(湖北版)2021年中考数学模拟练习卷03（含答案）

中考数学模拟练习卷

一．选择题（共10小题，满分30分）

1．|1﹣|=（　　）

A．1﹣ B．﹣1 C．1+ D．﹣1﹣ 

2．工信部发布《中国数字经济发展与就业白皮书（2018）》）显示，2017年湖北数字经济总量1.21万亿元，列全国第七位、中部第一位．“1.21万”用科学记数法表示为（　　）

A．1.21×103 B．12.1×103 C．1.21×104 D．0.121×105 

3．下列运算正确的是（　　）

A．m6÷m2=m3 B．（x+1）2=x2+1 C．（3m2）3=9m6 D．2a3•a4=2a7 

4．在下列四个标志中，既是中心对称又是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D． 

5．如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于（　　）

A．132° B．134° C．136° D．138° 

6．如图是用八块完全相同的小正方体搭成的几何体，从左面看几何体得到的图形是（　　）

A． B． 

C． D． 

7．解分式方程+=3时，去分母后变形正确的是（　　）

A．2+（x+2）=3（x﹣1） B．2﹣x+2=3（x﹣1） 

C．2﹣（x+2）=3 D．2﹣（x+2）=3（x﹣1） 

8．一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（　　）（结果保留小数点后两位）（参考数据：≈1.732，≈1.414）

A．4.64海里 B．5.49海里 C．6.12海里 D．6.21海里 

9．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（　　）

A．y= B．y= C．y=3x+2 D．y=x2﹣3 

10．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，BD为⊙O的直径，若四边形ABCD是平行四边形，则∠ADB的大小为（　　）

A．60° B．45° C．30° D．25° 

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11．若x=2是方程8﹣2x=ax的解，则a=　   　．

12．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为　   　．

13．函数y=的自变量x的取值范围为　   　．

14．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，则BC=　   　cm

15．如图， AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO与⊙O交与点C，BD为⊙O的直径，连接CD，若∠A=30°，OA=2，则图中阴影部分的面积为　   　．

16．矩形纸片ABCD， AB=9，BC=6，在矩形边上有一点P，且DP=3．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为　   　．

三．解答题（共9小题，满分72分）

17．（6分）如果（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2=（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．

求的值．

18．（6分）某水果销售店用1000元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：

（1）这两种水果各购进多少千克？

（2）若该水果店按售价销售完这批水果，获得的利润是多少元？

19．（6分）在今年“五•一”小长假期间，某学校团委要求学生参加一项社会调查活动，八年级学生小明想了解他所居住的小区500户居民的家庭收入情况，从中随机调查了本小区一定数量居民家庭的收入情况（收入取整数，单位：元），并将调查的数据绘制成如下直方图和扇形图，根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）这次共调查了　   　个家庭的收入，a=　   　，b=　   　；

（2）补全频数分布直方图，样本的中位数落在第　   　个小组；

（3）请你估计该居民小区家庭收入较低（不足1000元）的户数大约有多少户？

（4）在第1组和第5组的家庭中，随机抽取2户家庭，求这两户家庭人均月收入差距不超过200元的概率．

20．（6分）如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N．

（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；

（2）已知AF=12，EM=5，求AN的长．

21．（7分）如图，直线y=kx+2与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，与反比例函数y=的图象在第一象限内交于点C（1，n）．

（1）求一次函数y=kx+2与反比例函数y=的表达式；

（2）过x轴上的点D（a，0）作平行于y轴的直线l（a＞1），分别与直线y=kx+2和双曲线y=交于P、Q两点，且PQ=2QD，求点D的坐标．

22．（7分）如图，已知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，⊙A经过点B，与AD边交于点E，连接CE．

（1）求证：直线PD是⊙A的切线；

（2）若PC=2，sin∠P=，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）．

23．（10分）某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：

（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？

24．（11分）正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH．

（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是　   　；

（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；

（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．

25．（13分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，OB=3，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

