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    人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列本章综合与测试免费一课一练

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    这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列本章综合与测试免费一课一练,共20页。试卷主要包含了求和等内容,欢迎下载使用。

    本章复习提升

    易混易错练

    易错点1 忽略数列与一般函数的区别

    1.()已知函数f(x)=数列{an}满足an=f(n)(nN*),且数列{an}是单调递增数列,则实数a的取值范围是    .易错 

    2.()在数列{an},an=n2+λn,nN*.{an}是递增数列,λ的取值范围.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    易错点2 误用数列的有关性质

    3.(2019黑龙江大庆中学高二月考,)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=30,S6=100,S9的值为( 易错 )

    A.260 B.130 C.170 D.210

    易错点3 Snan,忽略n=1的情况

    4.(2020福建福州一中高三上期末,)数列{an}满足a1=1,其前n项和为Sn,Sn=2an(n2,nN*),{an}的通项公式为       .易错 

    5.()已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n2),a1=.

    (1)求证:是等差数列;

    (2)求数列{an}的通项公式.

     

     

     

     

     

     

     

    6.()在数列{an},a1=1,a1+2a2+3a3++nan=·an+1(nN*),求数列{an}的通项公式.

     

     

     

     

     

     

     

     

    易错点4 应用等比数列的求和公式时忽略q=1的情况

    7.()已知在等比数列{an},a1=2,S3=6,a3=    . 

    8.()在等差数列{an},a2+a7=-23,a3+a8=-29.

    (1)求数列{an}的通项公式;

    (2)设数列{an+bn}是首项为1,公比为q的等比数列,求数列{bn}的前n项和Sn.

     

     

     

     

     

     

     

     

    9.()求和:Sn=+++(x0).

     

     

     

     

     

     

     

    思想方法练

    一、函数思想在数列中的应用

    1.()等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1>0,S9=S16,则当n=    ,Sn最大. 

    2.()已知首项为的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为Sn(nN*),S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.

    (1)求数列{an}的通项公式;

    (2)Tn=Sn-(nN*),求数列{Tn}中最大项的值与最小项的值.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    二、方程思想在数列中的应用

    3.()在等差数列{an},n项和为Sn,S10=90,a5=8,a4=(  )

    A.16 B.12 C.8 D.6

    4.(2020河北唐山高三上期末,)已知{an}是公差不为0的等差数列,且前3项的和为9.{bn}是等比数列,b1=a2,b2=a5,b3=a11.

    (1)求数列{an}的通项公式;

    (2){bn}的前n项和Tn.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    三、分类讨论思想在数列中的应用

    5.()已知数列-1,4,-7,10,,(-1)n·(3n-2),,求其前n项和Sn.

     

     

     

     

     

     

     

    6.()已知等差数列{an}的首项为6,公差为d,a1,a3+2,2a4成等比数列.

    (1){an}的通项公式;

    (2)d<0,|a1|+|a2|+|a3|++|an|的值.

     

     

     

     

     

     

     

    四、转化与化归思想在数列中的应用

    7.(2020天津耀华中学高二上期末,)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足2Sn=2n+1+m(mR).

    (1)求数列{an}的通项公式;

    (2)若数列{bn}满足bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.

     

     

     

     

     

     

    8.(2019辽宁六校协作体高二上期中,)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+n=2an(nN*).

    (1)求数列{an}的通项公式;

    (2)若数列{bn}满足bn=an·log2(an+1)+n(nN*),{bn}的前n项和Kn.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     


    答案全解全析

    易混易错练

    1.答案 

    解析 由题意知,

    an=

    {an}是单调递增数列,

    n6,a>1,n<6,4->0,a5<a6,解得<a<8.

    易错警示 本题中数列{an}为单调递增数列需满足a5<a6,而函数f(x)递增需满足a6-5×6+4.二者不同,解题时需注意.

    2.解析 {an}是递增数列得,an<an+1,

    n2+λn<(n+1)2+λ(n+1),

    整理得λ>-(2n+1),nN*,解得λ>-3.

    λ的取值范围是(-3,+∞).

    3.D 由题意可得S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,2(S6-S3)=S3+(S9-S6),2×(100-30)=30+S9-100,解得S9=210.故选D.

    易错警示 在等差数列中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,成等差数列,而不是Sn,S2n,S3n,S4n,成等差数列.

    4.答案 an=

    解析 n=2,S2=2a2,a2=a1=1,

    又当n2,Sn=2an,Sn+1=2an+1,

    Sn+1-Sn=2an+1-2an,

    an+1=2an(n2),

    经检验a2=a12a1,不符合上式,

    {an}从第二项起构成以a2=1为首项,q=2为公比的等比数列,

    n2,an=a2·qn-2=2n-2.

    an=

    易错警示 已知Snan的解题过程通常分为四步:第一步,n=1,a1;第二步,n2,an;第三步,在第二步求得的an的表达式中取n=1,判断其值是否等于a1;第四步,写出数列的通项公式.其中第三步尤为关键,解题时一定要检验n=1时是否符合n2时求得的an的表达式,否则易导致第四步中数列的通项公式求解错误.

    5.解析 (1)证明:n2,an+2SnSn-1=0,Sn-Sn-1=-2SnSn-1,

    所以-=2,

    ==2,所以是首项为2,公差为2的等差数列.

