高中数学人教版新课标A必修11.3.2奇偶性图片ppt课件

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2 |偶函数、奇函数的图象特征
1.如果一个函数是偶函数,则它的图象是以④    y轴    为对称轴的轴对称图形;反之, 如果一个函数的图象关于⑤    y轴    对称,则这个函数是偶函数.2.如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以⑥　原点    为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以⑦　原点    为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.
1.f(x)是定义在R上的函数,若f(-1)=f(1),则f(x)一定是偶函数. (    ✕　)2.奇函数的图象一定过原点. (    ✕　)3.对于偶函数f(x),恒有f(x)=f(|x|). (　√　)提示:因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=f(|x|),故结论成立.4.f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0. (　√　)提示:因为函数f(x)是奇函数,且f(0)有意义,所以f(-0)=-f(0),即2f(0)=0,所以f(0)=0.5.存在既是奇函数又是偶函数的函数,且不止一个.(　√　)
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” 。
提示:存在f(x)=0,x∈D(定义域D关于原点对称), f(x)既是奇函数又是偶函数,因为D 有无数个,所以这样的函数也有无数个.6.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性一致,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. (　√　)
定义法图象法
判断函数奇偶性的常见方法
(★★☆)判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=|x-2|+|x+2|;(2)f(x)=
解析    (1)函数f(x)=|x-2|+|x+2|的定义域为实数集R,关于原点对称.因为f(-x)=|-x-2|+|-x+2|=|x+2|+|x-2|=f(x),所以函数f(x)=|x-2|+|x+2|是偶函数.(2)函数的定义域为D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D,当x>0时,-x<0,则f(-x)=- = =f(x);当x<0时,-x>0,则f(-x)= =- =f(x).
综上可知,函数f(x)= 是偶函数.
易错警示1.判断奇偶性应先求定义域,必要时在定义域内化简解析式.解题时既要防止不化简解析式,找不到f(-x)与f(x)的关系,无法判断奇偶性,又要防止不求定义域就化简解析式,导致不恒等变形得到错误结论.2.判断分段函数f(x)奇偶性的一般方法是在一个区间上设自变量,再向对称区间转化,并且进行双向验证.解题时一要防止不验证f(0)导致错误,二要防止只判断部分区间上函数具有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)的特征就下结论,导致证明不全面.
跟踪训练1(★★☆)(1)定义在R上的函数f(x),对于任意实数a、b都有f(a+b)=f(a)+f(b).求证:f(x)为奇函数;(2)定义在R上的函数f(x),对于任意实数x1、x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)·f(x2).求证:f(x)为偶函数.思路点拨对函数方程中的变量赋值证明f(-x)±f(x)=0 判断并得出结论.
证明　(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.令a=0,则f(b)=f(0)+f(b),∴f(0)=0.又令a=-x,b=x,则f(0)=f(-x)+f(x)=0,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.(2)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.令x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)·f(x);①令x2=0,x1=x,得f(x)+f(x)=2f(0)·f(x).②由①②得f(x)-f(-x)=0,即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.解题模板　判断抽象函数f(x)的奇偶性,一要运用定义的等价形式:f(x)的定义域关于原点对称, f(x)为奇函数等价于f(-x)+f(x)=0,f(x)为偶函数等价于f(-x)-f(x)=0;二要合理赋值找到常数t0,使f(t0)=0,将证明f(x)为奇函数转化为证明f(-x)+f(x)=f(t0),证明f(x)为偶函数转化为证明f(-x)-f(x)=f(t0).
利用函数奇偶性求函数值或参数值的方法利用函数奇偶性的定义f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)可求函数值;比较f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x) 的系数可求参数值. 利用函数奇偶性求函数解析式的步骤(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设;(2)转化到已知区间上,代入已知的解析式;(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而求出f(x).
利用函数奇偶性解决相关问题
(★★☆)已知函数f(x)= 是奇函数,则a=　1    .解析    解法一:当x<0时,-x>0,f(-x)=-(-x)2+(-x)=-x2-x.又∵f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=x2+x,即ax2+x=x2+x,∴a=1.解法二:由题知f(x)是奇函数,所以f(1)=-f(-1).又f(1)=-1+1=0,f(-1)=a+(-1)=a-1,所以a-1 =0,所以a=1.
跟踪训练2(★★☆)(1)已知f(x)=x5+ax3+bx-8,若f(-3)=10,则f(3)= (    D　)A.26　    B.18　    C.10　    D.-26(2)若函数f(x)= 为奇函数,则a=　-1    .(3)已知函数f(x)(x∈R)是奇函数,且当x>0时, f(x)=2x-1,则函数f(x)的解析式为 f(x)=

