高中数学人教版新课标A选修1-12.2双曲线精品课后作业题

2021年高中数学选修《圆锥曲线-双曲线》同步精选

一         、选择题

1.双曲线方程为x2－2y2=2，则它的左焦点坐标为(　　)

A.(－，0)       B.(－，0)     C.(－，0)      D.(－，0)

【答案解析】答案为：D

解析：双曲线标准方程为－y2=1，∴c2=2＋1=3.∴左焦点坐标为(－，0).

2.已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，

线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是(　　)

A.－y2=1      B.x2－=1       C.－=1       D. －=1

【答案解析】答案为：B.

解析：设双曲线方程为－=1，因为c=，c2=a2＋b2，所以b2=5－a2，

所以－=1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，则P点的坐标为(，4).

代入双曲线方程得－=1，解得a2=1或a2=25(舍去)，

所以双曲线方程为x2－=1.故选B.

3.双曲线－=1的焦距为(　　)

A.3         B.4        C.3         D.4

【答案解析】答案为：D

解析：由双曲线的标准方程可知，a2=10，b2=2.于是有c2=a2＋b2=12，则2c=4.故选D.

4.中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12=0上的等轴双曲线方程是(　　)

A.x2－y2=8       B.x2－y2=4      C.y2－x2=8       D.y2－x2=4

【答案解析】答案为：A

解析：令y=0，则x=－4，即c=4，又c2=a2＋b2，a=b，∴c2=2a2，a2=8.

5.双曲线mx2＋y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于(　　)

A.－         B.－4         C.4         D.

【答案解析】答案为：A

解析：∵方程mx2＋y2=1表示双曲线，

∴m<0.将方程化为标准方程为y2－=1.则a2=1，b2=－.

∵双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴可知b=2a，

∴b2=4a2，∴－=4，∴m=－.

6.设双曲线－=1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A.y=±x         B.y=±2x        C.y=±x    D.y=±x

【答案解析】答案为：C

解析：由题意得b=1，c= .∴a= ，

∴双曲线的渐近线方程为y=± x，即y=±x.

7.已知双曲线－=1(a>0，b>0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e为(　　)

A.2       B.3      C.      D.

【答案解析】答案为：D

解析：∵4b=2(a＋c)，∴b=，而b2=c2－a2，

∴=c2－a2，整理，得5a2＋2ac－3c2=0.∴e==.故选D.

8.双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于(　　)

A.2         B.2         C.4         D.4

【答案解析】答案为：C

解析：双曲线的一条渐近线方程为－=0，即bx－ay=0，焦点(c，0)到该渐近线的距离

为==，故b=，结合=2，c2=a2＋b2得c=2，则双曲线C的焦距为2c=4.

9.已知双曲线－=1(b>0)的焦点到其渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为(　　)

A.           B.       C.          D.

【答案解析】答案为：C

解析：由题意及对称性可知焦点(，0)到bx－y=0的距离为1，

即=1，所以b=1，所以c=2，又a=，所以双曲线的离心率为.

10.若中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(　　)

A.          B.        C.           D.

【答案解析】答案为：D；

解析：设双曲线的标准方程为－=1(a>0，b>0).

由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y=－x，所以－2=－×4，即a=2b.

设b=k(k>0)，则a=2k，c=k，所以e===.故选D.

11.已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)

A.          B.2         C.         D.

【答案解析】答案为：D

解析：不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－=1(a＞0，b＞0)，

则|BM|=|AB|=2a，∠MBx=180°－120°=60°，∴M点的坐标为.

∵M点在双曲线上，∴－=1，a=b，∴c=a，e==.故选D.

12.已知F1，F2是双曲线E：－=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为(　　)

A.          B.       C.          D.2

【答案解析】答案为：A；

解析：法一：作出示意图，如图，

离心率e===，

由正弦定理得e===.故选A.

法二：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|=.

又sin∠MF2F1=，所以=，即|MF2|=3|MF1|.

由双曲线的定义得2a=|MF2|－|MF1|=2|MF1|=，

所以b2=a2，所以c2=b2＋a2=2a2，所以离心率e==.

二         、填空题

13.双曲线8kx2－ky2=8的一个焦点为(0,3)，则实数k的值为__________.

【答案解析】答案为：－1.

解析：方程化为标准形式是－=1，所以－－=9，即k=－1.

14.已知P是双曲线－=1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|=17，

则|PF2|的值为__________.

