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    2021年高中数学选修《圆锥曲线-双曲线》同步精选(解析版)练习题
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    高中数学人教版新课标A选修1-12.2双曲线精品课后作业题

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    这是一份高中数学人教版新课标A选修1-12.2双曲线精品课后作业题,共6页。

    2021年高中数学选修《圆锥曲线-双曲线》同步精选

             、选择题

    1.双曲线方程为x2-2y2=2,则它的左焦点坐标为(  )

    A.(-,0)       B.(-,0)     C.(-,0)      D.(-,0)

    【答案解析】答案为:D

    解析:双曲线标准方程为-y2=1,c2=2+1=3.左焦点坐标为(-,0).

    2.已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(-,0),点P位于该双曲线上,

    线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是(  )

    A.-y2=1      B.x2=1       C.=1       D. =1

    【答案解析】答案为:B.

    解析:设双曲线方程为=1,因为c=,c2=a2+b2,所以b2=5-a2

    所以=1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2),则P点的坐标为(,4).

    代入双曲线方程得=1,解得a2=1或a2=25(舍去),

    所以双曲线方程为x2=1.故选B.

    3.双曲线=1的焦距为(  )

    A.3         B.4        C.3         D.4

    【答案解析】答案为:D

    解析:由双曲线的标准方程可知,a2=10,b2=2.于是有c2=a2+b2=12,则2c=4.故选D.

    4.中心在原点,实轴在x轴上,一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线方程是(  )

    A.x2-y2=8       B.x2-y2=4      C.y2-x2=8       D.y2-x2=4

    【答案解析】答案为:A

    解析:令y=0,则x=-4,即c=4,又c2=a2+b2,a=b,c2=2a2,a2=8.

     

     

     

    5.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于(  )

    A.-         B.-4         C.4         D.

    【答案解析】答案为:A

    解析:方程mx2+y2=1表示双曲线,

    m<0.将方程化为标准方程为y2=1.则a2=1,b2=-.

    双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,可知b=2a,

    b2=4a2=4,m=-.

    6.设双曲线=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为(  )

    A.y=±x         B.y=±2x        C.y=±x    D.y=±x

    【答案解析】答案为:C

    解析:由题意得b=1,c= .a=

    双曲线的渐近线方程为y=± x,即y=±x.

    7.已知双曲线=1(a>0,b>0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线的离心率e为(  )

    A.2       B.3      C.      D.

    【答案解析】答案为:D

    解析:4b=2(a+c),b=,而b2=c2-a2

    =c2-a2,整理,得5a2+2ac-3c2=0.e==.故选D.

    8.双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于(  )

    A.2         B.2         C.4         D.4

    【答案解析】答案为:C

    解析:双曲线的一条渐近线方程为=0,即bx-ay=0,焦点(c,0)到该渐近线的距离

    ==,故b=,结合=2,c2=a2+b2得c=2,则双曲线C的焦距为2c=4.

    9.已知双曲线=1(b>0)的焦点到其渐近线的距离为1,则该双曲线的离心率为(  )

    A.           B.       C.          D.

    【答案解析】答案为:C

    解析:由题意及对称性可知焦点(,0)到bx-y=0的距离为1,

    =1,所以b=1,所以c=2,又a=,所以双曲线的离心率为.

     

     

    10.若中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为(  )

    A.          B.        C.           D.

    【答案解析】答案为:D;

    解析:设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0).

    由题意,知过点(4,-2)的渐近线方程为y=-x,所以-2=-×4,即a=2b.

    设b=k(k>0),则a=2k,c=k,所以e===.故选D.

    11.已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为(  )

    A.          B.2         C.         D.

    【答案解析】答案为:D

    解析:不妨取点M在第一象限,如图所示,设双曲线方程为=1(a>0,b>0),

    则|BM|=|AB|=2a,MBx=180°-120°=60°M点的坐标为.

    M点在双曲线上,=1,a=b,c=a,e==.故选D.

    12.已知F1,F2是双曲线E:=1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1=,则E的离心率为(  )

    A.          B.       C.          D.2

    【答案解析】答案为:A;

    解析:法一:作出示意图,如图,

    离心率e===

    由正弦定理得e===.故选A.

    法二:因为MF1与x轴垂直,所以|MF1|=.

    又sinMF2F1=,所以=,即|MF2|=3|MF1|.

    由双曲线的定义得2a=|MF2|-|MF1|=2|MF1|=

    所以b2=a2,所以c2=b2+a2=2a2,所以离心率e==.

             、填空题

    13.双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),则实数k的值为__________.

    【答案解析】答案为:-1.

