人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念综合训练题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念综合训练题，共9页。试卷主要包含了单选题，单空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


数系的扩充和复数的概念练习
一、单选题
1. 下列命题中
①若x，y∈C，则x+yi=2+i的充要条件是x=2，y=1；
②纯虚数集相对复数集的补集是虚数集；
③若(z1−z2)2+(z2−z3)2=0，则z1=z2=z3．
正确的命题个数是(    )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 已知复数z=a+(2−b)i的实部和虚部分别是2和3，则a，b的值是(    )
A. 2，5 B. 1，3 C. 2，−1 D. 2，1
3. 若a，b∈R，i是虚数单位，a+2020i=2−bi，则a2+bi=  (    )
A. 2020+2i B. 2020+4i C. 2+2020i D. 4−2020i
4. 若实数x，y满足x+y+(x−y)i=2，则xy的值是(    )
A. 1 B. 2 C. −2 D. −3
5. 设复数z=1+bib∈R，且z2=-3+4i，则z的虚部为(     )
A. 2i B. −2i C. 2 D. −2
6. 已知实数m，n满足(m+ni)(4−2i)=5+3i，则m+n= (    )
A. 95 B. 115 C. 94 D. 114
7. 若复数z满足2z+z=6+i，其中i为虚数单位，则z的实部为(    )
A. −2 B. 2 C. −1 D. 1
8. 若复数z=(m+2)+(m2−9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为(    )
A. −2 B. 3 C. −3 D. ±3
9. 已知方程x2+4x+4+(a+x)i=0(a∈R)有实根b，且z=a+bi，则复数z等于  (    )
A. 2−2i B. 2+2i C. −2+2i D. −2−2i
10. 若1+ai2−i为实数，其中i为虚数单位，则实数a的值为
A. 2 B. −12 C. 12 D. −2
11. 设m∈R，复数z=(1+i)(m−i)在复平面内对应的点位于实轴上，又函数f(x)=mlnx+x，若曲线y=f(x)与直线l:y=2kx−1有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为(  )
A. B.
C. D.
12. 若z1=2+bi，z2=a+i，a，b∈R，则当z1+z2=0时，复数a+bi为(     )
A. 1+i B. 2+i C. 3 D. −2−i
二、单空题
13. 已知x，y∈R，i为虚数单位，若x+3i=(y−2)i，则x+y=_________．
14. 已知z1=−4a+1+(2a2+3a)i，z2=2a+(a2+a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为_________．
15. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=m2−2m−3+(m2+3m+2)i(i为虚数单位)，b=12，c=13，∠ACB=90°，则实数m=____________．
16. 已知α，β∈R，z1=cosα−45+isinα−35，z2=cosβ+isinβ，且z1=z2，则cos(α−β)=_______．
17. 若实数x，y满足(1+i)x+(1−i)y=2，则xy的值是________．
三、解答题
18. 已知复数z=m(m−1)+(m2+2m−3)i，当实数m取什么值时，复数z是(1)零；(2)纯虚数；(3)z=2+5i．







19. 当实数m取什么值时，复数z=m2−m−6+(m2−2m−15)i是下列数？
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数．







