(河南版)2021年中考数学模拟练习卷03（含答案）

这是一份(河南版)2021年中考数学模拟练习卷03（含答案），共29页。试卷主要包含了﹣3的倒数是，民族图案是数学文化中的一块瑰宝，下列计算，正确的是，点M等内容，欢迎下载使用。

中考数学模拟练习卷
一．选择题（共15小题，满分45分）
1．﹣3的倒数是（　　）
A．3 B． C．﹣ D．﹣3
2．民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列计算，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（　　）
A．0.21×107 B．2.1×106 C．21×105 D．2.1×107
5．如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于（　　）

A．132° B．134° C．136° D．138°
6．点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）
7．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是（　　）
A．6π B．4π C．8π D．4
8．在一次中学生田径运动会上，参加跳远的15名运动员的成绩如下表所示
成绩（米）
4.50
4.60
4.65
4.70
4.75
4.80
人数
2
3
2
3
4
1
则这些运动员成绩的中位数、众数分别是（　　）
A．4.65、4.70 B．4.65、4.75 C．4.70、4.75 D．4.70、4.70
9．如图，已知菱形ABCD，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（　　）

A．16 B．12 C．24 D．18
10．已知a﹣b=1，则a3﹣a2b+b2﹣2ab的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
11．如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（﹣3，1），点B的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（　　）

A．（﹣2，4），（1，3） B．（﹣2，4），（2，3）
C．（﹣3，4），（1，4） D．（﹣3，4），（1，3）
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cosA=，那么AB的长是（　　）
A．3 B． C． D．
13．已知二次函数y=x2+bx﹣9图象上A、B两点关于原点对称，若经过A点的反比例函数的解析式是y=，则该二次函数的对称轴是直线（　　）
A．x=1 B．x= C．x=﹣1 D．x=﹣
14．如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（　　）

A．（） B．（2，﹣1） C．（1，） D．（﹣1．，）
15．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果△ABC是该抛物线的内接格点三角形，AB=3，且点A，B，C的横坐标xA，xB，xC满足xA＜xC＜xB，那么符合上述条件的抛物线条数是（　　）

A．7 B．8 C．14 D．16
　
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
16．比较大小：3　 　（填“＞”、“＜”或“=”）．
17．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为　 　．
18．如图，在△ABC中，DM垂直平分AC，交BC于点D，连接AD，若∠C=28°，AB=BD，则∠B的度数为　 　度．

19．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD=　 　．

20．双曲线y1=、y2=在第一象限的图象如图，过y2上的任意一点A，作x轴的平行线交y1于B，交y轴于C，过A作x轴的垂线交y1于D，交x轴于E，连接BD、CE，则=　 　．

21．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；②MP=BD；③BN+DQ=NQ；④为定值．其中一定成立的是　 　．
　
三．解答题（共8小题，满分48分）
22．（7分）（1）计算：（a﹣b）2﹣a（a﹣2b）；
（2）解方程： =．
23．如图，点D是AB上一点，E是AC的中点，连接DE并延长到F，使得DE=EF，连接CF．
求证：FC∥AB．

24．（4分）如图所示，AB是⊙O的一条弦，DB切⊙O于点B，过点D作DC⊥OA于点C，DC与AB相交于点E．
（1）求证：DB=DE；
（2）若∠BDE=70°，求∠AOB的大小．

25．（8分）随着“互联网+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价）．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表：

时间（分钟）
里程数（公里）
车费（元）
小明
8
8
12
小刚
12
10
16
（1）求x，y的值；
（2）如果小华也用该打车方式，打车行驶了11公里，用了14分钟，那么小华的打车总费用为多少？
26．（8分）为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数是　 　人；
（2）图2中α是　 　度，并将图1条形统计图补充完整；
（3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有　 　人；
（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率．

27．（9分）如图1，▱OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC=3，A（2，1），反比例函数y=（x＞0）的图象经过点B．
（1）求点B的坐标和反比例函数的关系式；
（2）如图2，将线段OA延长交y=（x＞0）的图象于点D，过B，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，
①求直线BD的解析式；
②求线段ED的长度．

