人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义课时训练

5.1.2　导数的概念及其几何意义

基础过关练

题组一　导数的定义及其应用

1.函数y=f(x)的自变量x由x0变化到x0+Δx时,函数值的改变量Δy为(　　)

A.f(x0+Δx)  B.f(x0)+Δx   C.f(x0)·Δx  D.f(x0+Δx)-f(x0)

2.函数f(x)在x=x0处的导数可表示为(　　)

A.f'(x0)=   B.f'(x0)=[f(x0+Δx)-f(x0)]

C.f'(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)     D.f'(x0)=

3.已知函数f(x)=ax+4,若f'(1)=2,则a=　　　　. 

4.如图是函数y=f(x)的图象.

(1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为　　　　; 

(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为　　　　. 

5.求函数y=在x=0处的导数.

题组二　导数的几何意义及其应用

6.函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义是(　　)

A.在点(x0,f(x0))处与y=f(x)的图象只有一个交点的直线的斜率

B.过点(x0,f(x0))的切线的斜率

C.点(x0,f(x0))与点(0,0)的连线的斜率

D.函数y=f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线的斜率

7.某司机看见前方50 m处有行人横穿马路,这时司机开始紧急刹车,在刹车的过程中,汽车的速度v是关于刹车时间t的函数,其图象可能是(　　)

8.已知函数f(x)在R上有导函数,且f(x)的图象如图所示,则下列不等式正确的是(　　)

A.f'(a)<f'(b)<f '(c) B.f'(b)<f'(c)<f'(a)

C.f'(a)<f'(c)<f'(b) D.f'(c)<f'(a)<f'(b)

9.如图,函数y=f(x)的图象在P点处的切线方程是y=-x+8,若点P的横坐标是5,则f(5)+f'(5)=(　　)

A. B.1 C.2 D.0

题组三　求曲线的切线方程

10.若曲线f(x)=x2+ax+b在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,则(　　)

A.a=-1,b=1 B.a=1,b=-1  C.a=-2,b=1 D.a=2,b=-1

11.函数f(x)=x3+x-2的图象在点P处的切线平行于直线y=4x-1,则P点的坐标为(　　)

A.(1,0)   B.(2,8)  C.(1,0)或(-1,-4)   D.(2,8)或(-1,-4)

12.若点A(2,1)在曲线y=f(x)上,且f'(2)=-2,则曲线y=f(x)在点A处的切线方程是　　　　. 

13.(2020广东实验中学高二上期末)与直线2x-y+4=0平行且与抛物线y=x2相切的直线方程是　　　　. 

14.试求过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程.

能力提升练

题组一　导数的定义及其应用

1.(2020浙江宁波中学高二下期中测试,)甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,则治污效果较好的是(　　)

A.甲厂 B.乙厂   C.两厂一样 D.不确定

2.(2020河南新乡高二上期末,)若f'(2)=3,则=　　　　. 

3.()服用某种药物后,人体血液中药物的质量浓度f(x)(单位:μg/mL)与时间t(单位:min)的函数关系式是y=f(t),假设函数y=f(t)在t=10和t=100处的导数分别为f'(10)=1.5和f'(100)=-0.6,试解释它们的实际意义.

题组二　导数的几何意义及其应用

4.(2020黑龙江佳木斯一中高二上期末,)函数f(x)的图象如图所示,则下列数值排序正确的是(　　)

A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)   B.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)

C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2)   D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)

5.()已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)

A.f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率

B.f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率

C.对于任意x0∈(a,b),函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率

D.存在x0∈(a,b),使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率

6.(多选)()已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)的图象如图所示,

则对于任意x1,x2∈R(x1≠x2),下列结论正确的是(　　)

A.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0

B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0

C.f>

D.f<

题组三　求曲线的切线方程

7.(2020浙江金华一中高二下期中,)已知f(x)=x2+2x+3,P为曲线C:y=f(x)上的点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为,则点P的横坐标的取值范围为(　　)

A. B.[-1,0]  C.[0,1] D.

8.(2020浙江丽水高二下期末,)已知过点P(-1,1)的直线m交x轴于点A,若抛物线y=x2上有一点B,使得PA⊥PB,且AB是抛物线y=x2的切线,则直线m的方程为　　　　　　　　. 

9.(2020福建厦门二中高二上期中,)已知曲线y=f(x)=x2,y=g(x)=,过两条曲线的交点作两条曲线的切线,求两切线与x轴围成的三角形的面积.(请用导数的定义求切线的斜率,否则只得结论分)

答案全解全析

基础过关练

1.D　分别写出x=x0和x=x0+Δx时对应的函数值f(x0)和f(x0+Δx),两函数值相减就得到了函数值的改变量,所以Δy=f(x0+Δx)-f(x0).

2.A　由导数的定义知A正确.

3.答案　2

解析　由题意得,Δy=f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)+4-a-4=aΔx,

∴=a,

∴f'(1)=a=2.

4.答案　(1)　(2)

解析　(1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为==.

(2)由函数f(x)的图象知,

f(x)=

所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为==.

5.解析　Δy=-

=

=,

∴=,

∴y'x=0===0.

6.D　f'(x0)的几何意义是函数y=f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.

