人教版新课标A选修1-12.2双曲线练习

2021年高中数学选修

《圆锥曲线-椭圆》同步精选

一、选择题

1.已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，(3,0)，则该椭圆的焦点坐标是(　　)

A.(±1,0)         B.(0，±1)        C.(±，0)         D. (0，±)

2.若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点（2.5，-1.5），则该椭圆的方程是(　　)

A.＋=1　　B.＋=1    C.＋=1         D.＋=1

3.若焦点在x轴上的椭圆的方程是＋=1，则该椭圆焦距的取值范围是(　　)

A.(0，)       B.(0,6)      C.(0,2)       D. (0,12)

4.若方程＋=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　)

A.－9<m<25         B.8<m<25       C.16<m<25         D. m>8

5.若方程＋=1表示焦点在y轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是(　　)

A.(，)       B.[，)      C.(，)      D. [，)

6.设P是椭圆＋=1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是(　　)

A.锐角三角形    B.直角三角形   C.钝角三角形     D.等腰直角三角形

7.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程是(　　)

A.＋=1　     B.＋=1      C.＋=1        D.＋=1

8.直线l：kx－y－k=0与椭圆＋=1的位置关系是(　　)

A.相交        B.相离       C.相切        D.不确定

9.曲线＋=1与曲线＋=1(k<9)的(　　)

A.长轴长相等     B.短轴长相等   C.离心率相等    D.焦距相等

10.椭圆6x2＋y2=6的长轴端点坐标为(　　)

A.(－1,0)，(1,0)          B.(－6,0)，(6,0)

C.(－，0)，(，0)     D. (0，－)，(0，)

11.已知F1，F2是椭圆的两个交点，过F1的直线与椭圆交于M,N两点，则△MNF2的周长为（   ）

A.16              B.8            C.25                 D.32

12.经过椭圆＋y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点.设O为坐标原点，

则·等于(　　)

A.－3        B.－          C.－或－3        D.±

二、填空题

13.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________.

14.已知椭圆的标准方程为＋=1(m>0)并且焦距为6，则实数m的值为__________.

15.在平面直角坐标系中，椭圆＋=1(a>b>0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径作圆，过点(，0)作圆的两切线互相垂直，则离心率e=__________.

16.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是__________.

三、解答题

17.已知椭圆＋=1上一点M的纵坐标为2.

(1)求M的横坐标；

(2)求过M且与＋=1共焦点的椭圆的方程．

18.如图，圆C：(x＋1)2＋y2=16及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，

求点M的轨迹方程.

19.如图，已知P是椭圆＋=1(a>b>0)上且位于第一象限的一点，F是椭圆的右焦点，O是椭圆中心，B是椭圆的上顶点，H是直线x=－(c是椭圆的半焦距)与x轴的交点，若PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率e.

20.已知椭圆＋=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆相交于A，B两点.

(1)求AB的中点坐标；

(2)求△ABF2的周长与面积.

21.如下图，已知椭圆＋=1(a>b>0)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.

(1)若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率；

(2)若=2，·=，求椭圆的方程.

0.答案解析

1.答案为：D

解析：本题考查椭圆的性质.由题意，椭圆的焦点在y轴上，a=4，b=3，

所以c===，所以椭圆的焦点坐标是(0，±)，故选D.

2.答案为：D

解析：椭圆的焦点在x轴上，排除A、B，又过点（2.5，-1.5）验证即可.

3.答案为：C

解析：本题考查椭圆的方程特征.由题意，c=，故0<c<，

所以椭圆的焦距0<2c<2，故选C.

4.答案为：B

解析：依题意，有，解得8<m<25.

5.答案为：C

解析：∵方程＋=1表示焦点在y轴上的椭圆，

∴8sinα>4，sinα>.∵α为锐角，∴<α<.

6.答案为：B

解析：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|=2a=8.

又|PF1|－|PF2|=2，∴|PF1|=5，|PF2|=3.

又|F1F2|=2c=2=4，∴△PF1F2为直角三角形.