解析　(1)由f(x)=x5+ax3+bx-8,得f(x)+8=x5+ax3+bx.令G(x)=x5+ax3+bx=f(x)+8,∵G(-x)=(-x)5+a(-x)3+b(-x)=-(x5+ax3+bx)=-G(x),∴G(x)是奇函数,∴G(-3)=-G(3),
思路点拨(1)令G(x)=x5+ax3+bx 根据G(x)为奇函数,求得G(3)的值求出f(3)的值.(2)根据f(x)为奇函数列出等式f(-x)=-f(x) 利用等式恒成立得出a+1=0 计算求出a的值.(3)由已知写出f(-x) 根据f(x)为奇函数求出x<0时的解析式求出f(0) 写出f(x)的解析式.
∵G(-3)=f(-3)+8=10+8=18,∴G(3)=-18,即G(3)=f(3)+8=-18,∴f(3)=G(3)-8=-26.(2)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即 =- ,显然x≠0,整理得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a,故a+1=0,解得a=-1.(3)设x<0,则-x>0,∴f(-x)=2(-x)-1=-2x-1.又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)=2x+1.又f(x)(x∈R)是奇函数,
∴f(-0)=-f(0),即f(0)=0.∴所求函数的解析式为f(x)= 易错警示　利用奇偶性解题,首先要明确奇偶性,防止奇偶性判断错误导致解题错误;另外在解决奇函数问题时,要注意f(0)是否有意义,防止漏掉x=0的情况导致解题错误.
　　1.若函数f(x)为奇函数,则f(x)在关于原点对称的两个区间[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性;若函数f(x)为偶函数,则f(x)在关于原点对称的两个区间[a,b]和[-b,-a] 上具有相反的单调性. 2.函数的奇偶性与单调性结合可以解决含抽象函数的不等式问题,先用奇偶性将不等式化为f(x1)>f(x2)的形式,再用单调性得到x1>x2(或x1函数单调性与奇偶性的综合运用
(★★☆)设f(x)是偶函数,在区间[a,b]上是减函数,试证明f(x)在区间[-b,-a]上是增函数.证明    设x1,x2是区间[-b,-a]上的任意两个值,且有x1f(-x1).∵f(x)为偶函数,即f(-x)=f(x),∴f(-x2)=f(x2), f(-x1)=f(x1),∴f(x2)>f(x1),∴函数f(x)在区间[-b,-a]上是增函数.
解题模板区间[a,b]和[-b,-a]关于原点对称.1.若f(x)为奇函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最小值-M.2.若f(x)为偶函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最大值M.
跟踪训练3(★★★)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)>0,求x的取值范围.思路点拨思路1:将不等式化为f(|x-1|)>f(2) 由f(x)在[0,+∞)上单调递减得|x-1|<2 解不等式得-1解析　解法一:∵f(x)为偶函数,∴f(x-1)=f(|x-1|),又f(2)=0,∴f(x-1)>0等价于f(|x-1|)>f(2),∵|x-1|∈[0,+∞),且f(x)在[0,+∞)上单调递减,∴|x-1|<2,即-2解得-10时,-2

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