28．（9分）如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN．
（1）求证：BN平分∠ABE；
（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；
（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC．

29．如图1，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m＞0，E（0，n）为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB=2BC，画射线OA，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线y=ax2+bx+n（a≠0）过E，A′两点．
（1）填空：∠AOB=　 　°，用m表示点A′的坐标：A′（　 　，　 　）；
（2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P，且=时，△D′OE与△ABC是否相似？说明理由；
（3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为点M，过M作MN⊥y轴，垂足为N：
①求a，b，m满足的关系式；
②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为10，请你探究a的取值范围．

　
















参考答案与试题解析
　
一．选择题
1．﹣3的倒数是（　　）
A．3 B． C．﹣ D．﹣3
【解答】解：∵﹣3×（﹣）=1，
∴﹣3的倒数是﹣．[来源:学+科+网]
故选：C．
2．民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．
故选：D．
3．下列计算，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵=2，
∴选项A不正确；

∵=2，
∴选项B正确；

∵3﹣=2，
∴选项C不正确；

∵+=3≠，
∴选项D不正确．
故选：B．
4．随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（　　）
A．0.21×107 B．2.1×106 C．21×105 D．2.1×107
【解答】解：210万=2.1×106，
故选：B．
5．如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1等于（　　）

A．132° B．134° C．136° D．138°
【解答】解：
过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，
∵∠C=44°，∠AEC为直角，
∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，
∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°，
故选：B．
6．点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）
【解答】解：点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（﹣1，2）．
故选：A．
7．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是（　　）
A．6π B．4π C．8π D．4
【解答】解：根据题目的描述，可以判断出这个几何体应该是个圆柱，且它的底面圆的半径为1，高为2，
那么它的表面积=2π×2+π×1×1×2=6π，故选A．
8．在一次中学生田径运动会上，参加跳远的15名运动员的成绩如下表所示
成绩（米）
4.50
4.60
4.65
4.70
4.75
4.80
人数
2
3
2
3
4
1
则这些运动员成绩的中位数、众数分别是（　　）
A．4.65、4.70 B．4.65、4.75 C．4.70、4.75 D．4.70、4.70
【解答】解：这些运动员成绩的中位数、众数分别是4.70，4.75．
故选：C．
9．如图，已知菱形ABCD，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（　　）

A．16 B．12 C．24 D．18
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=4，
∴以AC为边长的正方形ACEF的周长为：4AC=16．
故选：A．
10．已知a﹣b=1，则a3﹣a2b+b2﹣2ab的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【解答】解：a3﹣a2b+b2﹣2ab=a2（a﹣b）+b2﹣2ab=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2=1．
故选：C．
11．如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（﹣3，1），点B的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（　　）

A．（﹣2，4），（1，3） B．（﹣2，4），（2，3）
C．（﹣3，4），（1，4） D．（﹣3，4），（1，3）
【解答】解：如图所示：作CD⊥x轴于D，作AE⊥x轴于E，作BF⊥AE于F，
则∠AEO=∠ODC=∠BFA=90°，
∴∠OAE+∠AOE=90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA=CO=BA，∠AOC=90°，
∴∠AOE+∠COD=90°，
∴∠OAE=∠COD，
在△AOE和△OCD中，，
∴△AOE≌△OCD（AAS），
∴AE=OD，OE=CD，
∵点A的坐标是（﹣3，1），
∴OE=3，AE=1，
∴OD=1，CD=3，
∴C（1，3），
同理：△AOE≌△BAF，
∴AE=BF=1，OE﹣BF=3﹣1=2，
∴B（﹣2，4）；
故选：A．

