高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式课时练习

  www.ks5u.com课时分层作业(九)　基本不等式的综合应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若x＋在x＝a时取最小值，则a等于(　　)

A．1＋　　　B．1＋　　　C．3　　　D．4

C　[当x>2时，x－2＋＋2≥2＋2＝4，

当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号，所以x＝3，即a＝3，选C.]

2．设x、y为正数，则的最小值为(　　)

A．6    B．9    C．12    D．15

B　[＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9.当且仅当y＝2x时，等号成立．]

3．已知x＋y＝1，x，y∈R＋，则t＝的最小值是(　　)

A．6    B．7    C．8    D．9

D　[∵x＋y＝1，x＞0，y＞0，

∴xy≤，在x＝y＝时取等号．

∴＝＝＋1≥＋1＝9.故选D.]

4．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是　 (　　)

A．80元    B．120元    C．160元    D．240元

C　[设底面相邻两边的边长分别为x m，y m，总造价为T元，则xy·1＝4⇒xy＝4.

T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×4＝160(当且仅当x＝y时取等号).

故该容器的最低总造价是160元．]

5．当x＞2时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，2]     B．(－∞，4]

C．[0，＋∞)    D．[2，4]

B　[∵x＋≥a恒成立，

∴a必须小于或等于x＋的最小值．

∵x＞2，∴x－2＞0.

∴x＋＝(x－2)＋＋2≥4，当且仅当x＝3时取最小值4.

故选择B.]

二、填空题

6．设x，y，z均为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．

3　[由已知，得y＝，

所以＝＝(＋＋6)≥(2＋6)＝3.

当且仅当x＝y＝3z时，取得最小值3.]

7．已知正数x，y满足x＋2y＝1，则的最小值为________．

2＋4　[＝＝＋＋4≥2＋4.当且仅当x＝y时等号成立．]

8．若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．

4　[∵a，b∈R，ab>0，

∴≥＝4ab＋≥2＝4，

当且仅当即时取得等号．

故的最小值为4.]

三、解答题

9．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了旧城拆建工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)

[解]　设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得

y＝2x－＝118－

＝118－

＝130－

≤130－2 ＝130－112＝18(千元)，

当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号．

所以提前11天完工，能使公司获得最大附加效益．

10．当x>3时，求函数y＝的最小值．

[解]　 ∵x>3，∴x－3>0.

又y＝＝＝2(x－3)＋＋12≥2＋12＝24，

当且仅当2(x－3)＝，即x＝6时，上式等号成立．

所以，y＝的最小值为24.

11．若x，y，z均为正实数，则的最大值是(　　)

A．　　　　B．　　　　C．2　　　　D．2

A　[＝≤＝，当且仅当x＝z＝y时，等号成立．]

12．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则的最大值为(　　)

A．9    B．16    C．25    D．36

C　[≤＝＝25，当且仅当x＝y＝4时，等号成立．]

13．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)

A．8    B．6    C．4    D．2

C　[(x＋y)＝1＋a·＋＋a

≥a＋1＋2 ＝a＋2＋1，

当且仅当a·＝时，等号成立，

所以()2＋2＋1≥9，∴≥2，则a≥4.

∴a的最小值为4.]

14．设a＞b＞c，n∈N＋，试求使不等式＋≥成立的n的最大值为________．

4　[∵a－c＞0，要使原不等式成立，

只需＋≥n成立．即＋≥n成立．

也就是2＋＋≥n成立．又＋≥2，

∴n≤4，∴n有最大值为4.]

15．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，

求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．

[解]　 (1)∵x>0，y>0，

∴xy＝2x＋8y≥2，即xy≥8，

∴≥8，即xy≥64.

当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时，“＝”成立．

∴xy的最小值为64.

(2)∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，

∴2x＋8y＝xy，即＋＝1.

∴x＋y＝(x＋y)·(＋)＝10＋＋≥10＋2＝18

当且仅当＝，

即x＝2y＝12时“＝”成立．

∴x＋y的最小值为18.