初中数学人教版九年级上册23.1 图形的旋转巩固练习

23.1.2 旋转作图 同步练习

一．单选题（共14题）。

1．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（  ）

A． B． C． D．

2．如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转90°，得到△M1N1P1，则其旋转中心可以是()

A．点E B．点F C．点G D．点H

3．下列图形中，旋转后可以和原图形重合的是 （　　）

A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形

4．如图，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一个边长为1cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（  ）

A． B． C． D．

5．以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．若点A的坐标为（6，3）O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（　　）

A．（3，﹣6） B．（﹣3，6）

C．（﹣3，﹣6） D．（3，6）

7．在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为（  ）

A．（4，-3） B．（-4，3） C．（-3，4） D．（-3，-4）

8．如图，正方形的两边、分别在轴、轴上，点在边上，以为中心，把旋转，则旋转后点的对应点的坐标是(  )

A． B．

C．或 D．或

9．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在轴上，边的中点是坐标原点，将正方形绕点按逆时针方向旋转90°后，点的对应点的坐标是（   ）

A． B． C． D．

10．如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2， 0），则点C的坐标为（ ）

A．（﹣1，） B．（﹣2，） C．（，1） D．（，2）

12．如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去……，若点，.则点的坐标是（  ）

A． B． C． D．

13．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12

14．如图，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在BC边上若，，则CD的长为　　

A． B． C． D．1

二．填空题（共113题）。

15．如图，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒20°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第______秒时，边CD恰好与边AB平行．

16．如图，点A的坐标为（4，2）．将点A绕坐标原点O旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，则过点A′的正比例函数的解析式为_____．

17．在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为__________．

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是__________．

19．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是___________．

20．如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点的坐标为 ，点在轴正半轴上，且．将先绕点逆时针旋转，再向左平移3个单位，则变换后点的对应点的坐标为______．

21．如图,正方形的边长为1,点与原点重合,点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上将正方形绕点逆时针旋转至正方形的位置,与相交于点,则的坐标为____________．

22．等腰三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A（﹣6，0），点B在原点，CA=CB=5，把等腰三角形ABC沿x轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②…依此规律，第15次翻转后点C的横坐标是_____．

23．如图，在直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换，依次得到，则的直角顶点的坐标为__________．

24．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2019次得到正方形，如果点的坐标为（1，0），那么点的坐标为________．

类型六、旋转综合题

25．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转60°得到线段,连接.若,则四边形的面积为____.

26．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为_______度．

27．如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，绕点A旋转后得到，则CE的长度为___．

三．作图题（共4题）。

28．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：

（1）画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的△A1B1C1；

（2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1；

（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形吗？如果是，请直接写出对称轴所在直线的解析式．

29．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上.

（1）    画出△ABC关于直线MN的对称图形△；

（2）    画出△ABC关于点O的中心对称图形△;

（3）    画出△ABC绕点B逆时针旋转900后的图形△．

30．如图所示，在边长为的小正方形组成的网格中．

（1）将沿轴正方向向上平移5个单位长度后，得到，请作出，并求出的长度；

（2）再将绕坐标原点顺时针旋转，得到，请作出，并直接写出点的坐标．

31．如图，已知点，，，在所给的网格中完成下列任务：

（1）画线段，使与垂直且相等，并写出点的坐标________．

（2）将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合，则这个旋转中心的坐标为________．

（3）画出以为对角线的正方形，并写出这个正方形的面积________．

答案解析

1．B

【分析】

如图，作轴于．解直角三角形求出，即可．

【详解】

如图，作轴于．

由题意：，，

，

，，

，

，

故选B．

【点睛】

本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

2．C

【详解】

根据旋转的性质，知：旋转中心，一定在对应点所连线段的垂直平分线上．

则其旋转中心是NN1和PP1的垂直平分线的交点，即点G．

故选C．

3．D

【分析】

根据旋转对称图形性质求出各图的中心角，度数若为60°，即为正确答案.

【详解】

A：正三角形旋转的最小角为：，故选项错误；

B：正方形旋转的最小角为：，故选项错误；

C：正五边形旋转的最小角为：，故选项错误；

D：正六边形旋转的最小角为：，故选项正确.

所以答案为D选项.

【点睛】

本题主要考查了旋转对称图形，熟练掌握相关概念是解题关键.