7.答案为：D

解析：由2a=12，=，解得a=6，c=2，∴b2=62－22=32.

∵焦点在x轴上，∴椭圆的方程为＋=1.

8.答案为：A

解析：∵kx－y－k=0，∴y=k(x－1)，即直线过定点(1,0)，

而(1,0)点在＋=1的内部，故l与椭圆＋=1相交.

9.答案为：D

解析：由题意可知两个椭圆的焦点都在x轴上，前者焦距2c=2=8，

后者焦距2c=2=8.

10.答案为：D

解析：方程化为标准形式为x2＋=1，其焦点在y轴上，由于a2=6，∴a=.

∴长轴的端点坐标为(0，±)，故选D.

11.答案为：A；

12.答案为：B

解析：不妨设直线l过椭圆的右焦点F(1,0)，

则直线l的方程为y=x－1，由消去y，得3x2－4x=0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=，x1x2=0，

∴·=x1x2＋y1y2=x1x2＋(x1－1)(x2－1)=2x1x2－(x1＋x2)＋1=－＋1=－.

13.答案为：＋x2=1

解析：本题考查椭圆的标准方程.由已知，2a=8,2c=2，∴a=4，c=，

∴b2=a2－c2=16－15=1，∴椭圆的标准方程为＋x2=1.

14.答案为：16或34

解析：∵2c=6，∴c=3.

当焦点在x轴上时，a2=25，∴m=16.当焦点在y轴上时，b2=25，∴m=34.

15.答案为：.

解析：如图，切线PA、PB互相垂直，半径OA垂直于PA，

所以△OAP是等腰直角三角形，故=a，解得e==.

16.答案为：.

解析：设AF1=1，由△ABF2是正三角形知，|AF2|=2，|F1F2|=，

所以椭圆的离心率e====.

17.解：(1)把M的纵坐标代入＋=1

得＋=1，即x2=9.∴x=±3，

即M的横坐标为3或－3.

(2)对于椭圆＋=1，

焦点在x轴上且c2=9－4=5，

故设所求椭圆的方程为＋=1.

把M点的坐标代入得＋=1，解得a2=15.

故所求椭圆的方程为＋=1.

18.解：由垂直平分线性质可知

|MQ|=|MA|，

∴|CM|＋|MA|=|CM|＋|MQ|=|CQ|，

又|CQ|=4，

∴|CM|＋|MA|=4.

又|AC|=2，∴M点轨迹为椭圆.

由椭圆的定义知：a=2，c=1，

∴b2=a2－c2=3.

∴所求轨迹方程为：＋=1.

19.解：依题意知H（-，0），F(c,0)，B(0，b).

设P(xP，yP)，且xP=c，代入到椭圆的方程，得yP=.∴P（c,）.

∵HB∥OP，∴kHB=kOP，即=.∴ab=c2.

∴e==，∴e2==e－2－1.

∴e4＋e2－1=0.∵0<e<1，

∴e=.

20.解：(1)由＋=1，知a=，b=，c=1.

∴F1(－1,0)，F2(1,0)，∴l的方程为y=x＋1，

联立消去y得5x2＋6x－3=0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，

则x1＋x2=－，x1x2=－，x0==－，y0===＋1=

(或y0=x0＋1=－＋1=)，∴中点坐标为M(－，).

(2)由题意知，F2到直线AB的距离d===，

|AB|=·=，

∴S△ABF2=|AB|d=××=，

△ABF2的周长=4a=4.

21.解：(1)若∠F1AB=90°，则△AOF2为等腰直角三角形，

所以有|OA|=|OF2|，即b=c.

所以a=c，e==.

(2)由题知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，

其中，c=，设B(x，y).

由=2⇔(c，－b)=2(x－c，y)，

解得x=，y=－，即B(，－).

将B点坐标代入＋=1，得＋=1，即＋=1，解得a2=3c2.①

又由·=(－c，－b)·(，－)=⇒b2－c2=1，即有a2－2c2=1.②

由①，②解得c2=1，a2=3，从而有b2=2.

所以椭圆方程为＋=1.