【答案解析】答案为：33.

解析：由双曲线方程－=1知，a=8，b=6，则c==10.

∵P是双曲线上一点，∴||PF1|－|PF2||=2a=16，

又|PF1|=17，∴|PF2|=1或|PF2|=33.又|PF2|≥c－a=2，∴|PF2|=33.

15.设F1，F2分别是双曲线－=1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，过F1且与双曲线实轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若△ABF2为正三角形，则此双曲线的渐近线方程是________.

【答案解析】答案为：y=±x.

解析：据题意，得=·2c，两边平方，整理可得(2a2＋3b2)(2a2－b2)=0，

∴=，∴渐近线方程为y=±x.

16.已知双曲线－=1(0<n<12)的离心率为，则n的值为________.

【答案解析】答案为：4

解析：因为0<n<12，所以a2=n，b2=12－n.

所以c2=a2＋b2=12.所以e===.所以n=4.

三         、解答题

17.求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)以椭圆＋=1的长轴端点为焦点，且经过点P(5，)；

(2)过点P1(3，－4)，P2(，5).

【答案解析】解：(1)因为椭圆＋=1的长轴端点为A1(－5,0)，A2(5,0)，

所以所求双曲线的焦点为F1(－5,0)，F2(5,0).由双曲线的定义知，

||PF1|－|PF2||

===8，即2a=8，则a=4.

又c=5，所以b2=c2－a2=9.

故所求双曲线的标准方程为－=1.

(2)设双曲线的方程为Ax2＋By2=1(AB<0)，

分别将点P1(3，－4)，P2(，5)代入，

得，解得，

故所求双曲线的标准方程为－=1.

18.已知曲线－=1.

(1)当曲线是椭圆时，求实数m的取值范围，并写出焦点坐标；

(2)当曲线是双曲线时，求实数m的取值范围，并写出焦点坐标.

【答案解析】解：(1)曲线为椭圆⇔⇔⇔m<0.

即实数m的取值范围是(－∞，0).

此时，椭圆的焦点在x轴上，坐标为(±4,0).

(2)曲线为双曲线⇔(16－m)m>0⇔0<m<16.

即实数m的取值范围是(0,16).

此时，双曲线的焦点在x轴上，坐标为(±4,0).

19.已知点P为双曲线x2－=1上的点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，且|PF1|·|PF2|=24，

求△PF1F2的周长.

【答案解析】解：由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||=2a=2，

又|PF1|·|PF2|=24，

所以|PF1|＋|PF2|==10.

又因为|F1F2|=2c=2，

所以△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|=10＋2.

20.已知直线kx－y＋1=0与双曲线－y2=1相交于两个不同点A，B.

(1)求k的取值范围；

(2)若x轴上的点M(3，0)到A，B两点的距离相等，求k的值.

【答案解析】解：(1)由得(1－2k2)x2－4kx－4=0.

所以

解得：－1<k<1，且k≠±.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2=，

设P为AB中点，则P，即P，

因为M(3，0)到A，B两点的距离相等，

所以MP⊥AB，所以kMP·kAB=－1，

即k·=－1，解得k=或k=－1(舍去)，所以k=.

21.设双曲线－=1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率.

【答案解析】解：直线l的方程为＋=1，即bx＋ay－ab=0.

于是有=c，

所以ab=c2，两边平方，得a2b2=c4.

又b2=c2－a2，所以16a2(c2－a2)=3c4，

两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16=0，

解得e2=4或e2=.

又b>a，所以e2==1＋>2，则e=2.

于是双曲线的离心率为2.

22.已知双曲线C：－=1(a>0，b>0)的一个焦点是F2(2,0)，离心率e=2.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程.

【答案解析】解：(1)由已知得c=2，e=2，

∴a=1，b=.

∴所求的双曲线方程为x2－=1.

(2)设直线l的方程为y=x＋m，

点M(x1，y1)，N(x2，y2)的坐标满足方程组

将①式代入②式，

整理得2x2－2mx－m2－3=0.(*)

设MN的中点为(x0，y0)，则x0==，

y0=x0＋m=，所以线段MN垂直平分线的方程为y－=－（x-）

即x＋y－2m=0，

与坐标轴的交点分别为(0,2m)，(2m,0)，

可得|2m|·|2m|=4，得m2=2，m=±

此时(*)的判别式Δ>0，

故直线l的方程为y=x±.