    解析:方程化为标准形式是=1,所以-=9,即k=-1.

    14.已知P是双曲线=1上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,若|PF1|=17,

    则|PF2|的值为__________.

    【答案解析】答案为:33.

    解析:由双曲线方程=1知,a=8,b=6,则c==10.

    P是双曲线上一点,||PF1|-|PF2||=2a=16,

    又|PF1|=17,|PF2|=1或|PF2|=33.又|PF2|c-a=2,|PF2|=33.

    15.设F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点,过F1且与双曲线实轴垂直的直线交双曲线于A,B两点,若ABF2为正三角形,则此双曲线的渐近线方程是________.

    【答案解析】答案为:y=±x.

    解析:据题意,得=·2c,两边平方,整理可得(2a2+3b2)(2a2-b2)=0,

    =渐近线方程为y=±x.

    16.已知双曲线=1(0<n<12)的离心率为,则n的值为________.

    【答案解析】答案为:4

    解析:因为0<n<12,所以a2=n,b2=12-n.

    所以c2=a2+b2=12.所以e===.所以n=4.

             、解答题

    17.求适合下列条件的双曲线的标准方程:

    (1)以椭圆=1的长轴端点为焦点,且经过点P(5,);

    (2)过点P1(3,-4),P2(,5).

    【答案解析】解:(1)因为椭圆=1的长轴端点为A1(-5,0),A2(5,0),

    所以所求双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0).由双曲线的定义知,

    ||PF1|-|PF2||

    ===8,即2a=8,则a=4.

    又c=5,所以b2=c2-a2=9.

    故所求双曲线的标准方程为=1.

    (2)设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0),

    分别将点P1(3,-4),P2(,5)代入,

    ,解得

    故所求双曲线的标准方程为=1.

    18.已知曲线=1.

    (1)当曲线是椭圆时,求实数m的取值范围,并写出焦点坐标;

    (2)当曲线是双曲线时,求实数m的取值范围,并写出焦点坐标.

    【答案解析】解:(1)曲线为椭圆m<0.

    即实数m的取值范围是(-,0).

    此时,椭圆的焦点在x轴上,坐标为(±4,0).

    (2)曲线为双曲线(16-m)m>00<m<16.

    即实数m的取值范围是(0,16).

    此时,双曲线的焦点在x轴上,坐标为(±4,0).

    19.已知点P为双曲线x2=1上的点,F1、F2是该双曲线的两个焦点,且|PF1|·|PF2|=24,

    PF1F2的周长.

    【答案解析】解:由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a=2,

    又|PF1|·|PF2|=24,

    所以|PF1|+|PF2|==10.

    又因为|F1F2|=2c=2

    所以PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=10+2.

    20.已知直线kx-y+1=0与双曲线-y2=1相交于两个不同点A,B.

    (1)求k的取值范围;

    (2)若x轴上的点M(3,0)到A,B两点的距离相等,求k的值.

    【答案解析】解:(1)由得(1-2k2)x2-4kx-4=0.

    所以

    解得:-1<k<1,且k≠±.

    (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),

    则x1+x2=

    设P为AB中点,则P,即P

    因为M(3,0)到A,B两点的距离相等,

    所以MPAB,所以kMP·kAB=-1,

    即k·=-1,解得k=或k=-1(舍去),所以k=.

    21.设双曲线=1(0<a<b)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线l的距离为c,求双曲线的离心率.

    【答案解析】解:直线l的方程为=1,即bx+ay-ab=0.

    于是有=c,

    所以ab=c2,两边平方,得a2b2=c4.

    又b2=c2-a2,所以16a2(c2-a2)=3c4

    两边同时除以a4,得3e4-16e2+16=0,

    解得e2=4或e2=.

    又b>a,所以e2==1+>2,则e=2.

    于是双曲线的离心率为2.

    22.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一个焦点是F2(2,0),离心率e=2.

    (1)求双曲线C的方程;

    (2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N,线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求直线l的方程.

    【答案解析】解:(1)由已知得c=2,e=2,

    a=1,b=.

    所求的双曲线方程为x2=1.

    (2)设直线l的方程为y=x+m,

    点M(x1,y1),N(x2,y2)的坐标满足方程组

    式代入式,

    整理得2x2-2mx-m2-3=0.(*)

    设MN的中点为(x0,y0),则x0==

    y0=x0+m=,所以线段MN垂直平分线的方程为y-=-(x-

    即x+y-2m=0,

    与坐标轴的交点分别为(0,2m),(2m,0),

    可得|2m|·|2m|=4,得m2=2,m=±

    此时(*)的判别式Δ>0,

    故直线l的方程为y=x±.

     

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