7.A　在刹车过程中,汽车速度呈下降趋势,排除选项C,D;由于是紧急刹车,所以汽车开始时速度下降非常快,图象较陡,排除选项B,故选A.

8.A　由题意可知,f'(a),f'(b),f'(c)分别是函数f(x)在x=a、x=b和x=c处切线的斜率,则有f'(a)<0<f'(b)<f'(c),故选A.

9.C　∵函数y=f(x)的图象在x=5处的切线方程是y=-x+8,

∴f'(5)=-1,

又f(5)=-5+8=3,

∴f(5)+f'(5)=3-1=2.故选C.

10.B　由题意得,f'(1)=

=

==2+a.

∵曲线f(x)=x2+ax+b在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,

∴2+a=3,解得a=1.

又∵点(1,1)在曲线y=x2+ax+b上,

∴1+a+b=1,解得b=-1,

∴a=1,b=-1.

故选B.

11.C　f'(x)=

=

=3x2+1.设P(x0,y0),则f'(x0)=3+1=4,所以x0=±1,当x0=1时,f(x0)=0,当x0=-1时,f(x0)=-4,因此P点的坐标为(1,0)或(-1,-4).

12.答案　2x+y-5=0

解析　由题意知,切线的斜率k=-2.

∴在点A(2,1)处的切线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.

13.答案　2x-y-1=0

解析　设切点坐标为(x0,y0),y=f(x)=x2,则由题意可得,切线斜率f'(x0)==2x0=2,所以x0=1,则y0=1,所以切点坐标为(1,1),故所求的直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.

14.解析　=

=

=3xΔx+3x2+(Δx)2,

则=3x2,因此y'=3x2.

设过点M(1,1)的直线与曲线y=x3+1相切于点P(x0,+1),根据导数的几何意义知曲线在点P处的切线的斜率为k=3①,过点M和点P的切线的斜率k=②,由①-②得3=,解得x0=0或x0=,所以k=0或k=,因此过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线有两条,方程分别为y-1=(x-1)和y=1,即27x-4y-23=0和y=1.

能力提升练

1.B　在t0处,虽然有W甲(t0)=W乙(t0),但W甲(t0-Δt)<W乙(t0-Δt),所以在相同时间Δt内,甲厂比乙厂的平均治污率小,所以乙厂治污效果较好.

2.答案　6

解析　

=2=2f'(2)=6.

3.解析　f'(10)=1.5表示服药后10 min时,血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL·min).也就是说,如果保持这一速度,每经过1 min,血液中药物的质量浓度将上升1.5 μg/mL. f'(100)=-0.6表示服药后100 min时,血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/(mL·min).也就是说,如果保持这一速度,每经过1 min,血液中药物的质量浓度将下降0.6 μg/mL.

4.B　如图所示, f'(2)是函数f(x)的图象在x=2(即点A)处切线的斜率k1, f'(3)是函数f(x)的图象在x=3(即点B)处切线的斜率k2,=f(3)-f(2)=kAB是割线AB的斜率.

由图象知0<k2<kAB<k1,即0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2).故选B.

5.D　∵f(x)在a到b之间的平均变化率是,g(x)在a到b之间的平均变化率是,f(b)=g(b),f(a)=g(a),

∴=,

∴A、B错误;

易知函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x0处的导数,即函数f(x)在该点处的切线的斜率,

同理函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数g(x)在该点处的导数,即函数g(x)在该点处的切线的斜率,

由题中图象知C错误,D正确.故选D.

6.AD　由题中图象可知,导函数f'(x)的图象在x轴下方,即f'(x)<0,且其绝对值越来越小,因此过函数f(x)图象上任一点的切线的斜率为负,并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角,由此可得f(x)的大致图象如图所示.

A选项表示x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,即f(x)图象的割线斜率为负,故A正确;B选项表示x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,即f(x) 图象的割线斜率为正,故B不正确;f表示对应的函数值,即图中点B的纵坐标,表示当x=x1和x=x2时所对应的函数值的平均值,即图中点A的纵坐标,显然有f<,故C不正确,D正确.故选AD.

7.D　设点P的横坐标为x0,则点P处的切线倾斜角α与x0的关系为tan α=f'(x0)==2x0+2.

∵α∈,∴tan α∈[1,+∞),

∴2x0+2≥1,即x0≥-,

∴点P的横坐标的取值范围为.

8.答案　x-y+2=0或x+3y-2=0

解析　令y=f(x)=x2,设B(t,t2),

则kAB==2t,

则直线AB的方程为y=2tx-t2.

当t=0时,符合题意,此时A(-2,0),

∴直线m的方程为x-y+2=0.

当t≠0时,A,=,=(t+1,t2-1),

∵PA⊥PB,∴·=0,即(t+1)-(t2-1)=0,解得t=4或t=-1(B,P重合,舍去),此时A(2,0),

∴直线m的方程为x+3y-2=0.

综上,直线m的方程为x-y+2=0或x+3y-2=0.

9.解析　由得故两条曲线的交点坐标为(1,1).两条曲线切线的斜率分别为f'(1)=

==(Δx+2)=2,

g'(1)==

==-1.

所以两条切线的方程分别为y-1=2(x-1),y-1=-(x-1),即y=2x-1与y=-x+2,两条切线与x轴的交点坐标分别为,(2,0),所以两切线与x轴围成的三角形的面积为×1×=.