人教A版 (2019)必修第一册5.3 诱导公式第2课时导学案及答案

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这是一份人教A版 (2019)必修第一册5.3 诱导公式第2课时导学案及答案，共8页。

观察单位圆，回答下列问题：
(1)角α与角eq \f(π,2)－α，角α与角eq \f(π,2)＋α的终边有什么关系？
(2)角α与角eq \f(π,2)－α的终边与单位圆的交点P，P1的坐标有什么关系？角α与角eq \f(π,2)＋α的终边与单位圆的交点P，P2的坐标有什么关系？
知识点诱导公式五、六
如何由公式四及公式五推导公式六？
[提示] sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs α.
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－sin α.
诱导公式五、六反映的是角eq \f(π,2)±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( )
(2)sin(90°＋α)＝－cs α.( )
(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))＝－sin α.( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2.(1)已知sin α＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝________；
(2)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝eq \f(1,2)，则cs α＝________.
(1)eq \f(1,3) (2)eq \f(1,2) [(1)∵sin α＝eq \f(1,3)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin α＝eq \f(1,3).
(2)∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs α＝eq \f(1,2)，
∴cs α＝eq \f(1,2).]
类型1 利用诱导公式化简求值
【例1】 (1)已知cs 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )
A．eq \f(1－m2,m) B．eq \r(1－m2)
C．－eq \f(1－m2,m)D．－eq \r(1－m2)
(2)(对接教材P193例题)已知cs(60°＋α)＝eq \f(1,3)，且－180°<α<－90°，则cs(30°－α)的值为( )
A．－eq \f(2\r(2),3)B．eq \f(2\r(2),3)
C．－eq \f(\r(2),3)D．eq \f(\r(2),3)
从角入手，你能发现待求角与已知角之间的内在联系吗？如何借助这种关系选择诱导公式进行化简求值？
(1)B (2)A [(1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)
＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)
＝－cs 31°·(－tan 31°)＝sin 31°
＝eq \r(1－cs231°)＝eq \r(1－m2).
(2)由－180°<α<－90°，得－120°<60°＋α<－30°.又cs(60°＋α)＝eq \f(1,3)>0，所以－90°<60°＋α<－30°，即－150°<α<－90°，
所以120°<30°－α<180°，cs(30°－α)<0，
所以cs(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－eq \r(1－cs260°＋α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)＝－eq \f(2\r(2),3).]
利用互余(互补)关系求值的步骤
(1)定关系．确定已知角与所求角之间的关系，一般常见的互余关系有：eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α；eq \f(π,3)＋α与eq \f(π,6)－α；eq \f(π,4)＋α与eq \f(π,4)－α等．常见的互补关系有：eq \f(π,3)＋α与eq \f(2π,3)－α；eq \f(π,4)＋α与eq \f(3π,4)－α等．
(2)定公式．依据确定的关系，选择要使用的诱导公式．
(3)得结论．根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到结果．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．(1)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))的值为________．
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)π＋α))的值为________．
(1)eq \f(1,2) (2)－eq \f(1,2) [(1)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(π,3)－α))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2).
(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(π,3)＋α))
＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝－eq \f(1,2).]
类型2 利用诱导公式证明恒等式
【例2】 (1)求证：
eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝eq \f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))－1,1－2sin2π＋θ).
(2)求证：eq \f(cs6π＋θsin－2π－θtan2π－θ,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ)))＝－tan θ.
[证明] (1)右边＝eq \f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ))·－sin θ－1,1－2sin2θ)
＝eq \f(2sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))))sin θ－1,1－2sin2θ)
＝eq \f(－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))sin θ－1,1－2sin2θ)
＝eq \f(－2cs θsin θ－1,cs2θ＋sin2θ－2sin2θ)＝eq \f(sin θ＋cs θ2,sin2θ－cs2θ)
＝eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝左边，所以原等式成立．
(2)左边＝eq \f(cs θsin－θtan－θ,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ)))
＝eq \f(cs θsin θtan θ,－sin θcs θ)＝－tan θ＝右边，所以原等式成立．
三角恒等式的证明的策略
(1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．
(2)常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．求证：eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋x)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,2)))tan6π－x)＝－1.