12．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cosA=，那么AB的长是（　　）
A．3 B． C． D．
【解答】解：∵cosA=，
∴AB=，
故选：A．
13．已知二次函数y=x2+bx﹣9图象上A、B两点关于原点对称，若经过A点的反比例函数的解析式是y=，则该二次函数的对称轴是直线（　　）
A．x=1 B．x= C．x=﹣1 D．x=﹣
【解答】解：∵A在反比例函数图象上，
∴可设A点坐标为（a，），
∵A、B两点关于原点对称，
∴B点坐标为（﹣a，﹣），
又∵A、B两点在二次函数图象上，
∴代入二次函数解析式可得，
解得或，
∴二次函数对称轴为x=﹣．
故选：D．
14．如图，将边长为2cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（　　）

A．（） B．（2，﹣1） C．（1，） D．（﹣1．，）
【解答】解：作AD⊥y轴于D，作CE⊥y轴于E，如图所示：

则∠ADO=∠OEC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵点A的坐标为（1，），
∴AD=1，OD=，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠AOC=90°，OC=AO，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠3=∠2，
在△OCE和△AOD中，
，
∴△OCE≌△AOD（AAS），
∴OE=AD=1，CE=OD=，
∴点C的坐标为（，﹣1）．
故选：A．

15．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果△ABC是该抛物线的内接格点三角形，AB=3，且点A，B，C的横坐标xA，xB，xC满足xA＜xC＜xB，那么符合上述条件的抛物线条数是（　　）

A．7 B．8 C．14 D．16
【解答】解：如图，开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y=﹣x2+4x，
然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线，可平移6次，
所以，一共有7条抛物线，
同理可得开口向上的抛物线也有7条，
所以，满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是：7+7=14．
故选：C．

　
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
16．比较大小：3　＜　（填“＞”、“＜”或“=”）．
【解答】解：32=9， =10，
∴3＜．
17．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为　﹣1　．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=0，
即：22﹣4（﹣m）=0，
解得：m=﹣1，
故选答案为﹣1．
18．如图，在△ABC中，DM垂直平分AC，交BC于点D，连接AD，若∠C=28°，AB=BD，则∠B的度数为　68　度．

【解答】解：∵DM垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠C=28°，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=28°+28°=56°，
∵AB=BD，
∴∠ADB=∠BAD=56°，
在△ABD中，∠B=180°﹣∠BAD﹣∠ADB=180°﹣56°﹣56°=68°．
故答案为：68．
19．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD=　40°　．

【解答】解：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠ABC=50°，
∴∠CAD=90°﹣∠D=40°．
故答案为：40°．

20．双曲线y1=、y2=在第一象限的图象如图，过y2上的任意一点A，作x轴的平行线交y1于B，交y轴于C，过A作x轴的垂线交y1于D，交x轴于E，连接BD、CE，则=　　．

【解答】解：设A点的横坐标为a，把x=a代入y=得y=，则点A的坐标为（a，），
∵AC⊥y轴，AE⊥x轴，
∴C点坐标为（0，），B点的纵坐标为；E点坐标为（a，0），D点的横坐标为a，
∵B点、D点在y=上，
∴当y=时，x=；当x=a，y=，
∴B点坐标为（，），D点坐标为（a，），
∴AB=a﹣=，AC=a，AD=﹣=，AE=，
∴AB=AC，AD=AE，[来源:Zxxk.Com]
而∠BAD=∠CAD，
∴△BAD∽△CAE，
∴==．
故答案为．
21．如图，边长一定的正方形ABCD，Q为CD上一个动点，AQ交BD于点M，过M作MN⊥AQ交BC于点N，作NP⊥BD于点P，连接NQ，下列结论：①AM=MN；②MP=BD；③BN+DQ=NQ；④为定值．其中一定成立的是　①②③④　．

