北师大版八年级上册7 用二元一次方程组确定一次函数表达式教案

这是一份北师大版八年级上册7 用二元一次方程组确定一次函数表达式教案，共5页。教案主要包含了基本目标，重难点目标等内容，欢迎下载使用。

一、基本目标
1．掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式，进一步理解方程与函数的联系．
2．通过对二元一次方程组与一次函数的探究，培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力．
3．在探究的过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神．在合作交流的活动中发展学生的合作意识和团队精神，在探究活动中获得成功的体验．
二、重难点目标
【教学重点】
利用二元一次方程组确定一次函数的表达式．
【教学难点】
数形结合思想．
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P126～P127的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量分段收费办法，若某户居民应交水费y(元)与用水量(x)吨的函数关系如图所示．
(1)分别写出当0≤x≤15和x>15时，y与x的函数关系式；
(2)若某用户十月份用水量为10吨，则应交水费多少元？若该用户十一月份交了51元的水费，则他该月用水多少吨？
解：(1)当0≤x≤15，设y＝k1x.根据题意，得27＝15k1，解得k1＝eq \f(9,5)，所以当0≤x≤15时，y＝eq \f(9,5)x；当x>15时，设y＝k2x＋b.根据题意，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(15k2＋b＝27，,20k2＋b＝39，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k2＝\f(12,5)，,b＝－9，))所以当x>15时，y＝eq \f(12,5)x－9.
(2)当x＝10时，代入y＝eq \f(9,5)x中，得y＝18.
若某用户十月份用水量为10吨，则应交水费18元．
当y＝51时，代入y＝eq \f(12,5)x－9中，得x＝25.
若该用户十一月份交了51元的水费，则他该月用水25吨．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生对学)
【例1】已知直线l1经过点A(0,3)及点B(3,0)，l2经过点M(1,2)及点N(－2，－3)．求l1、l2的交点坐标．
【互动探索】(引发学生思考)怎样求出直线l1、l2的表达式？怎样求直线l1、l2的交点坐标？
【解答】设直线l1的表达式为y＝k1x＋b1，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b1＝3，,3k1＋b1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b1＝3，,k1＝－1.))
故直线l1的表达式为y＝－x＋3，即x＋y＝3.①
设直线l2的表达式为y＝k2x＋b2，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k2＋b2＝2，,－2k2＋b＝－3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k2＝\f(5,3)，,b2＝\f(1,3).))
故直线l2的表达式为y＝eq \f(5,3)x＋eq \f(1,3)，即5x－3y＝－1.②
由①②得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝3，,5x－3y＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2.))
故直线l1、l2的交点坐标是(1,2)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)先用待定系数法求出两条直线的表达式，再把它们组成二元一次方程组求解．也可以用图象法解题，但代数法要比图象法解题准确．
【例2】在平面直角坐标系中，直线l1经过点(2,3)和(－1，－3)，直线l2经过原点，且与直线l1交于点(－2，a)．
(1)试求a的值；
(2)试问(－2，a)可看成是怎样的二元一次方程组的解？
(3)设交点坐标为P，直线l1与y轴交于点A，你能求出△APO的面积吗？试试看．
【互动探索】(引发学生思考)(1)怎样求出直线l1的关系式？点(－2，a)满足直线l1的关系式吗？(2)二元一次方程组的解与一次函数有怎样的关系？怎样确定直线l2的关系式？(3)怎样在直角坐标系中求出三角形的面积？
【解答】(1)设直线l1对应的函数关系式为y＝k1x＋b.
由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2k1＋b＝3，,－k1＋b＝－3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k1＝2，,b＝－1.))
∴直线l1对应的函数关系式为y＝2x－1.
又∵点(－2，a)是直线l1和直线l2的交点，
∴把eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝a))代入y＝2x－1，得a＝2×(－2)－1＝－5.
(2)设直线l2对应的函数关系式为y＝k2x.
∵(－2，－5)是直线l1和直线l2的交点，
∴把eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝－5))代入y＝k2x，解得k2＝eq \f(5,2).
∴直线l2对应的函数关系式为y＝eq \f(5,2)x.
∴(－2，－5)可看成是二元一次方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x－2y＝0，,2x－y＝1))的解．
(3)在平面直角坐标系内画出直线l1、l2的图象如图所示：
由图可知，点A(0，－1)，∴S△APO＝eq \f(1,2)×1×2＝1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题在待定系数法的应用上有所创新，并且把一次函数的图象和三角形面积巧妙地结合起来，既考查了基本知识，又不局限于基本知识．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．已知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－2))和eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1))是二元一次方程ax＋by＋3＝0的两个解，则一次函数y＝ax＋b(a≠0)的解析式为( D )
A．y＝－2x－3B．y＝eq \f(2,7)x＋eq \f(39,7)
C．y＝－9x＋3D．y＝－eq \f(9,7)x－eq \f(3,7)
2．在弹性限度内，弹簧的长度y(厘米)是所挂物体质量x(千克)的一次函数．当所挂物体的质量为1千克时，弹簧长15厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米．则y与x之间的函数关系式为y＝0.5x＋14.5，当所挂物体的质量为4千克时，弹簧的长度为16.5厘米．
3．如图所示，l1和l2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y(元)与照明时间x(小时)的函数关系图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样．(费用＝灯的售价＋电费)
(1)根据图象分别求出l1、l2的函数关系式；
(2)当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？
(3)小亮房间计划照明2500小时，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法．
解：(1)设l1的解析式为y1＝k1x＋b1，l2的解析式为y2＝k2x＋b2.由图可知，l1过点(0,2)，(500,17)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＝b1，,17＝500k1＋b1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k1＝0.03，,b1＝2，))
∴y1＝0.03x＋2(0≤x≤2000)．
由图可知l2过点(0,20)，(500,26)，同理可得，y2＝0.012x＋20(0≤x≤2000)．
(2)若两种费用相等，则y1＝y2，即0.03x＋2＝0.012x＋20，解得x＝1000，∴当x＝1000时，两种灯的费用相等．
(3)时间超过1000小时，故前2000 h用节能灯，剩下的500 h用白炽灯．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点．设k为整数，当直线y＝x－2与y＝kx＋k的交点为整点时，k的值可以取( )
A．4个B．5个
C．6个D．7个
【互动探索】怎样将直线y＝x－2与y＝kx＋k的交点转化为求k的取值问题？
【分析】①当k＝0时，y＝kx＋k＝0，即为x轴，则直线y＝x－2和x轴的交点为(2,0)满足题意．
②当k≠0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－2，,y＝kx＋k，))
∴x－2＝kx＋k，∴(k－1)x＝－(k＋2)．
∵k、x都是整数，k≠1，k≠0，
∴x＝eq \f(－k＋2,k－1)＝－1－eq \f(3,k－1)是整数，∴k－1＝±1或±3，即k＝2或k＝4或k＝－2.
综上所述，k＝0或k＝2或k＝4或k＝－2.故k共有四种取值．
【答案】A
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了一次函数与二元一次方程组，解决本题的难点是根据分数的形式得到相应的整数解．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
利用二元一次方程组确定一次函数表达式的一般步骤：
(1)用含字母的系数设出一次函数的表达式：y＝kx＋b(k≠0)；
(2)将已知条件代入上述表达式中得k、b的二元一次方程组；
(3)解这个二元一次方程组得k、b的值，进而得到一次函数的表达式．
请完成本课时对应练习！