4．C

【分析】

由题意可知，矩形ABCD的边长AB和BC分别是3cm和2cm，小正方形的边长为1cm，则这个小正方形第一次回到起始位置时需10次翻转，而每翻转4次，它的方向重复依次，小正方形共翻转10次回到起始位置，即可得到它的方向．

【详解】

解：根据题意可得：小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，矩形ABCD的边长AB和BC分别是3cm和2cm，小正方形的边长为1cm，则这个小正方形第一次回到起始位置时需10次翻转，而每翻转4次，它的方向重复1次，故回到起始位置时它的方向是向下．

故选：C．

【点睛】

本题考查了图形类规律题，关键是得出小正方形共翻转10次回到起始位置．

5．B

【分析】

根据旋转的性质，以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，即可得到点Q所在的象限．

【详解】

解：如图，∵点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，

得点Q所在的象限为第二象限．

故选：B．

【点睛】

本题考查了坐标与图形变化-旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．

6．A

【详解】

由图知A点的坐标为（6，3），

根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，

点A′的坐标是（3，﹣6）．故选A．

7．B

【解析】

【分析】

如图，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，由点A坐标则可得OC=3，AC=4，再根据把点A（3，4）逆时针旋转90°得到点B，可得△AOC≌△OBD，根据全等三角形对应边相等则可得OD=AC=4，BD=OC=3，由此即可得点B坐标.

【详解】

如图，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，

∵A（3，4），

∴OC=3，AC=4，

∵把点A（3，4）逆时针旋转90°得到点B，

∴OA=OB，且∠AOB=90°，

∴∠BOD+∠AOC=∠AOC+∠CAO=90°，

∴∠BOD=∠CAO，

在△AOC和△OBD中

，

∴△AOC≌△OBD（AAS），

∴OD=AC=4，BD=OC=3，

∴B（-4，3），

故选B．

【点睛】

考查了图形的旋转，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.

8．C

【分析】

先根据正方形的性质求出BD、BC的长，再分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况，然后分别根据旋转的性质求解即可得．

【详解】

四边形OABC是正方形，

由题意，分以下两种情况：

（1）如图，把逆时针旋转，此时旋转后点B的对应点落在y轴上，旋转后点D的对应点落在第一象限

由旋转的性质得：

点的坐标为

（2）如图，把顺时针旋转，此时旋转后点B的对应点与原点O重合，旋转后点D的对应点落在x轴负半轴上

由旋转的性质得：

点的坐标为

综上，旋转后点D的对应点的坐标为或

故选：C．

【点睛】

本题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识点，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．

9．C

【分析】

根据旋转可得：CB'=CB=2，∠BCB'=90°，可得B'的坐标．

【详解】

如图所示，

由旋转得：CB'=CB=2，∠BCB'=90°，

∵四边形ABCD是正方形，且O是AB的中点，

∴OB=1，

∴B'（2+1，2），即B'（3，2），

故选C．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．

10．D

【解析】

试题分析：根据题意，点A、A′关于点C对称，设点A的坐标是（x，y），则，解得，∴点A的坐标是．故选D．

考点：坐标与图形变化-旋转．

11．A

【分析】

作CH⊥x轴于H，如图，先根据一次函数图象上点的坐标特征确定A（2，2），再利用旋转的性质得BC=BA=2，∠ABC=60°，则∠CBH=30°，然后在Rt△CBH中，利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出CH=BC=，BH=CH=3，所以OH=BH-OB=3-2=1，于是可写出C点坐标．

【详解】

作CH⊥x轴于H，如图，

∵点B的坐标为（2，0），AB⊥x轴于点B，

∴A点横坐标为2，

当x=2时，y=x=2，

∴A（2，2），

∵△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，

∴BC=BA=2，∠ABC=60°，

∴∠CBH=30°，

在Rt△CBH中，CH=BC=，

BH=CH=3，

OH=BH-OB=3-2=1，

∴C（-1，）．

故选A．

12．C

【分析】

首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…，即可得每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B2019的坐标.

【详解】

解:

∵A(,B(0,2),

∴Rt△AOB中，AB=，

∴OA+AB1+B1C2==6

∴B2的横坐标为6，且B2C2=2,即B2(6,2),

∴B4的横坐标为;2=12,

∴点B2018的横坐标为：2018÷2×6=6054，纵坐标为：2，即B2018的坐标是(6054,2),

∴点B2019的横坐标为6054+=6058，

∴点B2019的坐标为(6058,0).

故选C.

【点睛】

本题的考点是坐标与图形变化-旋转，规律型：点的坐标.方法是先根据图形的变化求出已知三角形三边长度，再根据规律求出点的坐标.

13．C

【分析】

此题涉及的知识点是旋转的性质，由旋转的性质，再根据∠BAC=30°，旋转60°，可得到∠BAC1=90°，结合勾股定理即可求解.

【详解】

解：∵△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，

∴∠BAC1=∠BAC+∠CAC1=30°+60°=90°，

AC1=AC=6，

在RtBAC1中，∠BAC=90°，AB=8，AC1=6,

∴，

故本题选择C.

