考点12 立体几何初步-备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练（江苏专用）（解析版）

备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练（江苏专用）

考点12立体几何初步

一、选择题

1．（2021·安徽安庆市·安庆一中高三三模（理））是棱长为2的正方体，分别为的中点，过的平面截正方体的截面面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

如图，分析正方体结构可以得知,该截面为一个边长为的正六边形，

此正六边形分成6个全等的三角形，所以其面积为.

故选：C.

2．（2021·全国高考真题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.

【详解】

设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.

故选：B.

3．（2021·山西临汾市·高三其他模拟（理））我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈.问积几何？”题中的“圆亭”是一个几何体，其三视图如图所示，其中正视图和侧视图是高为1丈的全等梯形，俯视图中的两个圆的周长分别是2丈和3丈，取，则该圆亭外接球的球心到上底面的距离为（    ）

A．丈 B．丈 C．丈 D．丈

【答案】B

【分析】

根据三视图可得这个几何体为圆台，由球的截面小圆性质结合圆台外接球半径建立方程组即可得解.

【详解】

由三视图知，这个几何体是上下底的底面圆周长分别为2丈和3丈，高为1丈的圆台，而，

则圆台上下底面圆半径分别为，

由球面的截面小圆性质知，球心在两底面圆圆心确定的直线上，令球半径为R，球心到上底面圆距离为x，

当球心在圆台内时，，，解得，此时；

当球心在圆台外时，，，解得，此时无解，

圆亭外接球的球心到上底面的距离为.

故选：B

4．（2021·全国高三三模）圆锥的高为1，体积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（    ）

A．2 B． C． D．1

【答案】A

【分析】首先根据题意，确定出圆锥的底面圆半径和母线长，从而确定出轴截面的顶角，结合三角形的面积公式可确定其为直角三角形时面积最大.

【详解】

圆锥的高为1，体积为，则底面圆的半径为，母线长为2，

轴截面的顶角为，

当截面为直角三角形时，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积最大，

最大值为，

故选：A．

5．（2021·广东江门市·高三一模）如图，在长方体中，，，为棱上的一点，当取最小值时，的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将侧面、侧面延展至同一平面，使得当、、三点共线时，取最小值，确定点的位置，利用勾股定理可求得的长.

【详解】

如下图所示，将侧面、侧面延展至同一平面，

当、、三点共线时，取最小值，

易知四边形为正方形，则，且为等腰直角三角形，

所以，，在长方体中，，

平面，平面，，

因此，.

故选：D.

二、解答题

6．（2021·全国高三专题练习（文））设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为)，

（1）用斜二测画法画出该几何体的直观图(不写画法)；

（2）求该几何体最长的棱长.

【答案】（1）答案见解析；（2）4.

【分析】（1）直接画出三棱锥即可；

（2）作面，取线段中点为，分别在等腰，，，和中，求出线段长度，得到该几何体最长的棱长．

【详解】

（1）

（2）如下图，面，线段中点为，，，

在等腰中，

在中，

在中，

在中，

面，

在中，

在三梭锥S-ABC中，，

所以最长的棱为AC，长为4

7．（2020·全国高三专题练习（文））如图的长方体.

（1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？

（2）用平面把这个长方体分成两部分后，各部分的几何体还是棱柱吗？若是棱柱指出它们的底面与侧棱.

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.

【详解】

(1)这个长方体是棱柱，是四棱柱，因为它满足棱柱的定义.

(2)截面右侧部分是三棱柱，它的底面是与，

侧棱是、、，截面左侧部分是四棱柱，

它的底面是四边形与四边形，侧棱是、、、.

一、选择题

1．（2021·武汉市第一中学高三二模）已知直线，及平面，，下列命题中正确的是（    ）

A．若，，且，则 B．若，，且，则

C．若，，且，则 D．若，，且，则

【答案】D

【分析】利用线面平行、垂直的判定定理，面面平行、垂直的判定定理，即可得出结论．

【详解】

若，，且，∴，，∴，故A不正确；

若，，且，则或，故B不正确；

若，，且，则有可能，不一定，所以C不正确；

若，，且可以判断是正确的，故D正确，

故选：D．

2．（2021·四川自贡市·高三三模（理））已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列命题中错误的是（    ）

A．AE⊥平面PAB

B．直线PD与平面ABC所成角为45°

C．平面PBC与平面PEF的交线与直线AD不平行

D．直线CD与PB所成的角的余弦值为

【答案】C

【分析】由线面垂直的判定定理可判断A正确；从图中可找到线面角为∠PDA进而可判断B正确；由线面平行的判定定理和性质定理可判断C错误；找到直线CD与PB所成的角并通过计算可判断D正确.

【详解】

对于A：∵PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，∴AE⊥PA，

∵六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，∴AE⊥AB，

∵PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，∴PE⊥平面PAB.故A正确；

对于B：∵六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，

∴ PA⊥AD，PA=AD，∴∠PDA=45°是直线PD与平面ABC所成角.故B正确；

对于C：∵BCEF，平面，平面，所以平面.

