高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式课时作业

课时素养评价 十三

基本不等式的应用

　　　　　　　　　　　　　 (15分钟　35分)

1.已知a>b>0，全集为R，集合M=xb<x<，N={x|<x<a}，P={x|b<x≤}，则M，N，P满足              (　　)

A.P=M∩(RN)    B.P=(RM)∩N

C.P=M∪N     D.P=M∩N

【解析】选A.由a>b>0结合基本不等式可得，a>>>b，

故P=M∩(RN).

2.某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则              (　　)

A.x=    B.x≤

C.x>    D.x≥

【解析】选B.由条件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2，

所以(1+x)2=(1+a)(1+b)≤，

所以1+x≤1+，故x≤.

3.已知a>0，b>0，ab=1，且m=b+，n=a+，则m+n的最小值是 (　　)

A.3   B.4   C.5   D.6

【解题指南】利用“1”的代换解题.

【解析】选B.因为ab=1，所以m=b+=2b，n=a+=2a，所以m+n=2(a+b)≥4=4.

当且仅当a=b=1时，等号成立.

【补偿训练】

　　 若实数a，b满足+=，则ab的最小值为 (　　)

A.   B.2   C.2    D.4

【解析】选C.由题意知a>0，b>0，

则+≥2=，

当且仅当=，即b=2a时等号成立.

所以≥，即ab≥2.

4.周长为+1的直角三角形面积的最大值为_______. 

【解析】设直角三角形的两条直角边边长分别为a，b，

则+1=a+b+≥2+，

解得ab≤，当且仅当a=b=时取等号，

所以直角三角形面积S≤，即S的最大值为.

答案：

5.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=_______. 

【解析】总运费与总存储费用之和

f(x)=4x+×4=4x+≥2=160，当且仅当4x=，即x=20时取等号.

答案：20

6.设a，b，c均为正数，且a+b+c=1.

证明：

(1)ab+bc+ac≤.

(2)++≥1.

【证明】(1)由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

由题设得(a+b+c)2=1，

即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.

所以3(ab+bc+ca)≤1，即ab+bc+ca≤.

(2)因为+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c.

故+++(a+b+c)≥2(a+b+c)，

即++≥a+b+c.所以++≥1.

　　　　　　　　　　　　　 (30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1.若x，y为正数，且+2y=3，则的最大值为(　　)

A.   B.   C.    D.

【解析】选D.由x，y为正数得3=+2y

≥2，所以≤，≤，

当且仅当x=，y=时等号成立.

2.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是              (　　)

A.6.5 m    B.6.8 m

C.7 m     D.7.2 m

【解析】选C.设两直角边分别为a，b，直角三角形框架的周长为l，则ab=2，

所以ab=4，l=a+b+≥2+

=4+2≈6.828(m).

因为要求够用且浪费最少，故应选择7 m长的铁丝.

3.已知a>0，b>0，若不等式+≥恒成立，则m的最大值为 (　　)

A.9   B.12   C.18    D.24

【解析】选B.由+≥

得m≤(a+3b)=++6，

又++6≥2+6=12，当且仅当=，即a=3b时等号成立.所以m≤12，所以m的最大值为12.

【补偿训练】

设a>0，b>0，且不等式++≥0恒成立，则实数k的最小值等于 (　　)

A.0   B.4   C.-4   D.-2

【解析】选C.由++≥0，得k≥，而=++2≥4，

当且仅当a=b时，等号成立，

所以-≤-4，

因此要使k≥-恒成立，应有k≥-4，

即实数k的最小值等于-4.

4.若x，y为正数，则+的最小值是 (　　)

A.3   B.    C.4   D.

【解析】选C.+

=++≥4，

当且仅当即x=y=时等号成立.

【误区警示】同一题目中多次用基本不等式，必须保证每次用时等号成立的条件相同.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5.已知a>0，b>0，a+b=1，对于代数式1+1+，下列说法正确的是(　　)

A.最小值为9

B.最大值是9

C.当a=b=时取得最小值

D.当a=b=时取得最大值

【解析】选AC.=1+1+=·

=5+2≥5+4=9.

当且仅当a=b=时，取等号.

6.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为

100元.以下判断正确的是 (　　)

A.该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低

B.该单位每月最低可获利20 000元

C.该单位每月不获利，也不亏损

D.每月需要国家至少补贴40 000元才能使该单位不亏损

【解析】选AD.由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为=x+-200

≥2-200=200，

当且仅当x=，即x=400时等号成立，

故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元.

