数学选修2-21.1变化率与导数导学案及答案

学案                   导数的概念           姓名      

 ☆复习目标：1．了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数;

             2．通过函数图象直观地理解导数的几何意义．

☻基础热身：

 1．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取

  值范围为，则点P横坐标的取值范围为（    ）

   A．  B．    C．  D．

2.  如图，函数的图象是折线段，其中

  的坐标分别为，则           ；

              ．（用数字作答）

 3．设曲线在点处的切线与直线垂直， 则      ．

☻知识梳理：

1. 平均变化率：　函数从到的平均变化率＝　　              　．

2. 导数的概念：　函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么相应地有

               10．函数的增量=　　　　　　　　；

             20．函数的平均变化率＝　　　　　　　　；

          30.若存在, 则称为函数在处的瞬时变化率

           也就是f（x）在点x处的导数. 即==                      .

3. 导数的几何意义：  函数在处的导数就是切线的斜率,即=       

4. 导函数：   当变化时,便是的一个函数, 称它为的导函数(简称导数),

            的导函数有时记作,即                  ；

5. 几种常见函数的导数:

 ①    ②  ③;      ④;

⑤;⑥    ⑦;   ⑧.

                 。

   ☆ 案例分析：

例1.已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是（   ）

例2. 已知f(x)=1＋

（1）          求f(x)在区间[1，2]，[，1]上的平均变化率；

（2）          求f(x)在x=1处的瞬时变化率。

例3. ①直线是曲线的一条切线，则实数         。

②设曲线在点处的切线与直线垂直，则（   ）

     A．2      B．        C．       D．

③已知f(x)=x3＋2x2,则=                ．

例4.设，若函数，有大于零的极值点，则（    ）

      A．      B．      C．     D．

例5.设函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求的解析式；

（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积

为定值，并求此定值。

参考答案:

☻基础热身：

1.【答案】A

【解析】本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题。依题设切点的横坐标

为, 且（为点P处切线的倾斜角），又∵，

∴，∴

2. 【标准答案】: 2  -2

【试题分析】: f(0)=4，f(4)=2；由导数的几何意义知－2.

【高考考点】: 函数的图像，导数的几何意义。

【易错提醒】: 概念“导数的几何意义”不清。

3. 【答案】 2【解析】，∴切线的斜率，所以由得

例1. 【标准答案】D
【试题解析】从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同,可以排除B答案,再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小,可明显看出y=f(x)的导函数的值在减小,所以原函数应该斜率慢慢变小,排除AC,最后就只有答案D了,可以验证y=g(x).

【高考考点】导函数的意义

【易错提醒】有的同学只知道导函数反映单调性,却不知道它还可以反映斜率的变化.

例2. （1）－，－2；（2）－1．提示：联想定义．

例3. ①（【答案】

【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法。，令得，故切点为，代入直线方程，得，所以。

②【答案】D

【解析】

③3x2＋3x△x＋（△x）2＋4x＋2△x  ．提示：直接计算．

例4. 【答案】B 

【解析】本题考查导数知识的简单应用及函数、方程知识的综合应用。易求得，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有成立时，显然有，此时，由我们马上就能得到参数的范围为。

例5. 【试题解析】１）方程可化为，当时，；

又，于是，解得，故

（２）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为

，即

令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；

令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；

所以点处的切线与直线所围成的三角形面积为；

故曲线上任一点处的切线与直线所围成的三角形面积为定值，此定值为６；