人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列本章综合与测试免费一课一练

本章复习提升

易混易错练

易错点1　忽略数列与一般函数的区别

1.()已知函数f(x)=数列{an}满足an=f(n)(n∈N*),且数列{an}是单调递增数列,则实数a的取值范围是　　　　.易错 

2.()在数列{an}中,an=n2+λn,n∈N*.若{an}是递增数列,求λ的取值范围.

易错点2　误用数列的有关性质

3.(2019黑龙江大庆中学高二月考,)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=30,S6=100,则S9的值为(　易错　)

A.260 B.130 C.170 D.210

易错点3　由Sn求an时,忽略n=1的情况

4.(2020福建福州一中高三上期末,)数列{an}满足a1=1,其前n项和为Sn,且Sn=2an(n≥2,n∈N*),则{an}的通项公式为　　　　　　　.易错 

5.()已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=.

(1)求证:是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

6.()在数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=·an+1(n∈N*),求数列{an}的通项公式.

易错点4　应用等比数列的求和公式时忽略q=1的情况

7.()已知在等比数列{an}中,a1=2,S3=6,则a3=　　　　. 

8.()在等差数列{an}中,a2+a7=-23,a3+a8=-29.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设数列{an+bn}是首项为1,公比为q的等比数列,求数列{bn}的前n项和Sn.

9.()求和:Sn=++…+(x≠0).

思想方法练

一、函数思想在数列中的应用

1.()等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1>0,S9=S16,则当n=　　　　时,Sn最大. 

2.()已知首项为的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为Sn(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设Tn=Sn-(n∈N*),求数列{Tn}中最大项的值与最小项的值.

二、方程思想在数列中的应用

3.()在等差数列{an}中,前n项和为Sn,S10=90,a5=8,则a4=(　　)

A.16 B.12 C.8 D.6

4.(2020河北唐山高三上期末,)已知{an}是公差不为0的等差数列,且前3项的和为9.{bn}是等比数列,且b1=a2,b2=a5,b3=a11.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求{bn}的前n项和Tn.

三、分类讨论思想在数列中的应用

5.()已知数列-1,4,-7,10,…,(-1)n·(3n-2),…,求其前n项和Sn.

6.()已知等差数列{an}的首项为6,公差为d,且a1,a3+2,2a4成等比数列.

(1)求{an}的通项公式;

(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值.

四、转化与化归思想在数列中的应用

7.(2020天津耀华中学高二上期末,)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足2Sn=2n+1+m(m∈R).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.

8.(2019辽宁六校协作体高二上期中,)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+n=2an(n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足bn=an·log2(an+1)+n(n∈N*),求{bn}的前n项和Kn.

答案全解全析

易混易错练

1.答案　

解析　由题意知,

an=

∵{an}是单调递增数列,

∴当n≥6时,a>1,当n<6时,4->0,且a5<a6,即解得<a<8.

易错警示　本题中数列{an}为单调递增数列需满足a5<a6,而函数f(x)递增需满足a6-5≥×6+4.二者不同,解题时需注意.

2.解析　由{an}是递增数列得,an<an+1,

即n2+λn<(n+1)2+λ(n+1),

整理得λ>-(2n+1),n∈N*,解得λ>-3.

∴λ的取值范围是(-3,+∞).

3.D　由题意可得S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,故2(S6-S3)=S3+(S9-S6),即2×(100-30)=30+S9-100,解得S9=210.故选D.

易错警示　在等差数列中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…成等差数列,而不是Sn,S2n,S3n,S4n,…成等差数列.

4.答案　an=

解析　当n=2时,S2=2a2,得a2=a1=1,

又当n≥2时,Sn=2an,∴Sn+1=2an+1,

∴Sn+1-Sn=2an+1-2an,

即an+1=2an(n≥2),

经检验a2=a1≠2a1,不符合上式,

∴{an}从第二项起构成以a2=1为首项,q=2为公比的等比数列,

∴当n≥2时,an=a2·qn-2=2n-2.

∴an=

易错警示　已知Sn求an的解题过程通常分为四步:第一步,令n=1,得a1;第二步,令n≥2,得an;第三步,在第二步求得的an的表达式中取n=1,判断其值是否等于a1;第四步,写出数列的通项公式.其中第三步尤为关键,解题时一定要检验n=1时是否符合n≥2时求得的an的表达式,否则易导致第四步中数列的通项公式求解错误.

5.解析　(1)证明:当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,

所以-=2,

又==2,所以是首项为2,公差为2的等差数列.

(2)由(1)可得=2n,所以Sn=.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=-.

当n=1时,a1=,不符合an=-.

故an=

6.解析　由a1+2a2+3a3+…+nan=an+1,得当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=an,两式作差得nan=an+1-an,

即(n+1)an+1=3nan(n≥2),

故数列{nan}从第二项起构成公比为3的等比数列,且a1=1,a2=1,于是2a2=2,故当n≥2时,nan=2·3n-2.所以an=(n≥2).经检验,当n=1时,a1=1不符合上式,

所以an=

7.答案　2或8

解析　设等比数列{an}的公比为q,当q=1时,S3=3a1=6,符合题意,此时a3=a1=2.