设平面PBC与平面PEF的交线为，则，又，所以，故C错误；

对于D：设AB=1，则PA=2，，

∵CDBE，∴∠PBE是是直线CD与PB所成的角(或所成角的补角)，

∴直线CD与PB所成的角的余弦值为.故D正确.

故选：C.

3.（2021·山东高三其他模拟）已知平面α，β，γ，直线m，n，则下列命题中正确的是（    ）

A．若m∥α，n⊂α，则m∥n  B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

C．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l D．若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β

【答案】C

【分析】根据线面平行的性质定理进行判断选项A;根据面面垂直的性质定理可判断选项B；根据线面平行的判定定理判断选项C即可；根据线面垂直的判定定理判断选项D;

【详解】

解：平面α，β，γ，直线m，n，

对于A，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故A错误；

对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故B错误；

对于C，若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则由线面平行的性质得m∥l，故C正确；

对于D，若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m与β不一定垂直，故D错误．

故选：C．

4．（2021·黑龙江实验中学高三其他模拟（文））已知正方体内切球的表面积为，是空间中任意一点：

①若点在线段上运动，则始终有；

②若是棱中点，则直线与是相交直线；

③若点在线段上运动，三棱锥体积为定值；

④为中点，过点，且与平面平行的正方体的截面面积为;

以上命题为真命题的个数为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】根据线面垂直的性质定理证明①是真命题；由图可知直线与是异面直线，故②是假命题；利用等体积转化法得到三棱锥体积等于三棱锥的体积，接着求点到平面的距离和底面面积，从而证明三棱锥体积为定值；做出过点，且与平面平行的正方体的截面为面，最后求其面积即可.

【详解】

因为正方体内切球的表面积为，

设内切球的半径为，则，解得，

所以正方体的棱长为，

因为,且,

所以面，因为面，

所以恒成立，故①是真命题；

由图可知，直线与是异面直线，故②是假命题；

由图可知：因为，三棱锥体积等于三棱锥的体积，

由①知，面，所以点到面的距离为，

因为动点到直线的距离等于1，

所以的面积等于，

所以，故棱锥体积为定值，故③是真命题；

取中点为,中点为,连接，

因为，所以面面,

所以过点，且与平面平行的正方体的截面为面，

由图可知面是菱形，其中对角线长为，

所以，故④是真命题；真命题的个数有3个，

故选：B;

5．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（文））已知在正四面体中，点为棱的中点，则异面直线与成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】取中点，连接，可得即为异面直线与成角，即可求解.

【详解】

取中点，连接，

为，中点，，

即为异面直线与成角，

设正四面体棱长为2，则,

.

故选：A.

二、解答题

6．（2020·福鼎市第二中学高三学业考试）如图，在正方体中，，点P为的中点.

（1）证明：直线平面；

（2）求异面直线与AP所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）连接BD，设AC和BD交于点O，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面PAC.

（2）由，得到为异面直线与所成角，在直角中，即可求解.

【详解】

（1）如图，连接BD，设AC和BD交于点O，则O为BD的中点，

连接PO，因为P是的中点，所以，

又因为平面PAC，平面PAC，所以直线平面PAC.

（2）由（1）知：，所以异面直线与所成角即为PO与所成角，

即为与所成角，

因为，，且，

在直角中，所以，

所以与AP所成角的正弦值为.

7．（2021·全国高三其他模拟（理））如图，已知圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为上底面圆周上一点，且.

（1）求证：；

（2）求平面与圆O面所成的锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】

(1)连接DE，由圆柱的结构特征证得平面即可得解；

(2)作出平面ACE与底面圆O的交线，作出所求二面角平面角即可得解.

【详解】

（1）圆柱中，连接DE，如图：

则母线AD⊥平面CDE，所以，而E在上底面圆周上，且CD是直径，所以，

又，则平面，而平面，所以；

（2）平面ACE圆O面于直线AH，AH交圆O于H，连BH，而AB是底面圆O的直径，则，

由(1)同理可证得，

所以是二面角C-AH-B的平面角，而，

因AH//CE，AB//DC，由等角定理知，

令正方形ABCD边长为2，则BH=1，，，

所以平面ACE与圆O面所成的锐二面角的余弦值为.

一、选择题

1．（2021·湖南永州市·高三其他模拟）在三棱锥中，已知，，，，若三棱锥的外接球的体积为，则三棱锥的体积为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】A

【分析】根据球的体积可得球半径，由为直径长，所以球心是中点，由底面三角形的条件分析得为直角三角形，中点是直角的外心，所以平面，进而由可得解.

【详解】

设球半径为，则，，

而，所以是球的直径，球心是中点，

，所以中点是直角的外心，所以平面，

又平面，所以，

，，，

是中点，所以，

故选A.

2．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）某校开展社会实践活动，学生到工厂制作一批景观灯箱(如图，在直四棱柱上加工，所有顶点都在棱上)，灯箱最上面是正方形，与之相邻的四个面都是全等的正三角形，灯箱底部是边长为a的正方形，灯箱的高度为10a，则该灯箱的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据条件的切割方法，得到切掉了四个以 为棱长，且互相垂直的正三棱锥，拿总的长方体体积减去4个缺口的体积即可得到灯箱的体积.

