人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试第1课时导学案

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2．3　二次函数与一元二次方程、不等式第1课时　一元二次不等式的解法[目标] 1.知道一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；2.会解一元二次不等式．[重点] 解一元二次不等式．[难点] 对一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系的理解．1．一元二次不等式一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解集一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．[答一答]1．不等式ax2＋2x－3>0一定表示一个一元二次不等式吗？提示：不一定．当a≠0时表示一个一元二次不等式．当a＝0时表示一个一元一次不等式．2．一元二次不等式有哪些常见的形式？提示：任意一个一元二次不等式，总可以化为以下四种形式中的一种：(1)ax2＋bx＋c>0(a>0)；(2)ax2＋bx＋c<0(a>0)；(3)ax2＋bx＋c≥0(a>0)；(4)ax2＋bx＋c≤0(a>0)． 知识点二  二次函数的图象、一元二次方程的解、一元二次不等式的解集之间的关系[填一填][答一答]3．当一个一元二次不等式的解集不是R或∅时，相应不等式的解集与一元二次方程的根有什么关系？提示：设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则有即不等式解集的端点值是相应方程的根．4．函数y＝x2－x－6的判别式Δ>0，该图象与x轴有两个交点，其交点横坐标为－2,3，不等式x2－x－6>0的解集是{x|x<－2或x>3}，不等式x2－x－6<0的解集是{x|－2<x<3}．解析：相应的一元二次方程x2－x－6＝0的判别式Δ＝(－1)2＋4×6＝25>0，故函数图象与x轴有两个交点．由x2－x－6＝0，得x1＝－2，x2＝3，故交点横坐标分别为－2,3.故不等式x2－x－6>0的解集为{x|x<－2或x>3}．不等式x2－x－6<0的解集为{x|－2<x<3}． 
类型一  不含参数的一元二次不等式的解法[例1]　求下列一元二次不等式的解集：(1)x2－3x＋5>0；(2)－6x2－x＋2≥0；(3)－4x2≥1－4x；(4)2x2－4x＋7<0.[解]　(1)∵Δ＝(－3)2－4×5＝－11<0，∴x2－3x＋5>0的解集为R.(2)原不等式可化为6x2＋x－2≤0，∵Δ＝12－4×6×(－2)＝49>0，∴方程6x2＋x－2＝0有两个不同实根，即x1＝－，x2＝，∴原不等式的解集为.(3)原不等式可化为4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0.∴原不等式的解集是.(4)∵Δ＝(－4)2－4×2×7＝－40<0，∴不等式2x2－4x＋7<0的解集为∅.    [变式训练1]　(1)不等式2－x－x2>0的解集是(　D　)A．{x|x<－1或x>1}　　 B．{x|x<－1或x>2}C．{x|－1<x<2}   D．{x|－2<x<1}(2)不等式4x2＋4x＋1>0的解集为.解析：(1)不等式2－x－x2>0可化为x2＋x－2<0.因式分解可得(x－1)(x＋2)<0，对应方程的解为x＝1或x＝－2，则不等式2－x－x2>0的解集是{x|－2<x<1}．(2)注意到4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2≥0，所以不等式的解集为.类型二  含参数的一元二次不等式的解法[例2]　解下列关于x的不等式．(1)(ax－1)(x＋1)>0；(2)m2x2＋2mx－3<0.[解]　(1)若a＝0，则原不等式为一元一次不等式，解集为{x|x<－1}．当a≠0时，方程(ax－1)(x＋1)＝0的两根为x1＝，x2＝－1.当a>0时，解集为{x|x<－1或x>}；当－1<a<0，即<－1时，解集为{x|<x<－1}；当a<－1，即0>>－1时，解集为{x|－1<x<}；当a＝－1时，解集为∅.(2)当m＝0时，－3<0恒成立，解集为R.当m≠0时，二次项系数m2>0，Δ＝16m2>0，不等式化为(mx＋3)(mx－1)<0.当m>0时，解集为{x|－<x<}；当m<0时，解集为{x|<x<－}．  解含参数的一元二次不等式的步骤  [变式训练2]　解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)．解：原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0.对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.(1)当a>0时，x1>x2，不等式的解集为{x|－a<x<2a}；(2)当a＝0时，原不等式化为x2<0，无解；(3)当a<0时，x1<x2，不等式的解集为{x|2a<x<－a}．