人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第1课时学案及答案

2．2　基本不等式

第1课时　基本不等式

[目标] 1.理解基本不等式的内容及证明；2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小；3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．

[重点] 基本不等式的内容及证明．

[难点] 运用基本不等式证明简单的不等式．

知识点　两个不等式

[填一填]

1．重要不等式：∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

2．基本不等式：如果a，b∈R＋，那么≤，当且仅当a＝b时，等号成立．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

[答一答]

1．下面是基本不等式≤的一种几何解释，请你补充完整．

如图所示，AB为⊙O的直径，AC＝a，CB＝b，过点C作CD⊥AB交⊙O上半圆于D，连接OD，AD，BD.

(1)由射影定理可知，CD＝，而OD＝；

(2)因为OD≥CD，所以≥，当且仅当C与O重合，即a＝b时，等号成立；

(3)基本不等式≤的几何意义是半径不小于半弦．

2．不等式a2＋b2≥2ab和基本不等式≤成立的条件有什么不同？

提示：不等式a2＋b2≥2ab对任意实数a，b都成立；≤中要求a，b都是正实数．

3．(1)基本不等式中的a，b可以是代数式吗？

(2)≥与2≥ab是等价的吗？

提示：(1)可以．但代数式的值必须是正数，否则不成立．

(2)不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R.

类型一  用基本不等式比较大小

[例1]　若0<a<1,0<b<1，且a≠b，试找出a＋b，a2＋b2,2，2ab中的最大者．

[解]　∵0<a<1,0<b<1，且a≠b，

∴a＋b>2，a2＋b2>2ab，∴四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择．

而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，

∵0<a<1,0<b<1，∴a(a－1)<0，b(b－1)<0，

∴a2＋b2－(a＋b)<0，即a2＋b2<a＋b，

∴a＋b最大．

利用基本不等式比较实数大小的注意事项

1利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式和与积，同时要注意结合函数的性质.

2利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.

[变式训练1]　(1)已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是(　D　)

A．a2＋b2>2ab   B．a＋b≥2

C.＋>   D.＋≥2

解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，ab>0只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2，即＋≥2成立．

(2)已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，试比较x，y的大小．

解：a，b是不相等的正数，由x＝得x2＝<＝a＋b，

又∵y＝，即y2＝a＋b，∴x2<y2，即x<y.

类型二  用基本不等式证明不等式

[例2]　(1)已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>＋＋.

(2)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，

求证：≥8.

[分析]　(1)左边是和式，右边是带根号的积式之和，所以用基本不等式，将和变积，并证得不等式．(2)不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式，可得三个“2”连乘，又－1＝＝≥，可由此变形入手．

[证明]　(1)∵a>0，b>0，c>0，

∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，

即a＋b＋c≥＋＋.

由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．

∴a＋b＋c>＋＋.

(2)∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，

∴－1＝＝≥，

同理－1≥，－1≥.

由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得≥··＝8.

当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．

利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项

1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．

2．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．

3．解题时要注意技巧，当不能直接利用基本不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式．

[变式训练2]　已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：＋＋≥9.

证明：＋＋＝＋＋＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)≥3＋2＋2＋2＝9.

当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．

1．给出下列条件：

①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件有(　C　)

A．1个  B．2个

C．3个  D．4个

解析：当，均为正数时，＋≥2，故只须a、b同号即可．所以①③④均可以．

2．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m恒成立，则实数m的取值范围是(　D　)

A．{m|m<6}   B．{m|m≤6}

C．{m|m≤8}   D．{m|m<8}

解析：本题考查基本不等式的应用．x＋2y＝(x＋2y)·＝4＋＋≥4＋2＝8(当且仅当＝，即x＝4，y＝2时等号成立)，所以x＋2y>m恒成立，只需(x＋2y)min>m.所以m<8.故选D.

3．设b>a>0，且a＋b＝1，则四个数，2ab，a2＋b2，b中最大的是(　A　)

A．b   B．a2＋b2

C．2ab   D.

解析：因为b>a>0，所以a2＋b2>2ab.又因为a＋b＝1，所以b>.又b＝b(b＋a)＝b2＋ab>b2＋a2，所以b最大，故选A.

4．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是①③⑤(写出所有正确命题的序号)．

①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.

解析：因为a>0，b>0，a＋b＝2，所以ab≤()2＝1，

所以①恒成立；

＋≤2＝2，所以②不恒成立；

a2＋b2≥＝2，所以③恒成立；

当a＝b＝1时，a3＋b3＝2<3，所以④不恒成立；

＋＝(a＋b)(＋)＝(2＋＋)≥2，

所以⑤恒成立．

5．已知x，y都是正数．

求证：(1)＋≥2；

(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.

证明：(1)∵x，y都是正数，∴>0，>0，

∴＋≥2＝2，即＋≥2，

当且仅当x＝y时，等号成立．

(2)∵x，y都是正数，∴x＋y≥2>0，

x2＋y2≥2>0，x3＋y3≥2>0.

∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3，即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，

当且仅当x＝y时，等号成立．

——本课须掌握的两大问题

1．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b.

2．在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理的拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．