【详解】

因为灯箱底部是边长为a的正方形，灯箱的高度为10a，所以长方体的体积.
因为灯箱最上面是正方形，与之相邻的四个面都是全等的正三角形，
所以四个缺口相当于切掉了四个以，，为棱长，且互相垂直的正三棱锥，
所以四个缺口的体积，从而该灯箱的体积为.
故选：C

3．（2021·全国高三其他模拟（理））如图所示是某几何体的三视图，图中的四边形都是边长为a的正方形，侧视图和俯视图中的两条虚线都互相垂直，已知几何体的体积为，则a=（    ）

A．3 B． C．2 D．

【答案】C

【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用割补法的应用求出几何体的体积.

【详解】

根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个棱长为a的正方体挖去一个底面为边长为a的长方形，高为的四棱锥构成的几何体；

如图所示：

故=，

解得a=2，

故选：C.

4．（2021·四川自贡市·高三三模（文））已知四面体P﹣ABC中，∠PAC＝∠PBC＝∠ABC＝90°，且AB＝2．若四体P﹣ABC的外接球体积为36π，则当该四面体的体积最大时，BC＝（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【分析】由已知判断出BC⊥平面PAB得BC⊥PA，可得PA⊥平面ABC，取PC中点O， 则O为四面体P﹣ABC的外接球的球心，由已知得外接球的半径R，设PA＝a，BC＝b，得a2+b2＝32，由可得答案．

【详解】

如图，

由∠PAC＝∠PBC＝∠ABC＝90°，得PA⊥AC，PB⊥BC，AB⊥BC，

又PB∩AB＝B，∴BC⊥平面PAB，则BC⊥PA，

又AC∩BC＝C，∴PA⊥平面ABC．

取PC中点O，可得OA＝OB＝OP＝OC，

则O为四面体P﹣ABC的外接球的球心，设外接球的半径为R，

由外接球体积为36π，得，即R＝3．

∴PC＝2R＝6．

又AB＝2，设PA＝a，BC＝b，

则PA2+AC2＝PA2+AB2+BC2＝36，即a2+b2＝32．

∴．

当且仅当a＝b＝4时上式取等号．

故选：B．

5．（2021·江苏南京市·高三一模）钺（yuè）的本字其实是“戊（yuè）”，是一种斧头．在中国古代，长江流域以南的少数民族都被称为越人，由于民族很杂部落众多，也称“百越”，有学者指出，“越人”的“越”，其含义可能由“戊”而来，意指这些都是一帮拿着斧头的人．此外，“戊（wù）”的本意和“戊”一样，也是指斧头．如图是一把斧子，它的斧头由铁质锻造，它的形状可以近似看做由上下两个多面体组合而成，上部是一个长方体，下部是一个“楔（xie）形”，其尺寸如图标注（单位：cm），已知铁的比重为，斧头上用作安装斧柄的洞眼仍看作实心，这只斧头的质量（单位：g）所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题得几何体有一个长方体、一个三棱柱和两个三棱锥组成，分别求出各个部分的体积即得解.

【详解】

由题得几何体有一个长方体、一个三棱柱和两个三棱锥组成，

长方体的体积：；

三棱柱的体积：；

两个三棱锥的体积：；

所以几何体的体积为，

所以这只斧头的质量为.

故选：A

二、解答题

6．（2021·广西高三其他模拟（文））如图，在四棱柱中，，底面是菱形，，平面平面，．

（1）证明：平面．

（2）求四棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）4．

【分析】

（1）取中点E，连结、，根据面面垂直的性质证得平面，再运用线面垂直的判定可得证；

（2）运用三棱锥的体积公式和等积体法可求得答案.

【详解】

（1）证明：取中点E，连结、，∵底面是菱形，∴，

又∵，∴平面，

∵平面，∴，

∵底面是菱形，，E是中点，∴，

∵平面平面，平面平面，∴平面，

∵平面，∴，∵，、平面，

∴平面；

（2）解：由（1）知，平面，则，

∵，∴，

连结，则

．

∴四棱锥的体积为4．

7．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（文））如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，，，且，，.

（1）求证：平面BDE；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）过G作于N，交BE于M，连接DM，可证四边形ADMG为平行四边形，推出，根据线面平行的判定定理，即可得证.

（2）取ED中点F，连接FC，FB，由推出平面ECD，在中求得各个边长，利用等体积法即可求得三棱锥的体积.

【详解】

（1）证明：过G作于N，交BE于M，连接DM，如图所示：

因为，且，

所以N为CE中点，

所以，，，

所以，，

所以四边形ADMG为平行四边形，

所以，又平面BDE，平面BDE，

所以平面BDE.

（2）取ED中点F，连接FC，FB，如图所示

因为，所以

所以平面ECD，

在中，，，

因为F为ED中点，所以

所以，，

三棱锥体积为，