综上所述，原不等式的解集为：a>0时，解集为{x|－a<x<2a}；a＝0时，解集为∅；a<0时，解集为{x|2a<x<－a}．类型三  三个“二次”间对应关系的应用[例3]　已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．[分析]　由一元二次不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，可知1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根，由韦达定理或把方程的根代入方程求出a，b的值，从而得解．[解]　∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}．∴1,2是x2＋ax＋b＝0的两根．由韦达定理有得代入所求不等式bx2＋ax＋1>0，得2x2－3x＋1>0.由2x2－3x＋1>0⇔(2x－1)(x－1)>0⇔x<或x>1.∴bx2＋ax＋1>0的解集为{x|x<或x>1}．  三个“二次”关系的实质是数形结合思想：ax2＋bx＋c＝0a≠0的解⇔y＝ax2＋bx＋ca≠0图象上的点x，0；ax2＋bx＋c>0a≠0的解集⇔y＝ax2＋bx＋ca≠0图象上的点x，y在x轴上方的x的取值范围.三者之间相互依存相互转化.  [变式训练3]　(1)已知二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－2<x<1}，则a，b的值为(　C　)A．a＝－1，b＝－2　 B．a＝－2，b＝－1C．a＝b＝－   D．a＝1，b＝2(2)若关于x的不等式ax2－6x＋a2>0的解集为{x|1<x<m}，则a＝－3，m＝－3.解析：(1)由题知a<0且－2,1为方程ax2＋bx＋1＝0的两根，由根与系数的关系可求得．(2)由题可知1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的两个根，且a<0.∴解得或(舍去)．1．不等式x(2－x)>0的解集为(　D　)A．{x|x>0}   B．{x|x<2}C．{x|x>2或x<0}   D．{x|0<x<2}解析：原不等式化为x(x－2)<0，故0<x<2.2．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解是(　B　)A．x<－n或x>m   B．－n<x<mC．x<－m或x>n   D．－m<x<n解析：方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，因为m＋n>0，所以m>－n，结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象，得原不等式的解是－n<x<m.故选B.3．若y＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y的图象为(　B　)解析：因为不等式的解集为{x|－2<x<1}，所以a<0，排除C、D，又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.4．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则实数a＝－2，实数b＝3.解析：由题意可知－，2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根且a<0.由根与系数的关系得解得a＝－2，b＝3.5．已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为{x|－<x<}，求－cx2＋2x－a>0的解集．解：由ax2＋2x＋c>0的解集为{x|－<x<}，知a<0，－，为方程ax2＋2x＋c＝0的两个根．由根与系数的关系得－＋＝－，－×＝，解得a＝－12，c＝2.∴－cx2＋2x－a>0，即－2x2＋2x＋12>0，整理得x2－x－6<0，其解集为{x|－2<x<3}．——本课须掌握的两大问题 1．从两个角度看三个“二次”之间的内在联系(1)从函数的角度看(以a>0的二次函数为例)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的值满足y>0时的自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标，要加深理解“一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式”这三个“二次”之间的内在联系．(2)从方程的角度看设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则有即不等式的解集的端点值是相应方程的根．2．解含有参数的一元二次型的不等式的注意事项(1)要以二次项系数与零的大小作为分类标准进行分类讨论；(2)转化为标准形式的一元二次不等式(即二次项系数大于零)后，再以判别式与零的大小作为分类标准进行分类讨论；(3)如果判别式大于零，但两实根的大小还不能确定，此时再以两实根的大小作为分类标准进行分类讨论．