【点睛】

此题重点考查学生对于旋转的性质的理解，也考查了解直角三角形，等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．

14．D

【分析】

解直角三角形求出AB，再求出CD，然后根据旋转的性质可得AB=AD，然后判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BD=AB，然后根据CD=BC-BD计算即可得解．

【详解】

∵∠B=60°，

∴∠C=90°-60°=30°，

∵AC=，

∴AB=AC•tan30°=×=1，

∴BC=2AB=2，

由旋转的性质得，AB=AD，

∴△ABD是等边三角形，

∴BD=AB=1，

∴CD=BC-BD=2-1=1．

故选D．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟记性质并判断出△ABD是等边三角形是解题的关键．

15．10或28.

【详解】

试题解析：①两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E，

∵AB∥CD，

∴∠CEO=∠B=40°，

∵∠C=60°，∠COD=90°，

∴∠D=90°-60°=30°，

∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，

∴旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°，

∵每秒旋转10°，

∴时间为100°÷10°=10秒；

②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO与CD相交于点E，

∵AB∥CD，

∴∠CEO=∠B=40°，

∵∠C=60°，∠COD=90°，

∴∠D=90°-60°=30°，

∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，

∴旋转角为270°+10°=280°，

∵每秒旋转10°，

∴时间为280°÷10°=28秒；

综上所述，在第10或28秒时，边CD恰好与边AB平行．

考点：平行线的判定．

16．y=﹣x或y=-4x

【详解】

分析：直接利用旋转的性质结合平移的性质得出对应点位置，再利用待定系数法求出正比例函数解析式．

详解：当点A绕坐标原点O逆时针旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，

则A′（-3，4），

设过点A′的正比例函数的解析式为：y=kx，

则4=-3k，

解得：k=-，

则过点A′的正比例函数的解析式为：y=-x，

同理可得：点A绕坐标原点O顺时针旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A′，此时A′（1，-4），

设过点A′的正比例函数的解析式为：y=k′x，

则-4=k′，

则过点A′的正比例函数的解析式为：y=-4x.

故答案为y=﹣x或y=-4x.

点睛：此题主要考查了旋转的性质、平移的性质、待定系数法求出正比例函数解析式，正确得出对应点坐标是解题关键．

17．（-4，3）

【分析】

建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点B的坐标即可．

【详解】

如图所示，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（-4，3）．

故答案为（-4，3）．

【点睛】

本题考查了坐标与图形变化-旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．

18．（﹣4，3）．

【解析】

试题分析：

解：如图，过点A作AB⊥x轴于B，过点A′作A′B′⊥x轴于B′，

∵OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，

∴OA=OA′，∠AOA′=90°，

∵∠A′OB′+∠AOB=90°，∠AOB+∠OAB=90°，

∴∠OAB=∠A′OB′，

在△AOB和△OA′B′中，

，

∴△AOB≌△OA′B′（AAS），

∴OB′=AB=4，A′B′=OB=3，

∴点A′的坐标为（﹣4，3）．

故答案为（﹣4，3）．

考点：坐标与图形变化-旋转

19．（2，10）或（﹣2，0）

【解析】

∵点D（5，3）在边AB上，∴BC=5，BD=5﹣3=2，

①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′=2，所以，D′（﹣2，0），

②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，所以，D′（2，10），

综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．

20．

【分析】

先求出点A的坐标，然后根据旋转的性质求出旋转后点A的对应点的坐标，继而根据平移的性质即可求得答案.

【详解】

∵点的坐标为，，

∴点的坐标为，

如图所示，将先绕点逆时针旋转90°，

则点的坐标为，
再向左平移3个单位长度，则变换后点的对应点坐标为，

故答案为．

【点睛】本题考查了平移变换、旋转变换，熟练掌握平移的性质以及旋转的性质是解题的关键.

21．

【解析】

分析：连接AM，由旋转性质知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，证Rt△ADM≌Rt△AB′M得∠DAM=∠B′AD=30°，由DM=ADtan∠DAM可得答案．

详解：如图，连接AM，

∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′，

∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，

∴∠B′AD=60°，

在Rt△ADM和Rt△AB′M中，

∵，

∴Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL），

∴∠DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°，

∴DM=ADtan∠DAM=1×=，

∴点M的坐标为（-1，），

故答案为（-1，）．

点睛：本题主要考查旋转的性质、正方形的性质，解题的关键是掌握旋转变换的不变性与正方形的性质、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用．

22．77

【解析】

【详解】

由题意可得，每翻转三次与初始位置的形状相同，15÷3=5，故第15次翻转后点C的横坐标是：（5+5+6）×5﹣3=77.

