．
44．【答案】m=4
【解析】∵关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，
∴=4﹣8（m﹣5）≥0，且m﹣5≠0，
解得m≤5.5，且m≠5，
则m的最大整数解是m=4．
故答案为m=4．
45．【答案】2
【解析】由题意得：+2=0，=2，
∴=-2，=4，
∴=-2+4=2，
故答案为2.
46．【答案】−3
【解析】由根与系数的关系可知：x1+x2=﹣1，x1x2=﹣2，
∴x1+x2+x1x2=﹣3
故答案为﹣3．
47．【答案】 ，
【解析】∵、是一元二次方程的两个根，
∴，
∵,
∴m=1,
∴
解得=−2,=3.
故答案为:−2,3.
48．【答案】（1）k＞﹣；（2）k=3．
【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根，
∴=（2k+3）2﹣4k2＞0，
解得：k＞﹣；
（2）∵x1、x2是方程x2+（2k+3）x+k2=0的实数根，
∴x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2，
∴，
解得：k1=3，k2=﹣1，
经检验，k1=3，k2=﹣1都是原分式方程的根，
又∵k＞﹣，
∴k=3．
49．【答案】（1）m＜1；（2）0.
【解析】（1）由题意得：=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0，
解得：m＜1，
即实数m的取值范围是m＜1；
50．【答案】
【解析】∵关于x的一元二次方程x2-（2a+1）x+a2=0有两个不相等的实数根，
∴=[−（2a+1）]2-4a2=4a+1＞0，
解得a＞．方法名称
理论依据
适用范围
直接降次法
平方根的意义
形如或的一元二次方程
配方法
完全平方公式
所有一元二次方程
公式法
配方法
所有一元二次方程
因式分解法
若，则或
一边为，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程
K—重点
（1）用配方法解一元二次方程；（2）用公式法解一元二次方程；（3）用因式分解法解一元二次方程．
K—难点
（1）选择合适的方法解一元二次方程；（2）一元二次方程根与系数的关系．
K—易错
仅当判别式非负时，方程才有实数根．