当q≠1时,由S3===6,解得q=-2,

此时a3=a1·q2=8.

综上可知,a3=2或a3=8.

8.解析　(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则由题意可得

解得

所以an=-1+(n-1)×(-3)=-3n+2.

(2)由题意得an+bn=qn-1,

所以bn=3n-2+qn-1.

当q=1时,bn=3n-1,

则Sn==.

当q≠1时,Sn=b1+b2+…+bn

=[1+4+…+(3n-2)]+(1+q+…+qn-1)

=+

=+.

综上,Sn=

9.解析　由题知x≠0,

①当x≠±1时,

Sn=++…+

=++…+x2n+2+

=(x2+x4+…+x2n)+2n+

=++2n

=+2n.

②当x=±1时,Sn=4n.

综上,

Sn=

思想方法练

1.答案　12或13

解析　设等差数列{an}的公差为d,由等差数列前n项和公式,得S9=9a1+d=9a1+36d,S16=16a1+d=16a1+120d.

又因为S9=S16,所以9a1+36d=16a1+120d,即d=-a1,

又a1>0,所以d<0.

由此可知,数列{an}是单调递减数列,点(n,Sn)在开口向下的抛物线上.又S9=S16,所以点(9,S9)与点(16,S16)关于直线x=对称,所以当n=12或n=13时,Sn最大.

2.解析　(1)设等比数列{an}的公比为q,

因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,

所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,

即4a5=a3,于是q2==.

又{an}不是递减数列,且a1=>0,

所以q=-,

故等比数列{an}的通项公式为

an=×=(-1)n-1·.

(2)由(1)得,Sn=1-

=

设f(x)=(x∈R),由指数函数的性质可知,f(x)=为单调递减函数.

所以当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,

所以1<Sn≤S1=,

故0<Sn-≤S1-=-=.

当n为偶数时,Sn随n的增大而增大,

所以=S2≤Sn<1,

故0>Sn-≥S2-=-=-.

综上,-≤Sn-≤,且Sn-≠0(n∈N*),

所以数列{Tn}中最大项的值为,最小项的值为-.

3.D　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,

则解得

∴a4=a1+3d=0+3×2=6.

4.解析　(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d(d≠0),则a1+a2+a3=3a1+3d=9,

则a1+d=3.①

因为{bn}是等比数列,且b1=a2,b2=a5,b3=a11,所以(a1+d)(a1+10d)=(a1+4d)2,

化简得a1d=2d2,

因为d≠0,所以a1=2d.②

由①②解得,a1=2,d=1,

故an=a1+(n-1)d=n+1,n∈N*.

(2)由(1)得b1=a2=3,b2=a5=6,

设等比数列{bn}的公比为q,则q==2,故bn=3×2n-1,

则Tn===3×2n-3.

5.解析　当n为偶数时,令n=2k(k∈N*),

则Sn=S2k=-1+4-7+10-…+(-1)n·(3n-2)=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-6k+5)+(6k-2)]=3k=;

当n为奇数时,令n=2k+1(k∈N*).

则Sn=S2k+1=S2k+a2k+1=3k-(6k+1)=.

∴Sn=

6.解析　(1)∵a1=6,公差为d,

∴a3=6+2d,a4=6+3d.

又∵a1,a3+2,2a4成等比数列,

∴a1·2a4=(a3+2)2,

即6×2×(6+3d)=(6+2d+2)2,

解得d=-1或d=2.

当d=-1时,an=a1+(n-1)d=7-n;

当d=2时,an=a1+(n-1)d=2n+4.

∴{an}的通项公式为an=7-n或an=2n+4.

(2)由d<0及(1)可知,d=-1,此时an=7-n.

当n≤7时,an≥0,则|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an==-+.

当n>7时,an<0,则|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a7-(a8+a9+…+an)=21-=-+42.

∴|a1|+|a2|+…+|an|

=

7.解析　(1)由2Sn=2n+1+m(m∈R)得,

当n≥2时,2Sn-1=2n+m(m∈R),

两式相减得,2Sn-2Sn-1=2an=2n,

即an=2n-1(n≥2),a2=2.

又a1=S1=2+,a2=2a1,

所以2=2×,解得m=-2,

所以a1=1,符合an=2n-1,

所以等比数列{an}的通项公式为an=2n-1.

(2)由(1)可知,log2(anan+1)=log2(2n-12n)=2n-1,

∴bn==.

∴Tn=b1+b2+…+bn

=

==.

8.解析　(1)由Sn+n=2an(n∈N*)得,

当n≥2时,Sn-1+(n-1)=2an-1,

两式相减得,an+1=2an-2an-1,即an=2an-1+1,

所以an+1=2(an-1+1)(n≥2),

又当n=1时,a1+1=2a1,所以a1=1,所以a1+1=2,

所以数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an+1=2n,所以an=2n-1,n∈N*.

(2)由(1)知bn=(2n-1)log22n+n=n×2n,

则Kn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,①

2Kn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1,②

①-②,得-Kn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=-n×2n+1=(1-n)×2n+1-2,

所以Kn=(n-1)2n+1+2.