考点：1.坐标与图形变化-旋转；2.等腰三角形的性质．

23．

【分析】

根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2019除以3，根据商为673可知第2019个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．

【详解】

解：∵点A（-3，0）、B（0，4），
∴AB==5，
由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，
∵2019÷3=673，
∴△2019的直角顶点是第673个循环组的最后一个三角形的直角顶点，
∵673×12=8076，
∴△2019的直角顶点的坐标为（8076，0）．

故答案为（8076，0）.

【点睛】

本题主要考查了点的坐标变化规律，仔细观察图形得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．

24．

【分析】

根据图形可知：点B在以O为圆心,以OB为半径的圆上运动,由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45∘后得到正方形OA1B1C1,相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45∘，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论.

【详解】

∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴B(1,1),连接OB，

由勾股定理得：OB=，

由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3=…=，

∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45∘后得到正方形OA1B1C1，

相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45∘,依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45∘，

∴B1(0,),B2(−1,1),B3(−,0)，…，

发现是8次一循环，所以2019÷8=252…3，

∴点B2019的坐标为(−,0)

【点睛】

本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连接线段的夹角等于旋转角，也考查了坐标与图形的变化、规律型、点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法.

26．24+9．

【详解】

解：如图，连结PQ，

根据等边三角形的性质得∠BAC=60°，AB=AC，

再根据旋转的性质得AP=PQ=6，∠PAQ=60°，

即可判定△APQ为等边三角形，所以PQ=AP=6；

在△APC和△ABQ中，AB=AC，∠CAP=∠BAQ，AP=PQ，

利用SAS判定△APC≌△ABQ，

根据全等三角形的性质可得PC=QB=10；

在△BPQ中，已知PB2=82=64，PQ2=62，BQ2=102，即PB2+PQ2=BQ2，

所以△PBQ为直角三角形，∠BPQ=90°，

所以S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ=×6×8+×62=24+9．

故答案为：24+9．

【点睛】

本题考查旋转的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质．

26．15

【分析】

根据旋转的性质知∠DFC=60°，再根据EF=CF，EC⊥CF知∠EFC=45°，故∠EFD=∠DFC-∠EFC=15°.

【详解】

∵△DCF是△BCE旋转以后得到的图形，

∴∠BEC=∠DFC=60°，∠ECF=∠BCE=90°，CF=CE．

又∵∠ECF=90°，

∴∠EFC=∠FEC=（180°﹣∠ECF）=（180°﹣90°）=45°，

故∠EFD=∠DFC﹣∠EFC=60°﹣45°=15°．

【点睛】

此题主要考查正方形的性质，解题的关键是熟知等腰直角三角形与正方形的性质.

27．2

【解析】

等边三角形的性质，旋转的性质．

由在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，根据等边三角形三边相等的性质，即可求得 BD=BC= AB =2．由旋转的性质，即可求得CE=BD=2．

28．（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）是，y=x．

【解析】

试题分析：（1）根据平移变换点的坐标的变化规律在网格中确定出点A1、B1、C1位置顺次连接即可；

（2）根据旋转的性质在网格中确定出点D1、E1、F1位置顺次连接即可；

（3）根据轴对称图形的概念确定对称轴，然后再求对称轴所在直线的解析式．

试题解析：（1）见下图；（2）见下图；△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形，对称轴为直线y=x和直线y=-x-2．

考点：平移变换；旋转变换；轴对称图形．

29．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析

【分析】

（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线MN的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C关于点O中心对称的点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据网格结构找出点A、C绕点B逆时针旋转90°后的对应点A3、C3的位置，再与点C顺次连接即可．

【详解】

解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求；

（2）如图所示：△A2B2C2即为所求；

（3）如图所示：△A3BC3即为所求．

【点睛】

本题考查了利用轴对称变换作图，利用中心对称作图，利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键.

30．【答案】（1）画图见解析，A1B1＝cm；（2）画图见解析，B2（4，-4）

【解析】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1B1＝cm；

（2）如图，△A2B2C2即为所求，B2（4，-4）．

31．【答案】（1）见解析，；（2）（4,2）或者（1,5）；（3）

【分析】

（1）根据 CD 与 AB 垂直且相等，通过数形结合即可得出答案；

（2）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心；

（3）正方形的面积等于对角线乘积的一半，即可得出答案．

【详解】

解：（1）如图当 CD 与 AB 垂直且相等时，

:
 

D 点坐标为(6,6)．故答案为：．
（2）若点 A 与C点重合，点 B 与点 D 重合，则旋转中心是 P 点P (4,2)．
 

若点 A 与D点重合，点 B 与点 C重合，则旋转中心是 P 点，P (1,5)．

这个旋转中心坐标为（4,2）或者（1,5）；
（3）以CD为对角线的正方形CEDF如图所示，

∵

∴

∴这个正方形的面积为10．

故答案为：10．