20. 分别求满足下列条件的实数x，y的值．
(1)2x−1+(y+1)i=x−y+(−x−y)i；
(2)x2−x−6x+1+(x2−2x−3)i=0．






答案和解析
1.【答案】A
【解答】
解：对于①，若x，y∈C，则x+yi=2+i的充要条件是x=2，y=1，而①中x，y∈C，
故①错误；
对于②， 实数集相对复数集的补集是虚数集，故②错误；
对于③，设z1=1，z2=i，z3=−1，则(z1−z2)2+(z2−z3)2=0，z1，z2，z3不等，故③错误．
2.【答案】C
【解析】解：∵复数z=a+(2−b)i的实部和虚部分别是2和3，
∴a=22−b=3，
解得a=2，b=−1．
∴a，b的值是2，−1．
3.【答案】D
【解答】
解：因为a+2020i=2−bi，所以a=2，b=−2020，
所以a2+bi=4−2020i．
4.【答案】A
【解答】
解：由x+y+(x−y)i=2得x+y=2x−y=0,
所以x=y=1，
∴xy=1．
5.【答案】D
【解答】 
解：∵z2=-3+4i，z=1+bib∈R， 
∴(1+bi)2=-3+4i，1−b2+2bi=-3+4i，
∴1−b2=-3，2b=4，
解得b=2．
即z=1−2i，
则z的虚部为−2．
6.【答案】A
【解答】
解：由(m+ni)(4−2i)=(4m+2n)+(4n−2m)i=3i+5，
得4m+2n=54n−2m=3，解得m=710，n=1110．
∴m+n=710+1110=95．
7.【答案】B
【解答】
解：设z=x+yi(x,y∈R)，则z=x−yi
∵2z+z=6+i，
∴2(x+yi)+x−yi=6+i，即3x+yi=6+i，
∴3x=6，y=1.解得x=2，y=1．
∴z=2+i．
故z的实部为2
8.【答案】B
【解答】
解：依题意应有m2−9=0,m+2>0,解得m=3．
9.【答案】A
【解答】
解：∵方程x2+4x+4+(a+x)i=0(a∈R)有实根b，
∴(b2+4b+4)+(b+a)i=0．
故b2+4b+4=0且b+a=0，
∴b=−2，a=2，z=2−2i，
10.【答案】B
【解答】
解：由题意可设1+ai2−i=b(b∈R)，故1+ai=2b−bi，
所以1=2b，a=−b，所以b=12，a=−12．
11.【答案】A
【解答】
解：∵z=(1+i)(m−i)=(m+1)+(m−1)i在复平面内对应的点位于实轴上，
∴m−1=0，即m=1．
则f(x)=lnx+x，f′(x)=1x+1，
又当x→0时，f(x)→−∞，作出函数f(x)=lnx+x的图象如图：

直线l：y=2kx−1过(0,−1)，设切点为(x0,lnx0+x0)，
则在切点处的切线方程为y−lnx0−x0=(1x0+1)(x−x0)，
把(0,−1)代入，可得−1−lnx0−x0=−1−x0，即lnx0=0，即x0=1．
则2k=2，k=1.而f′(x)=1x+1>1(x>0)，
由图可知，当2k∈(−∞,1]，即k∈(−∞,12]时，曲线y=f(x)与直线l：y=2kx−1有且只有一个公共点，
综上可得，当k∈(−∞,12]∪{1}时，曲线y=f(x)与直线l：y=2kx−1有且只有一个公共点．
12.【答案】D
【解答】
解：由题意，z1+z2=(2+a)+(b+1)i，
当z1+z2=0时，
有2+a=0,b+1=0,即a=−2,b=−1,
∴a+bi=−2−i．
13.【答案】5
【解析】解：因为x+3i=(y−2)i，
所以x=0y−2=3，所以x=0y=5，
所以x+y=5．
14.【答案】0
【解答】
解：∵z1>z2，
∴2a2+3a=0,a2+a=0,−4a+1>2a,即a=0或a=−32,a=0或a=−1,a<16.
故a=0．
15.【答案】−2

【解析】
【解析】
解：由题意知a=c2−b2=5，则m2−2m−3=5m2+3m+2=0，解得m=−2．
16.【答案】12
【解答】
解：由复数相等的充要条件，知cosα−45=cosβ,sinα−35=sinβ,即cosα−cosβ=45①,sinα−sinβ=35②.
由①2+②2得2−2(cos α·cos β+sin α·sin β)=1，即2−2cos(α−β)=1，所以cos(α−β)=12．
所以答案为12．
17.【答案】1
【解答】
解：∵实数x、y满足(1+i)x+(1−i)y=2，
即x+y+(x−y)i=2，
∴x+y=2，x−y=0，
解得x=y=1，
∴xy=1，
故答案为1．
18.【答案】解：(1)由m(m−1)=0,m2+2m−3=0,可得m=1．
(2)由m(m−1)=0,m2+2m−3≠0,可得m=0．
(3)由m(m−1)=2,m2+2m−3=5,可得m=2．
综上，当m=1时，复数z是0；
当m=0时，复数z是纯虚数；
当m=2时，复数z是2+5i．
19.【答案】解：(1)若z=m2−m−6+(m2−2m−15)i是实数，
则有m2−2m−15=0，
解得m=5或−3;
(2)若z=m2−m−6+(m2−2m−15)i是虚数，
则m2−2m−15≠0，
解得m≠5且m≠−3;
(3)若z=m2−m−6+(m2−2m−15)i是纯虚数，
则m2−m−6=0m2−2m−15≠0,
解得m=3或−2．
20.【答案】解：(1)∵x,y∈R，且2x−1+(y+1)i=x−y+(−x−y)i，
∴由复数相等的条件得2x−1=x−yy+1=−x−y,
解得x=3y=−2．
∴x=3,y=−2;
(2)∵x∈R且，
∴由复数相等的条件得x2−x−6x+1=0x2−2x−3=0,
解得x=3．