【解答】解：如图1所示：
作AU⊥NQ于U，连接AN，AC，
∵∠AMN=∠ABC=90°，
∴A，B，N，M四点共圆，
∴∠NAM=∠DBC=45°，∠ANM=∠ABD=45°，
∴∠ANM=∠NAM=45°，
∴AM=MN，故①正确．
由同角的余角相等知，∠HAM=∠PMN，
在△AHM和△MPN中，
，
∴△AHM≌△MPN（AAS），
∴MP=AH=AC=BD，故②正确，
∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，
∴△ADQ绕点A顺时针旋转90度至△ABR，使AD和AB重合，连接AN，
则∠RAQ=90°，△ABR≌△ADQ，
∴AR=AQ，∠RAN=90°﹣45°=45°=∠NAM，
在△△AQN和△ANR中，
，
∴△AQN≌△ANR（SAS），
∴NR=NQ，[来源:学科网ZXXK]
则BN=NU，DQ=UQ，
∴点U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ，故③正确．
如图2所示，作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W，点M是对角线BD上的点，
∴四边形SMWB是正方形，
∴MS=MW=BS=BW，∠SMW=90°，
∴∠AMS=∠NMW，
在△AMS和△NMW中，
，
∴△AMS≌△NMW（ASA），
∴AS=NW，
∴AB+BN=SB+BW=2BW，
∵BW：BM=1：，
∴==，故④正确．
故答案为：①②③④．


　
三．解答题（共8小题，满分48分）
22．（7分）（1）计算：（a﹣b）2﹣a（a﹣2b）；
（2）解方程： =．
【解答】（1）解：原式=a2﹣2ab+b2﹣a2+2ab
=b2．

（2）解：两边乘x（x﹣3）得到2x=3（x﹣3）
解得x=9
经检验，x=9为原方程的根，
所以原方程的解为x=9．
23．如图，点D是AB上一点，E是AC的中点，连接DE并延长到F，使得DE=EF，连接CF．
求证：FC∥AB．

【解答】证明：∵E是AC的中点，
∴AE=CE，
又EF=DE，∠AED=∠FEC，
在△ADE与△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS）．
∴∠EAD=∠ECF．
∴FC∥AB．
24．（4分）如图所示，AB是⊙O的一条弦，DB切⊙O于点B，过点D作DC⊥OA于点C，DC与AB相交于点E．
（1）求证：DB=DE；
（2）若∠BDE=70°，求∠AOB的大小．

【解答】解（1）证明：∵DC⊥OA，
∴∠OAB+∠CEA=90°，
∵BD为切线，
∴OB⊥BD，
∴∠OBA+∠ABD=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠CEA=∠ABD，
∵∠CEA=∠BED，
∴∠BED=∠ABD，
∴DE=DB．
（2）∵DE=DB，∠BDE=70°，
∴∠BED=∠ABD=55°，
∵BD为切线，
∴OB⊥BD，
∴∠OBA=35°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=180°﹣2×35°=110°．
25．（8分）随着“互联网+”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价）．小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表：

时间（分钟）
里程数（公里）
车费（元）
小明
8
8
12
小刚
12
10
16
（1）求x，y的值；
（2）如果小华也用该打车方式，打车行驶了11公里，用了14分钟，那么小华的打车总费用为多少？
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：．
（2）11×1+14×=18（元）．
答：小华的打车总费用是18元．
26．（8分）为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数是　40　人；
（2）图2中α是　54　度，并将图1条形统计图补充完整；
（3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有　330　人；
（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率．

【解答】解：（1）∵自主学习的时间是1小时的有12人，占30%，
∴12÷30%=40，
故答案为：40； …（2分）

（2）×360°=54°，
故答案为：54；
40×35%=14；
补充图形如图：
故答案为：54；

（3）600×=330； …（2分）
故答案为：330；

（4）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，选中小亮A的有6种，
∴P（A）=．…（2分）

27．（9分）如图1，▱OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC=3，A（2，1），反比例函数y=（x＞0）的图象经过点B．
（1）求点B的坐标和反比例函数的关系式；
（2）如图2，将线段OA延长交y=（x＞0）的图象于点D，过B，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，
①求直线BD的解析式；
②求线段ED的长度．

【解答】解：（1）如图1，过点A作AP⊥x轴于点P，
则AP=1，OP=2．[来源:学_科_网]
又∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC=3，
∴B（2，4）．
∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过的B，
∴4=．
∴k=8．
∴反比例函数的关系式为y=．