    (2)(1)可得=2n,所以Sn=.

    n2,an=Sn-Sn-1=-=-.

    n=1,a1=,不符合an=-.

    an=

    6.解析 a1+2a2+3a3++nan=an+1,得当n2,a1+2a2+3a3++(n-1)an-1=an,两式作差得nan=an+1-an,

    (n+1)an+1=3nan(n2),

    故数列{nan}从第二项起构成公比为3的等比数列,a1=1,a2=1,于是2a2=2,故当n2,nan=2·3n-2.所以an=(n2).经检验,n=1,a1=1不符合上式,

    所以an=

    7.答案 28

    解析 设等比数列{an}的公比为q,q=1,S3=3a1=6,符合题意,此时a3=a1=2.

    q1,S3===6,解得q=-2,

    此时a3=a1·q2=8.

    综上可知,a3=2a3=8.

    8.解析 (1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则由题意可得

    解得

    所以an=-1+(n-1)×(-3)=-3n+2.

    (2)由题意得an+bn=qn-1,

    所以bn=3n-2+qn-1.

    q=1,bn=3n-1,

    Sn==.

    q1,Sn=b1+b2++bn

    =[1+4++(3n-2)]+(1+q++qn-1)

    =+

    =+.

    综上,Sn=

    9.解析 由题知x0,

    x±1,

    Sn=+++

    =+++x2n+2+

    =(x2+x4++x2n)+2n+

    =++2n

    =+2n.

    x=±1,Sn=4n.

    综上,

    Sn=

    思想方法练

    1.答案 1213

    解析 设等差数列{an}的公差为d,由等差数列前n项和公式,S9=9a1+d=9a1+36d,S16=16a1+d=16a1+120d.

    又因为S9=S16,所以9a1+36d=16a1+120d,d=-a1,

    a1>0,所以d<0.

    由此可知,数列{an}是单调递减数列,(n,Sn)在开口向下的抛物线上.S9=S16,所以点(9,S9)与点(16,S16)关于直线x=对称,所以当n=12n=13,Sn最大.

    2.解析 (1)设等比数列{an}的公比为q,

    因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,

    所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,

    4a5=a3,于是q2==.

    {an}不是递减数列,a1=>0,

    所以q=-,

    故等比数列{an}的通项公式为

    an=×=(-1)n-1·.

    (2)(1),Sn=1-

    =

    f(x)=(xR),由指数函数的性质可知,f(x)=为单调递减函数.

    所以当n为奇数时,Snn的增大而减小,

    所以1<SnS1=,

    0<Sn-S1-=-=.

    n为偶数时,Snn的增大而增大,

    所以=S2Sn<1,

    0>Sn-S2-=-=-.

    综上,-Sn-,Sn-0(nN*),

    所以数列{Tn}中最大项的值为,最小项的值为-.

    3.D 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,

    解得

    a4=a1+3d=0+3×2=6.

    4.解析 (1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d(d0),a1+a2+a3=3a1+3d=9,

    a1+d=3.

    因为{bn}是等比数列,b1=a2,b2=a5,b3=a11,所以(a1+d)(a1+10d)=(a1+4d)2,

    化简得a1d=2d2,

    因为d0,所以a1=2d.

    ①②解得,a1=2,d=1,

    an=a1+(n-1)d=n+1,nN*.

    (2)(1)b1=a2=3,b2=a5=6,

    设等比数列{bn}的公比为q,q==2,bn=3×2n-1,

    Tn===3×2n-3.

    5.解析 n为偶数时,n=2k(kN*),

    Sn=S2k=-1+4-7+10-+(-1)n·(3n-2)=(-1+4)+(-7+10)++[(-6k+5)+(6k-2)]=3k=;

    n为奇数时,n=2k+1(kN*).

    Sn=S2k+1=S2k+a2k+1=3k-(6k+1)=.

    Sn=

    6.解析 (1)a1=6,公差为d,

    a3=6+2d,a4=6+3d.

    a1,a3+2,2a4成等比数列,

    a1·2a4=(a3+2)2,

    6×2×(6+3d)=(6+2d+2)2,

    解得d=-1d=2.

    d=-1,an=a1+(n-1)d=7-n;

    d=2,an=a1+(n-1)d=2n+4.

    {an}的通项公式为an=7-nan=2n+4.

    (2)d<0(1)可知,d=-1,此时an=7-n.

    n7,an0,|a1|+|a2|++|an|=a1+a2++an==-+.

    n>7,an<0,|a1|+|a2|++|an|=a1+a2++a7-(a8+a9++an)=21-=-+42.

    |a1|+|a2|++|an|

    =

    7.解析 (1)2Sn=2n+1+m(mR),

    n2,2Sn-1=2n+m(mR),

    两式相减得,2Sn-2Sn-1=2an=2n,

    an=2n-1(n2),a2=2.

    a1=S1=2+,a2=2a1,

    所以2=2×,解得m=-2,

    所以a1=1,符合an=2n-1,

    所以等比数列{an}的通项公式为an=2n-1.

    (2)(1)可知,log2(anan+1)=log2(2n-12n)=2n-1,

    bn==.

    Tn=b1+b2++bn

    =

    ==.

    8.解析 (1)Sn+n=2an(nN*),

    n2,Sn-1+(n-1)=2an-1,

    两式相减得,an+1=2an-2an-1,an=2an-1+1,

    所以an+1=2(an-1+1)(n2),

    又当n=1,a1+1=2a1,所以a1=1,所以a1+1=2,

    所以数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an+1=2n,所以an=2n-1,nN*.

    (2)(1)bn=(2n-1)log22n+n=n×2n,

    Kn=1×2+2×22+3×23++n×2n,

    2Kn=1×22+2×23++(n-1)×2n+n×2n+1,

    -,-Kn=2+22+23++2n-n×2n+1=-n×2n+1=(1-n)×2n+1-2,

    所以Kn=(n-1)2n+1+2.

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