参考答案

一．选择题

1．B．

2．C．

3．D．

4．C．

5．B．

6．A．

7．D．

8．B．[来源:学§科§网Z§X§X§K]

9．B．

10．C．

二．填空题

11．2．

12．4．

13．x≤3．

14．．

15．﹣．

16．6或2．

三．解答题

17．解：∵（y﹣z）2+（x﹣y）2+（z﹣x）2=（y+z﹣2x）2+（z+x﹣2y）2+（x+y﹣2z）2．

∴（y﹣z）2﹣（y+z﹣2x）2+（x﹣y）2﹣（x+y﹣2z）2+（z﹣x）2﹣（z+x﹣2y）2=0，

∴（y﹣z+y+z﹣2x）（y﹣z﹣y﹣z+2x）+（x﹣y+x+y﹣2z）（x﹣y﹣x﹣y+2z）+（z﹣x+z+x﹣2y）（z﹣x﹣z﹣x+2y）=0，

∴2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz=0，

∴（x﹣y）2+（x﹣z）2+（y﹣z）2=0．

∵x，y，z均为实数，

∴x=y=z．

∴==1．

18．解：（1）设购进甲种水果x千克，则购进乙种水果（140﹣x）千克，根据题意得：

5x+9（140﹣x）=1000，

解得：x=65，

∴140﹣x=75．

答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；

（2）3×65+4×75=495（元）

答：利润为495元．

19．解：（1）2÷5%=40（个），所以这次共调查了40个家庭；[来源:Z§xx§k.Com]

a=6÷40=15%，

第三组的家庭个数=40×45%=18（个），

b=（40﹣2﹣6﹣18﹣9﹣2）÷40=7.5%，

（2）第20个数和第21个数都落在第三组，所以样本的中位数落在第三个小组，

如图，

故答案为40，15%，7.5%；三；

（3）500×（5%+15%）=100（户），

所以估计该居民小区家庭收入较低（不足1000元）的户数大约有100户；

（4）设第1组的2户用A、B表示，第5组的3户用a、b、c表示，

画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中这两户家庭人均月收入差距不超过200元的结果数为8，

所以这两户家庭人均月收入差距不超过200元的概率==．

20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，

∵BM⊥AC，DN⊥AC，[来源:学科网]

∴DN∥BM，

∴四边形BMDN是平行四边形；

[来源:学科网ZXXK]

（2）解：∵四边形BMDN是平行四边形，

∴DM=BN，

∵CD=AB，CD∥AB，

∴CM=AN，∠MCE=∠NAF，

∵∠CEM=∠AFN=90°，

∴△CEM≌△AFN，

∴FN=EM=5，

在Rt△AFN中，AN===13．

21．解：（1）把A（﹣1，0）代入y=kx+2得﹣k+2=0，解得k=2，

∴一次函数解析式为y=2x+2；

把C（1，n）代入y=2x+2得n=4，

∴C（1，4），

把C（1，4）代入y=得m=1×4=4，

∴反比例函数解析式为y=；

（2）∵PD∥y轴，

而D（a，0），

∴P（a，2a+2），Q（a，），

∵PQ=2QD，

∴2a+2﹣=2×，

整理得a2+a﹣6=0，解得a1=2，a2=﹣3（舍去），

∴D（2，0）．

22．解：（1）证明：如图，过A作AH⊥PD，垂足为H．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°，

∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°，

又∵PD=BC，

∴AD=PD，

∴△ADH≌△DPC，

∴AH=CD．

∵CD=AB，且AB是⊙A的半径，

∴AH=AB，即AH是⊙A的半径，

∴PD是⊙A的切线．

（2）如图，在Rt△PDC中，sin∠P==，PC=2，

令CD=2x，PD=3x，由勾股定理得：（3x）2﹣（2x）2=（2）2．

解得：x=2，

∴CD=4，PD=6，

∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，

∵矩形ABCD的面积为6×4=24，Rt△CED的面积为×4×2=4，

扇形ABE的面积为π×42=4π．

∴图中阴影部份的面积为24﹣4﹣4π=20﹣4π．

23．解：（1）根据题意得y=（70﹣x﹣50）（300+20x）=﹣20x2+100x+6000，

∵70﹣x﹣50＞0，且x≥0，

∴0≤x＜20；

（2）∵y=﹣20x2+100x+6000=﹣20（x﹣）2+6125，

∴当x=时，y取得最大值，最大值为6125，

答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元．

24．

解：（1）如图1，连接BE，，

在正方形ABCD中，

AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，

∵点E是DC的中点，DE=DF，

∴点F是AD的中点，

∴AF=CE，

在△ABF和△CBE中，

∴△ABF≌△CBE，

∴∠1=∠2，

∵EH⊥BF，∠BCE=90°，

∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，

∴∠3=∠2，

∴∠1=∠3，

∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，

∴∠4=∠HBC，

∴CH=BC，

又∵AB=BC，

∴CH=AB．

故答案为：CH=AB．

（2）当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论CH=AB仍然成立．

如图2，连接BE，，

在正方形ABCD中，

AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，

∵AD=CD，DE=DF，

∴AF=CE，

在△ABF和△CBE中，

∴△ABF≌△CBE，

∴∠1=∠2，

∵EH⊥BF，∠BCE=90°，

∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，

∴∠3=∠2，

∴∠1=∠3，

∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，

∴∠4=∠HBC，

∴CH=BC，

又∵AB=BC，

∴CH=AB．

（3）如图3，，

∵CK≤AC+AK，

∴当C、A、K三点共线时，CK的长最大，

∵∠KDF+∠ADH=90°，∠HDE+∠ADH=90°，

∴∠KDF=∠HDE，

∵∠DEH+∠DFH=360°﹣∠ADC﹣∠EHF=360°﹣90°﹣90°=180°，

∠DFK+∠DFH=180°，

∴∠DFK=∠DEH，

在△DFK和△DEH中，

∴△DFK≌△DEH，

∴DK=DH，

在△DAK和△DCH中，

∴△DAK≌△DCH，

∴AK=CH

又∵CH=AB，

∴AK=CH=AB，

∵AB=3，

∴AK=3，AC=3，

∴CK=AC+AK=AC+AB=，

即线段CK长的最大值是．

25．解：（1）∵OA=1，OB=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

代入y=﹣x2+bx+c，得

解得　b=2，c=3．

∴抛物线对应二次函数的表达式为：y=﹣x2+2x+3；

（2）如图，设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作CF⊥DQ于点F．

∴PE⊥CD，PE=PA．　

由y=﹣x2+2x+3，得

对称轴为直线x=1，C（0，3）、D（1，4）．

∴DF=4﹣3=1，CF=1，

∴DF=CF，

∴△DCF为等腰直角三角形．

∴∠CDF=45°，

∴∠EDP=∠EPD=45°，

∴DE=EP，

∴△DEP为等腰三角形．

设P（1，m），

∴EP2=（4﹣m）2．　

在△APQ中，∠PQA=90°，

∴AP2=AQ2+PQ2=[1﹣（﹣1）]2+m2

∴（4﹣m）2=[1﹣（﹣1）]2+m2．

整理，得m2+8m﹣8=0

解得，m=﹣4±2．

∴点P的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．

（3）存在点M，使得△DCM∽△BQC．

如图，连结CQ、CB、CM，

∵C（0，3），OB=3，∠COB=90°，

∴△COB为等腰直角三角形，

∴∠CBQ=45°，BC=3．

由（2）可知，∠CDM=45°，CD=，

∴∠CBQ=∠CDM．

∴△DCM∽△BQC分两种情况．

当=时，

∴=，解得　DM=．

∴QM=DQ﹣DM=4﹣=．

∴M1（1，）．

当时，

∴=，解得　DM=3．

∴QM=DQ﹣DM=4﹣3=1．

∴M2（1，1）．

综上，点M的坐标为（1，）或（1，1）．