（2）①点A（2，1），
∴直线OA的解析式为y=x（Ⅰ）．
∵点D在反比例y=（Ⅱ）函数图象上，
联立（Ⅰ）（Ⅱ）解得，或
∵点D在第一象限，
∴D（4，2）．
由B（2，4），点D（4，2），
∴直线BD的解析式为y=﹣x+6．

②如图2，把y=0代入y=﹣x+6，解得x=6．
∴E（6，0），
过点D作DH⊥x轴于H，
∵D（4，2），
∴DH=2，
HE=6﹣4=2，
由勾股定理可得：ED==2．


28．（9分）如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN．
（1）求证：BN平分∠ABE；
（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；
（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC．

【解答】解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵M为BC的中点，
∴AM⊥BC，
在Rt△ABM中，∠MAB+∠ABC=90°，
在Rt△CBE中，∠EBC+∠ACB=90°，
∴∠MAB=∠EBC，
又∵MB=MN，
∴△MBN为等腰直角三角形，
∴∠MNB=∠MBN=45°，
∴∠EBC+∠NBE=45°，∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°，
∴∠NBE=∠ABN，即BN平分∠ABE；

（2）设BM=CM=MN=a，
∵四边形DNBC是平行四边形，
∴DN=BC=2a，
在△ABN和△DBN中，
∵，
∴△ABN≌△DBN（SAS），
∴AN=DN=2a，
在Rt△ABM中，由AM2+MB2=AB2可得（2a+a）2+a2=1，
解得：a=±（负值舍去），
∴BC=2a=；

（3）∵F是AB的中点，
∴在Rt△MAB中，MF=AF=BF，
∴∠MAB=∠FMN，
又∵∠MAB=∠CBD，
∴∠FMN=∠CBD，
∵==，
∴==，
∴△MFN∽△BDC．
29．如图1，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m＞0，E（0，n）为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB=2BC，画射线OA，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线y=ax2+bx+n（a≠0）过E，A′两点．
（1）填空：∠AOB=　45　°，用m表示点A′的坐标：A′（　m　，　﹣m　）；
（2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P，且=时，△D′OE与△ABC是否相似？说明理由；
（3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为点M，过M作MN⊥y轴，垂足为N：
①求a，b，m满足的关系式；
②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为10，请你探究a的取值范围．

【解答】解：（1）∵B（2m，0），C（3m，0），
∴OB=2m，OC=3m，即BC=m，
∵AB=2BC，
∴AB=2m=0B，
∵∠ABO=90°，
∴△ABO为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
由旋转的性质得：OD′=D′A′=m，即A′（m，﹣m）；
故答案为：45；m，﹣m；
（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：
由已知得：A（2m，2m），B（2m，0），
∵=，
∴P（2m， m），
∵A′为抛物线的顶点，
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣m）2﹣m，
∵抛物线过点E（0，n），
∴n=a（0﹣m）2﹣m，即m=2n，
∴OE：OD′=BC：AB=1：2，
∵∠EOD′=∠ABC=90°，
∴△D′OE∽△ABC；
（3）①当点E与点O重合时，E（0，0），
∵抛物线y=ax2+bx+n过点E，A′，
∴，
整理得：am+b=﹣1，即b=﹣1﹣am；
②∵抛物线与四边形ABCD有公共点，
∴抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，
若抛物线过点C（3m，0），此时MN的最大值为10，[来源:Zxxk.Com]
∴a（3m）2﹣（1+am）•3m=0，
整理得：am=，即抛物线解析式为y=x2﹣x，
由A（2m，2m），可得直线OA解析式为y=x，
联立抛物线与直线OA解析式得：，
解得：x=5m，y=5m，即M（5m，5m），
令5m=10，即m=2，
当m=2时，a=；
若抛物线过点A（2m，2m），则a（2m）2﹣（1+am）•2m=2m，
解得：am=2，
∵m=2，
∴a=1，
则抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围为≤a≤1．