高中数学人教版新课标A选修2-21.1变化率与导数导学案及答案

                         导数的概念        

 ☆复习目标：1．能根据导数的定义，求函数y=x3, y=的导数

              2．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数

               3．要求能求复合函数。

☻基础热身：

 1. 求下列函数导数

     （1）                （2） 

    （3）                （4）y=          

2.如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数y=f(x)的图象可能是（    ）

3.设，若，则（    ）

            A.             B.              C.           D.

☻知识梳理：

1.两个函数的和、差、积的求导法则

  和差的求导法则：(

即：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的            (或   ).

 积的求导法则：        即：两个函数的积的导数,

              等于        的导数乘以         , 加上       乘以                ；

  商求导法则：，  =（v0）即：两个函数的

             等于    的导数乘以    , 减去     乘以            ，再除以分母的平方.

2. 复合函数的求导法则  形如的函数称为复合函数.

   复合函数求导步骤：分解——求导——回代.    法则：y＇|=     ·      

☆ 案例分析：

例1. ①[（3x2＋1）(4x2－3)]′=（      ）(4x2－3)＋（3x2＋1）（       ）．

②利用导数的定义求函数y=的导数．

      ③设函数。若是奇函数，求。

例2. 求所给函数的导数：

   ①  ②  ③    ④y=   ⑤.

例3. 设是函数的一个极值点.求与的关系

式（用表示），并求的单调区间．

例4.已知函数，求导函数，并确定的单调区间．

例5.已知函数的图象过点（-1，-6），且函数

   的图象关于y轴对称.

   (Ⅰ)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；

   (Ⅱ)若a＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值.

练习                         导数的运算                          

1． 已知f(x)=其中n是正整数，则f′（0）等于（  ）

A．a0n！  B．a0  C．an-1  D．0

2． 若f′(x)=x，则[xf(x)]′等于    （  ）

A．xf(x)＋x  B．f(x)＋x2  C．x2  D．f(x)

3． 下列函数中，导数不等于sin2x的是       （  ）

    A．2－cos2x  B．2＋sin2x   C．sin2x   D．x－cos2x

4．函数y=(2x2－1)2的导数是   （  ）

 A．16x3－4x2  B．4x3－8x  C．16x3－8x  D．16x3－4x

5．曲线y=4x－x2上有两点A（4，0），B（2，4），若曲线上一点P处的切线恰好平行于弦AB，则点P的坐标是  （  ）

 A．（3，3）  B．（1，3）  C．（6，－12）  D．（2，4）

6． 设y=－tanx，则y′=     （  ）

    A． B． C． D．－

7．设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 (      )

A.(-∞,1)   B.(0,1)    C.(1,+∞)    D. [1,+∞) 

8．曲线过点（1，1）处的切线方程为           ．

９．已知f(x)=lnx－x2，则使导函数f′（x）＞0的x的取值范围是       ．

10．函数y=(1＋x)(1＋x2)2的导数是               ．

11．曲线y=x2＋2x与曲线y=－x2－的共切线方程是       ．

12.已知函数的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为x+2y+5=0.

（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；

（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.

13．已知函数处取得极值，并且它

的图象与直线在点（1，0）处相切，求a、b、c的值.

14.已知，求证：.

15. 设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.

（Ⅰ）用表示a，b，c；

（Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.

参考答案:

☻基础热身：

1.略

2. 【标准答案】A
【试题解析】由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负,所以只有答案A满足.

【高考考点】导函数的意义

【易错提醒】导函数的概念不清,不知道两函数之间的关系.

3. 【标准答案】B
【试题解析】∵ ∴

∴由得，选Ｂ

例1.

例2.

例3. f ′(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x,

由f ′(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，

则 f ′(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x

＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.

令f ′(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，

当a<－4时，x2>3＝x1，则

在区间（－∞，3）上，f ′(x)<0， f (x)为减函数；

在区间（3，―a―1）上，f ′(x)>0，f (x)为增函数；

在区间（―a―1，＋∞）上，f ′(x)<0，f (x)为减函数．

例4. 【标准答案】．

  令，得．

  当，即时，的变化情况如下表：

  当，即时，的变化情况如下表：

  所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

在上单调递减．

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．

当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减．

【高考考点】: 导数，导数的应用

【易错提醒】: 公式记忆出错，分类讨论出错

【备考提示】: 大学下放内容，涉及面相对较小，题型种类也较少，易于掌握。

例5. 【标准答案】

解：（1）由函数f(x)图象过点（－1，－6），得m-n=-3, ……①

由f(x)=x3+mx2+nx-2，得f′（x）=3x2+2mx+n,

则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n;

而g(x)图象关于y轴对称，所以－＝0，所以m=-3,

代入①得n=0.

于是f′(x)＝3x2-6x=3x(x-2).

由f′(x)>得x>2或x<0,

故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；

由f′(x)<0得0<x<2,

故f(x)的单调递减区间是（0，2）.

(Ⅱ)由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2),

令f′(x)＝0得x=0或x=2.

当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

由此可得：

当0<a<1时，f(x)在（a-1,a+1）内有极大值f(O)=-2,无极小值；

当a=1时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值；

当1<a<3时，f(x)在（a-1,a+1）内有极小值f(2)＝－6，无极大值；

当a≥3时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值.

综上得：当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值，当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a=1或a≥3时，f(x)无极值.

【试题解析】

【高考考点】本小题主要考察函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.

【易错提醒】对于a的讨论标准找不到或对其讨论不全造成结果错误.

【高考学习网提示】分类讨论思想在数学中是非常重要的思想之一,所以希望能加强这方面的训练.

练习：

1． C．2．B．3．D．４．C．．５．A．6．A．7．C．       8.       9. （0，1）

10．1＋4x＋6x2＋4x3＋5x4．提示：展开后求导．

11．y=x－．提示：写出两曲线的切线方程（含各自的切点坐标），两条切线表示同一条直线时，比较系数即可．

12.. （1）由函数f(x)的图象在点M（－1f(－1)）处的 切线方程为x+2y+5=0，知．

13. 由曲线过（1，0）得① 又+b 则②

③  ……9分. 解①②③得．

14. 设上是增

函数，   当时，同理可证，综上所述当时

15. （I）因为函数，的图象都过点（，0），所以，

    即.因为所以.

 又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以

 而

 将代入上式得  因此故，，

（II）解法一.

当时，函数单调递减.

由，若；若

由题意，函数在（－1，3）上单调递减，则

所以

又当时，函数在（－1，3）上单调递减.

所以的取值范围为

解法二：

 因为函数在（－1，3）上单调递减，且是（－1，3）上的抛物线，

 所以  即解得

 所以的取值范围为．