数学八年级上册7 用二元一次方程组确定一次函数表达式学案

这是一份数学八年级上册7 用二元一次方程组确定一次函数表达式学案，共5页。学案主要包含了学习目标，学习过程，思维拓展等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
1. 我要进一步理解二元一次方程和一次函数的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化。
2. 我要了解待定系数法，会用二元一次方程组确定一次函数的表达式。
3. 我会用函数的观点思考实际问题，将其转化为二元一次方程组的问题来解决，体会方程思想与转化思想。
【学习过程】
1．二元一次方程与一次函数的关系
若k，b表示常数且k≠0，则y-kx＝b为二元一次方程，有无数个解；将其变形可得y＝kx＋b，将x，y看作自变量、因变量，则y＝kx＋b是一次函数．事实上，以方程y-kx＝b的解为坐标的点组成的图象与一次函数y＝kx＋b的图象相同．
例1
（1）方程x＋y＝5的解有多少个？写出其中的几个．
（2）在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y＝5-x的图象上吗？
（3）在一次函数y＝5-x的图象上任取一点，它的坐标适合x＋y＝5吗？
（4）以方程x＋y＝5的解为坐标的所有点所组成的图象与一次函数y＝5-x的图象相同吗？
分析：方程x＋y＝5的解有无数个，以这些解为坐标的点组成的图象与一次函数y＝5-x的图象相同，二者是相同的．
解：（1）有无数个．
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝4；))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3；))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝2；))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝5.))
（2）以这些解为坐标的点，都在一次函数y＝5-x的图象上．
（3）适合．
（4）相同．
2．用图象法求二元一次方程组的近似解
用图象法求二元一次方程组的近似解的一般步骤：
（1）先把方程组中两个二元一次方程转化为一次函数的形式：y1＝k1x＋b1和y2＝k2x＋b2；
（2）建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象；
（3）写出这两条直线的交点的横纵坐标，这两个数的值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x，纵坐标是y.
例2 用作图象的方法解方程组：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝3， ①,x＋2y＝－3. ②))
分析：先把两个方程化成一次函数的形式；再在同一直角坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解．
由②，得y＝－eq \f(1,2)x－eq \f(3,2).
在同一直角坐标系内作出一次函数y＝x－3的图象l1和一次函数y＝－eq \f(1,2)x－eq \f(3,2)的图象l2，如图所示．观察图象，得l1和l2交点的坐标为M(1，－2)．
故方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝3，,x＋2y＝－3))的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－2.))
3．利用二元一次方程组确定一次函数的表达式
每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．因此一次函数与二元一次方程组有密切联系．
利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的一般步骤如下：
（1）写出函数表达式：一次函数y＝kx＋b；
（2）把已知条件代入，得到关于k，b的方程组；
（3）解方程组，求出k，b的值，写出其表达式．
例3 已知一次函数y＝ax＋2与y＝kx＋b的图象如图所示，且方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax－y＝－2，,kx－y＝－b))的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1))点B坐标为(0，－1)．你能确定两个一次函数的表达式吗？
分析：根据方程组与一次函数图象的关系，先确定两图象的交点A的坐标，再代入表达式，求出字母a，k，b的值．
解：∵方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax－y＝－2，,kx－y＝－b))的解是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1，))
∴交点A的坐标为(2,1)．
∴点A在函数y＝ax＋2的图象上，2a＋2＝1．
∴a＝－eq \f(1,2).
∵点A(2,1)，点B(0，－1)在函数y＝kx＋b图象上，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2k＋b＝1，,b＝－1.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝1，,b＝－1.))
∴两个一次函数的表达式为y＝－eq \f(1,2)x＋2，y＝x－1．
分析规律
方程组的解与交点坐标
方程组的解就是两个一次函数图象的交点的坐标．
基础知识、基本技能
4．用待定系数法求一次函数的表达式
用待定系数法求一次函数的表达式的方法可归纳为“一设，二列，三解，四还原”．
具体的说明如下：
一设：设出一次函数表达式的一般形式y＝kx＋b(k≠0)；
二列：根据已知两点或已知图象上的两个点坐标列出关于k，b的二元一次方程组；
三解：解这个方程组，求出k，b的值；
四还原：将已求得的k，b的值再代入y＝kx＋b(k≠0)中，从而得到所要求的一次函数的表达式．
确定二元一次方程(组)中字母的取值，是一类常见的题目，解这类问题的基本方法是利用方程(组)的有关知识，得到含有字母系数的方程(组)，然后解这个方程(组)，求出待定字母．
分析规律
求与坐标轴的交点坐标
解答这类问题要切记，函数图象与x轴的交点的纵坐标是0，函数图象与y轴的交点的横坐标是0.
例4 某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5 000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：
（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y(元)是印数x(册)的一次函数，求这个一次函数的解析式(不要求写出x的取值范围)；
（2）如果出版社投入成本48 000元，那么能印该读物多少册？
解：（1）设所求一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5 000k＋b＝28 500，,8 000k＋b＝36 000.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝\f(5,2)，,b＝16 000.))
所以所求的函数关系式为y＝eq \f(5,2)x＋16 000.
（2）将y＝48 000代入y＝eq \f(5,2)x＋16 000中，得
48 000＝eq \f(5,2)x＋16 000.
解得x＝12800.
所以能印该读物12800册．
【思维拓展】
5．利用数形结合法理解二元一次方程组解的三种情况
（1）方程组有唯一一组解：即方程组中的两个二元一次方程有唯一公共解，如方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝3，,x＋y＝5))有唯一一组解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝1.))函数y＝x－3和y＝5－x的图象是两条相交的直线，只有一个交点．
（2）方程组无解：即方程组中的两个二元一次方程没有公共解，如方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝5，,3x＋3y＝5))无解，这类方程组也叫做矛盾方程组．函数y＝5－x和y＝eq \f(1,3)(5－3x)的图象是两条平行直线，无交点．
（3）方程组有无数组解：即方程组中的两个二元一次方程有无数个解，如方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,2x＋2y＝4))有无数组解．函数y＝2－x和y＝eq \f(1,2)(4－2x)的图象是同一条直线．
例5 如图表示两辆汽车行驶路程与时间的关系(汽车B在汽车A后出发)，试回答下列问题：
（1）图中l1，l2分别表示哪一辆汽车的路程与时间的关系？
（2）写出汽车A和汽车B的路程与时间的函数关系式，汽车A和汽车B的速度各是多少？
（3）图中交点是什么意思？
分析：图中l1，l2表示的是一次函数的图象．由图象可知，直线l1经过点(0,0)和(3,100)，直线l2经过点(2,0)和(3,100)，由待定系数法求表达式．
解：（1）l1表示A车的路程与时间的关系，l2表示B车的路程与时间的关系．
（2）汽车A的函数关系式是s＝eq \f(100,3)t，
汽车B的函数关系式是s＝100t－200；
汽车A的速度是eq \f(100,3) km/h，汽车B的速度是100 km/h.
（3）汽车A出发3 h(或汽车B出发1 h)两车相遇，此时两车行驶路程都是100 km.
印数x(册)
5 000
8 000
10 000
15 000
…
成本y(元)
28 500
36 000
41 000
53 500
…