[证明] 因为eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)＋x)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,2)))tan6π－x)
＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,2)＋x)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)－2π))tan－x)
＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x)),－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))tan x)＝eq \f(－sin x,cs xtan x)＝－1
＝右边，所以原等式成立．
类型3 诱导公式的综合应用
【例3】已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3,2)π))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)的值．
[解] 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－eq \f(3,5)，x2＝2，因为－1≤sin α≤1，所以sin α＝－eq \f(3,5).
又α是第三象限角，
所以cs α＝－eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(3,4)，
所以eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α－\f(3,2)π))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)
＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),sin αcs α)·tan2α
＝eq \f(cs α－sin α,sin αcs α)·tan2α
＝－tan2α＝－eq \f(9,16).
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．
二看函数名称：一般是弦切互化．
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,2)－α))＝eq \f(60,169)，且eq \f(π,4)＜α＜eq \f(π,2)，求sin α与cs α的值．
[解] sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))＝－cs α，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,2)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,2)＋α))
＝－sin α，
∴sin α·cs α＝eq \f(60,169)，即2sin α·cs α＝eq \f(120,169).①
又∵sin2α＋cs2α＝1，②
①＋②得(sin α＋cs α)2＝eq \f(289,169)，
②－①得(sin α－cs α)2＝eq \f(49,169).
又∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，
∴sin α＞cs α＞0，即sin α＋cs α＞0，sin α－cs α＞0，
∴sin α＋cs α＝eq \f(17,13)，③
sin α－cs α＝eq \f(7,13)，④
(③＋④)÷2得sin α＝eq \f(12,13)，(③－④)÷2得cs α＝eq \f(5,13).
1．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))<0，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))>0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三角限角D．第四象限角
B [由于sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))＝cs θ<0，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.]
2．(多选)下列与sin θ的值相等的是( )
A．sin(π＋θ) B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))
C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))D．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ))
CD [sin(π＋θ)＝－sin θ；sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝cs θ；
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝sin θ；cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ))＝sin θ.]
3．已知tan θ＝2，则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－csπ－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))－sinπ－θ)等于( )
A．2 B．－2
C．0 D．eq \f(2,3)
B [∵tan θ＝2，
∴eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－θ)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－θ)))＝eq \f(cs θ＋cs θ,cs θ－sin θ)＝eq \f(2cs θ,cs θ－sin θ)＝eq \f(2,1－tan θ)＝eq \f(2,1－2)＝－2.]
4．计算：sin211°＋sin279°＝________.
1 [因为11°＋79°＝90°，所以sin 79°＝cs 11°，
所以原式＝sin211°＋cs211°＝1.]
5．已知cs α＝eq \f(1,5)，且α为第四象限角，那么cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝________.
eq \f(2\r(6),5) [因为cs α＝eq \f(1,5)，且α为第四象限角，
所以sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(2\r(6),5)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－sin α＝eq \f(2\r(6),5).]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．公式一～四和公式五～六的函数名称有什么不同？
[提示] 公式一～四中函数名称不变，公式五～六中函数名称改变．
2．如何用一个口诀描述应用诱导公式化简三角函数式的过程？
[提示] “奇变偶不变、符号看象限”．
学习任务
核心素养
1．了解公式五和公式六的推导方法．
2．能够准确记忆公式五和公式六．(重点、易混点)
3．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(难点)
1．借助诱导公式求值，培养数学运算素养．
2．通过诱导公式进行化简和证明，提升逻辑推理素养.
公式五
公式六
终边
关系
角eq \f(π,2)－α与角α的终边关于直线y＝x对称
角eq \f(π,2)＋α与角α的终边垂直
图形
公式
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs_α，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin_α
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs_α，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin_α