设该单位每月获利为S元，

则S=100x-y=100x-

=-x2+300x-80 000=-(x-300)2-35 000，

因为x∈[400，600]，

所以S∈[-80 000，-40 000].故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴

40 000元才能不亏损.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7.在4×□+9×□=60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上_______和_______. 

【解析】设两数分别为x，y，即4x+9y=60，

+=

=≥×(13+12)=，

当且仅当=，且4x+9y=60，即x=6且y=4时，等号成立，

故应分别填上6，4.

答案：6　4

【补偿训练】

　　 设x，y均为正数，且xy+x-y-10=0，则x+y的最小值是_______. 

【解析】由xy+x-y-10=0，得x==+1，

所以x+y=+1+y≥2=6，

当且仅当=1+y，即y=2时，等号成立.

答案：6

8.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L-1)随时间t(单位：h)的变化关系为C=，则经过_______h后池水中该药品的浓度达到最大. 

【解析】C==.

因为t>0，所以t+≥2=4当且仅当t=，即t=2时，等号成立.

所以C=≤=5，即当t=2时，C取得最大值.

答案：2

四、解答题(每小题10分，共20分)

9.已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求

(1)xy的最小值.

(2)x+y的最小值.

【解析】(1)由2x+8y-xy=0，得+=1，

又x>0，y>0，则1=+≥2=，得xy≥64，

当且仅当x=16，y=4时，等号成立.

所以xy的最小值为64.

(2)由2x+8y-xy=0，得+=1，

则x+y=·(x+y)=10++≥

10+2=18.

当且仅当x=12且y=6时等号成立，

所以x+y的最小值为18.

10.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.

(1)求这次行车总费用y关于x的表达式.

(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.

【解析】(1)设所用时间为t=(h)，

y=×2×+14×，x∈[50，100].

所以，这次行车总费用y关于x的表达式是

y=+x，x∈[50，100].

(或y=+x，x∈[50，100]).

(2)y=+x≥26，

当且仅当=x，

即x=18时，等号成立.

故当x=18时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.

1.已知正实数a，b，c满足a2-2ab+9b2-c=0，则当取得最大值时，+-的最大值为_______. 

【解析】正实数a，b，c满足a2-2ab+9b2-c=0，得==

=≤，

当且仅当=，即a=3b时，取最大值.

又因为a2-2ab+9b2-c=0，所以此时c=12b2，

所以+-=+-

=≤=1.

当且仅当a=3，b=1时，等号成立.

故最大值为1.

答案：1

【补偿训练】

　　 设a>b>c>0，则2a2++-10ac+25c2的最小值是 (　　)

A.2   B.4   C.2    D.5

【解析】选B.2a2++-10ac+25c2

=(a-5c)2+a2-ab+ab++

=(a-5c)2+ab++a(a-b)+

≥0+2+2=4，

当且仅当a-5c=0，ab=1，a(a-b)=1时，等号成立，如取a=，b=，c=时满足条件.

2.我们学习了二元基本不等式：设a>0，b>0，≥，当且仅当a=b时，等号成立，利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值.

(1)对于三元基本不等式请猜想：设a>0，b>0，c>0，≥_______，当且仅当a=b=c时，等号成立(把横线补全). 

(2)利用(1)猜想的三元基本不等式证明：

设a>0，b>0，c>0，求证：(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc.

(3)利用(1)猜想的三元基本不等式求最值：

设a>0，b>0，c>0，a+b+c=1，求(1-a)(1-b)(1-c)的最大值.

【解析】(1)对于三元基本不等式猜想：设a>0，b>0，c>0，≥，当且仅当a=b=c时，等号成立.

答案：

(2)因为a>0，b>0，c>0，

又因为a+b+c≥3>0，a2+b2+c2≥

3>0，

所以(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9=9abc，

当且仅当a=b=c时，等号成立.

即(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc，

(3)因为a>0，b>0，c>0，≥，

所以abc≤，

又因为a+b+c=1，

0<1-a<1，0<1-b<1，0<1-c<1，

所以(1-a)(1-b)(1-c)

≤=，

当且仅当a=b=c=时，等号成立.

所以(1-a)(1-b)(1-c)的最大值为.

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