考点09 三角恒等交换-备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练（江苏专用）（解析版）

备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练（江苏专用）

考点9三角恒等交换

一、选择题

1．（2021·全国高三专题练习）已知点在圆上，且，则点的横坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

由题设点，点在圆上，，，

，.

故选：A

2．（2021·全国高三专题练习（文））黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为，这是公认的最能引起美感的比例．我国著名数学家华罗庚以此引入并优化了现如今广泛应用于国内各个领域的“0.618优选法”．黄金分割比，它还可以近似表示为，则的值近似等于（    ）

A． B．1 C．2 D．

【答案】B

【详解】

本题考查两角差的正弦公式、诱导公式．

由题意得，

故选：B．

3．（2021·江苏省滨海中学高三其他模拟）第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，设直角三角形中较大的锐角为，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

解：根据题意，每个直角三角形的两条直角边的长度之差为2、斜边的长度为10，

故设直角三角形较大直角边为，则另一直角边为，

所以，解方程得：，

∴，，则，

∴．

故选：B.

4．（2021·全国高三专题练习）已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α，β的大小关系是（    ）

A．α<<β B．β<<α

C． <α<β D． <β<α

【答案】B

【详解】

∵α为锐角，sin α－cos α＝，∴α>．又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，

∴tan(α＋β)＝，∴α＋β＝，又α>，∴β<<α．

故选：B

5．（2021·全国高三专题练习）tan255°=

A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+

【答案】D

【详解】

详解：=

二、解答题

6．（2021·浙江高三其他模拟）已知函数的图象经过点，．

（1）求的解析式；

（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若为奇函数，且，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【详解】

解：（1）因为点在函数的图象上，所以，

又，所以．因为点在函数的图象上，所以，

则，或，，

则，或，．

又，所以，因此．

（2）由（1）及三角函数图象的平移变换法则得，

因为为奇函数，所以，，则，，

因为，所以，从而，则．因为，所以，

又，所以，

因此，从而．

7．（2021·上海高三二模）设函数，

（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；

（2）设，解关于的不等式.

【答案】（1）答案见解析；（2），.

【详解】

（1）由对数的性质，得，

∴，即，故定义域关于原点对称，

1、偶函数，则有，即，可得，

∴整理得：要使对一切恒成立，在中有.

2、奇函数，则定义域内，任意有，如，

∴，而，，

∴，显然在上不成立，

综上，当时为偶函数；当时既不是奇函数又不是偶函数.

（2）由，代入得，

∴，化简为，展开整理得：，

∵，即，

∴可得

∴解集为，.

一、选择题

1．（2021·全国高三月考（理））化简（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【详解】

原式

．

故选：B．

2．（2021·六盘山高级中学高三期末（理））已知角的终边与单位圆交于点，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

点在单位圆上，则，解得，即

故选：B

3．（2021·全国（文））若关于x的方程在区间上有两个根，，且，则实数m的取值范围是　　

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

解：关于x的方程在区间[0，π）上有两个根x1，x2，

方程即，即，

∴在区间[0，π）上有两个根x1，x2，且|x1-x2|．   

∵x∈[0，π），

求得，故选：B．

4．（2021·甘肃兰州市·高三其他模拟（文））已知，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为，

所以，

又因为，

所以；

故选：C.

5．（2021·北京高三期末）已知函数，则（    ）

A．是偶函数 B．函数的最小正周期为

C．曲线关于对称 D．

【答案】C

【详解】

函数，

由于，即是奇函数，故A错误；

的最小正周期为，故B错误；

由于为最值，即曲线关于对称，故C正确；

由于，，，故D错误；

故选：C.

二、解答题

6．（2021·浙江省杭州第二中学高三其他模拟）已知且满足：.

(1)求的值；

(2)已知函数，若方程在区间内有两个不同的解，求实数的取值范围.

【答案】(1)；(2).

【详解】

(1)由得，，

则；

(2)因，令，则，

，

时，，，即时，，

，是递增的，函数值从增到1，，是递减的，函数值从1减到，

方程在区间内有两个不同的解，即图象与直线y=a的两个不同的公共点，则，

所以实数的取值范围是.

7．（2021·浙江高三二模）已知函数是上的增函数，且图象关于直线对称．

（1）求的值；

（2）当时，若，求．

【答案】（1）；（2）．

【详解】

（1）由题知是上的增函数，

∴，所以．

又∵图象关于直线对称，∴，，

∴，所以．

（2）由（1）知，∴

，

∴，又，所以．

一、选择题

1．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三期末（理））德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为是顶角为的等腰三角形，所以，，

则，，

而，所以，.

故选：C.

2．（2021·全国高三专题练习）函数ƒ(x)＝sin xcos x＋cos 2x的最小正周期和振幅分别是（    ）

A．π，1 B．π，2

C．2π，1 D．2π，2

【答案】A

【详解】

ƒ(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，

所以振幅为1，最小正周期为T＝＝＝π，

故选：A．

3．（2021·全国高三专题练习（理））已知，，其中，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

，，其中，

,当时，

故，解得，，

k=0时,解得，当k=-1时解得.

故选：D.

4．（2021·昆明市·云南师大附中高三月考（文））设函数，则下列结论错误的是（    ）

A．的最大值为  B．的一个零点为

C．的最小正周期为  D．的图象关于直线对称

【答案】B

【详解】

，所以的最小正周期为，的最大值为，C，A正确；当时，，所以的图象关于直线对称，D正确；因为，所以不是函数的零点，B错误，

故选：B.

5．（2021·全国高三专题练习（理））若将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数的单调递减区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

解：将函数

的图象上所有的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，令，求得，

可得的单调递减区间为.

故选：A.

二、解答题

6．（2021·辽宁高三月考）已知函数的最小正周期为．

（I）求函数的解析式；

（II）若先将函数的图象向左平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的零点个数．

【答案】（I）；（II）函数在上有个零点．

【详解】

（I）由题意得：．

∵的最小正周期，故，

∴．

（II）由（I）得：，．

求函数在上的零点个数，即求方程的根的个数．

和的图象，如下图示，

∴在上单调递减，在上单调递增，且，又，

∴由图象知：函数在上有个零点．

7．（2021·上海市崇明中学高三其他模拟）直角坐标系中，锐角的终边与单位圆的交点为，将绕逆时针能转到，使，其中是与单位圆的交点，设的坐标为.

（1）若的横坐标为，求：

（2）求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）的横坐标为.

（2）

，

.